книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

382

В заключение этого параграфа выведем формулы типа (8.2.17) для сферически неоднородного включения в изотроп­ ной среде. Пусть модули упругости и плотность такого вклю­ чения являются кусочно-постоянными функциями г - рассто­ яния от его центра. Амплитуды смещений и деформаций в об­ ласти V в этом случае удовлетворяют тем же уравнениям

(8.2.4), в которых С 1 и /7, являются функциями координат. Их длинноволновое решение при тех же, что и выше, предполо­ жениях имеет вид

£l l X)= -HapX,\ClwXX)^pkX)dx- \ KlpAp{X- X’)C\pPi X’)£pr(X’)dx'

V V

(8.2.26) Если поле и° постоянно в области V, то из (8.2.24) имеем

где V - объем этой области, v(. - объем i -го слоя включения,

- плотность 7 -го слоя.

Уравнение (8.2.25) для постоянного в V тензора £°ар(Х)

решено в § 2.9. Поскольку тензор Н постоянный, то уравне­ ние (8.2.27) имеет аналогичное решение, которое имеет вид

< *(*) = - Аархр(г>п)н хррт\С1Ах)4Хх)Лх, (8.2.28)

V

где г,п - сферические координаты с началом в центре вклю­ чения, а тензор А(г,п) определен в (2.8.20), (2.9.2). Выраже­ ние для этого тензора содержит массив постоянных, алгоритм определения которых указан в § 2.9.

383

Подстановка формулы для £R= A(r,n)e° под знак интегра­ ла в (8.2.28) дает

eafi(x) = ~А(г,n)HPv, Pv =\C\x)A(x)dx. (8.2.29)

v

Таким образом,, с принятой точностью поля смещений и деформаций внутри сферически-слоистого включения связа­ ны с внешними полями теми же соотношениями (8.2.17), в которых следует положить

А = А(щ ,х) = А0(х)-7й)3Ай’(х ), А°(х) = А(г,п), (8.2.30)

Л"(х) = A{r,n)HPu, Xj^ai) = 8^ +ia>\pg% .

Полученные выше формулы для эллипсоида позволяют рассмотреть случаи предельных его форм (сплющенные и вы­ тянутые сфероиды). Однако с точки зрения некоторых прило­ жений удобно пользоваться отдельными уравнениями для тонких включений и коротких осесимметричных волокон, полученными исходя из основных уравнений (8.2.1) и (8.2.3). Эти уравнения будут выведены в последующих параграфах.

§ 8.3. Рассеяние упругих волн на тонком включении

Пусть теперь V - ограниченная область, один из характер­ ных размеров который мал по сравнению с двумя другими. Для вывода уравнений, описывающих рассеяние упругих волн в среде с такой неоднородностью, воспользуемся асимптоти­ ческим методом, который применялся в гл.Ш для решения аналогичной задачи статики.

Выберем в каждой точке х на срединной поверхности Q

области V локальную систему координат }’1,У2,Уз с осью у3, направленной вдоль нормали п(х) к поверхности Q . Пусть

h(x)=8J(x) - поперечный размер области V вдоль оси у3,

где <5,- малый безразмерный параметр ( £ , « ! ) , а 1(х) имеет

384

порядок максимального размера этой области. В дальнейшем будем считать, что И(х) является достаточно гладкой функци­ ей, удовлетворяющей условию |ch(x)\« 1 всюду на Q , за иск­

лючением малой окрестности контура Г - 1раницы П. Стационарные волновые поля смещений и деформаций в

среде с рассматриваемой неоднородностью по-прежнему удо­ влетворяют уравнениям (8.2.1) и (8.2.3). Добавим к ним урав­ нение для напряжений

В соответствии с разложением тензора Грина в ряд (8.1.24) функция S(x) может быть представлена в виде суммы "ста­

Отметим, что статические части функций К(х) и S(x) - однородные обобщенные функции степени (-3), регуляриза­ ция которых указана в §1.2. Функции же X) и S“(x ) ре­

гулярны с особенностью |х|-1 в нуле.

Рассмотрим задачу построения главных членов разложе­ ния полей и(х), е(х) и <т(х) в ряды по малым параметрам задачи. Воспользуемся при этом идеей сращивания внешнего и внутреннего асимптотических разложений.

Из уравнений (8.2.1), (8.2.3) и (8.3.1) следует, что главные члены разложения полей и(х), е(х) и сг(л:) вне области V

(внешних разложений) в ряды по 5Химеют вид

и(х) = и°(х)-щ(х) + а)2н2(х) ,

385

o (x ) = a (x) + cr, (x ) + <y2cr2( x ) ,

где обозначено

i/,(x) = J V g (x - x ') C e/w(x')d!Q', u2(x) = ^g(x-x')v(x')dQ.',

О Q

£j(x) = J K(x-x')C°m(x')dQ', e2(x) = jV gix-x')v(x')dQ ',

причем в выражениях для т(х) и v(x) также следует ограни­ читься главными членами разложения этих функций по 8Х.

Слагаемые в правых частях выражений (8.3.4) можно рас­ сматривать как главные члены асимптотики волновых полей вне тонкого включения. Воспользуемся для их построения ме­ тодами теории возмущений. Окончательный результат будет зависеть от предельных свойств потенциалов, входящих в вы­

ражения (8.3.4) (см.§ 3.1). Все эти потенциалы, за исключени­ ем и2(х)9который является потенциалом простого слоя, раз­ рывны на поверхности Q . Так как ядра рассматриваемых по­ тенциалов можно представить в виде разложения на статичес­ кую и динамическую части, то и сами эти потенциалы раскла­ дываются на суммы аналогичных составляющих. При этом су­ щественно, что скачки при переходе через Q испытывают только их статические составляющие, в то время как динами­

386

ческие - непрерывны на Q . Исследуем статические части этих потенциалов более подробно.

Начнем с потенциала

который представляет собой потенциал двойного слоя стати­ ческой теории упругости. Его предельные значения определя­

ются соотношением (см.§ 1.3)

(i/f)~ = ^ g s{ x - x t)C°m{x,)dO! ±^n{x)gs\fi)C°m{x).

Q

ной стороны, gs*(k) - Фурье-образ тензора Грина gs(X). Нетрудно видеть, что аналогичными соотношениями опреде­ ляются предельные значения потенциалов 82(х) и ст2(х). Что касается потенциалов

£,(х) = ^ ( г ) + < ( х ) , <т,М = о?(дг) + а{"(дг), (8.3.9)

то предельные свойства их статических частей е\(X) и o', (X ) исследованы в §3.1 (Приложение III).

Представим плотность С°т(Х) потенциала £•,(.*;) в виде

следующей суммы О и Л ( х) = 9 ^ /* ) + О и ,," я (* )М х) , (8.3.10)

где вектор Z?(x) является решением уравнения

387

где 0 (л:)- оператор проектирования на касательную к Q пло­ скость в точке х (3.2.4) и, следовательно, является тензором поверхности Q .

Рассмотрим сначала потенциалы с плотностью nix)=Sq(x),

где С[{х ) удовлетворяет условиям (8.3.12). Тем же путем, что и

в§3.1, можно показать, что касательная составляющая

0(дг)£,(дг) полного потенциала £ ,(*) непрерывна на Q и определяется выражением

= ® (*)«*, М + jU%UM(*» X')<lxr(X')dn'-

Q

Здесь &apx/i(x)^\X/Xx) определено формулами (3.2.14)- (3.2.16):

Ua/}xM(x>x ') = Usa/1Xfl(x,x') + U ^ M{x,x') = (8.3.14)

= ®^ргМ[к ^ г х') + К0pav{x, х')]®л*| (*') •

Из определения (8.3.3) ядра S (x-x') следует, что потен­

циалы CTj(x) и £ ,(* ) связаны соотношением

где £ (Q ) - дельта-функция, сосредоточенная на поверхности

Q.Отсюда видно, что предельные значения потенциала сгДл:)

сточностью до множителя С° совпадают с предельными зна­ чениями s}(x).

Рассмотрим теперь потенциал €}(Х), плотность которого определяется вторым слагаемым в правой части (8.3.10). Эта часть представляет собой симметризованный градиент от по­ тенциала двойного слоя теории упругости. Предельные значе­ ния этого потенциала определяются соотношениями (х e Q )

388

о

(8.3.16)

где предельные значения статической части потенциала £ ,(* ) ((£^)±(л:)) определены в (3.2.21).

Для потенциала С Т^Х ) с плотностью т ар —п (аЬй справед­ ливо представление, аналогичное (8.3.15):

~ СарАр£\Яр{х) - СарЯмпя(х)Ь^(х)д{0). (8.3.17)

Отсюда и из (8.3.16) следует, что вектор &]арПр непрерывен

при переходе через поверхность Q , а его значение на Q оп­ ределяется следующим образом

а величина Пр(хУ&]ар представляется регуляризацией (3.2.24).

Таким образом, предельные значения главных членов раз­ ложения величин и(х), £ ( Х ) и сг(х) в формулах (8.3.4) при

х —> С1 принимают вид

1г(*) = м(*)±^-[и(х)],

389

В этих выражениях

^x)=£°(jt)+£5(jt)-J К"(X- X')CW(X')^Q'+692| Vg(x-x')v(jc')dQ',

где выражение для £5(.X) следует из формул (П3.2.13) и (П3.3.5), а слагаемые в квадратных скобках в (8.3.20) предста­ вляют собой скачки соответствующих потенциалов, выраже­ ния для которых легко восстанавливаются из предыдущих со ­ отношений.

Займемся теперь внутренней предельной задачей и проце­ дурой сращивания. Выберем произвольную точку X на повер­

хности Q (X~GT) в качестве центра локальной системы коор­

динат ^(7= 1,2,3). Аналогично предыдущему (§3.4), внутрен­ ние переменные задачи о тонком включении определим соот­ ношением

плоский слой единичной толщины |£3|<1/2.

Поля перемещений, деформаций и напряжений, соответс­ твующие решению внешней предельной задачи, определяются правыми частями формул (8.3.4). В соответствии с методом сращивания внешнего и внутреннего асимптотических разло­ жений упругие поля на границе среды и слоя во внутренней предельной задаче примем равными предельным значениям в точке х е Q внешних решений, которые даются формулами (8.3.20) и (8.3.21). Очевидно, что решение внутренней пре­

дельной задачи будет зависеть только от координаты £3, при­ чем для построения главных членов искомых асимптотичес­ ких разложений достаточно считать, что это решение линей­

но по £3. Учитывая непрерывность векторов перемещений и

390

напряжений на границе среды и слоя определения полей вну­

три слоя м+( £ ) и ( f (£ ), имеем равенства

®арЛ„(х)ВЛмрT<Jpt(g) = ©<**(*){**,(*) + &[**,(*)]}>

П аРхЛХ)а \№ ) = П«цД*){о*.(Х)+ £з[<Ъ«(*)]} >

где П ар^(Х) - оператор проектирования (3.2.4), а выражения

для средних значений и скачков величин и, е и ст те же, что

и в формулах (8.3.20) и (8.3.21).

Найденные из (8.3.23) внутренние решения м+(£ ) и сг+ (£ )

после перехода к переменным _у. следует подставить в выра­ жения (8.3.6) для т(Х) и V(X). Так как зависимость от скач­ ков при вычислении интегралов пропадает, то интегральные средние < сг> и <и> в (8.3.6) выражаются через средние

значения й , ~е и ~о по формулам

Воспользовавшись теперь явными выражениями (8.3.21) функций м (х ), е(х) и <т(л:) через функции V (JC) и т(х), получим для определения последних интегральные уравнения, в которых следует сохранить лишь слагаемые старшего поряд­ ка относительно малых параметров задачи. Рассмотрим урав­ нения для главных членов разложения функций т(х) и v ( r ) по малым параметрам в частных случаях.

Г. "Малоконтрастное" включение. Пусть тензоры упругости

иплотности матрицы и включения являются величинами од­ ного порядка. Тогда, подставляя выражения (8.3.21) в (8.3.23), найдем, что с точностью до членов более высокого порядка малости имеют место равенства

где тензор < <т> определяется из соотношений

П(х)(<т)(х)=П(х)сг°(;с), ® (х)5(а)(х:)=0(дг)го(х). (8.3.26)