книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

451

который является символом оператора П в (8.1.2). Учитывая очевидные соотношения

иар(к,(о)ир{к) = 0 , L°aX{k,(o)gxp{k,(o) = dafi, (9.1.27)

получим, что вектор Ua(k) является решением уравнения

L*afi{k, сo)Up{k) = 0, L*af){k, со) = к^С'^к, <о)кмafpj^k, ю ), (9.1.28)

где тензоры С*{к, со) и р (к, со) имеют вид

С\к,a>)=Cs- l 2CR[А'{1кЩ к)]сн-1со\п1(угСКНС*)-JCRHCR),

(2ir) J

в которой L*(А:)- символ оператора £* - имеет вид (9.1.28).

Оператор I* естественно называть эффективным волновым оператором для композитной среды. Из соотношений (9.1.31)

и (9.1.28) следует, что оператор Z* в х -пространстве можно представить в форме

Это выражение по виду совпадает с волновым оператором

для однородной среды (8.1.2), однако С*здесь не постоянный тензор, а оператор, который как и инерционная характерис­

тика р , параметрически зависит от частоты со. Как видно из

(9.1.29), С ’ представляется в виде суммы оператора умножения

452

на постоянный тензор Cs-i(03Ca> и дифференциальный опе­ ратор второго порядка

С* = С - ia?C ° + l2CR [А1-(V® V)]C*, (9.1.33)

Са = п2( v2CRHCR) - JCRHCR.

В случае статики (а>=0) символ оператора С*совпадает с полученным в §6.4 и имеет вид (6.4.9). Как отмечалось в §6.4, этот оператор соответствует моментной теории упругости для среды со стесненным вращением. Роль малого параметра с размерностью длины, характерного для моментной теории уп­ ругости, играет радиус корреляции / случайного множества неоднородностей.

Таким образом, эквивалентная среда, волновой процесс в

которой описывается оператором V вида (9.1.32), (9.1.33), об­ ладает слабой пространственной дисперсией. Скорость рас­ пространения упругих волн в такой среде определяется дейст­

вительными частями величин С* и р , а наличие в них мни­ мых составляющих приводит к затуханию упругих волн вслед­ ствие рассеяния на неоднородностях. Рассмотрим эти эффек­ ты более подробно на примере композитов с изотропными компонентами.

§ 9.2. Функция Грина эффективного волнового оператора

Применим теперь общие формулы, полученные в преды­ дущем параграфе, к композитному материалу, состоящему из изотропных матрицы и включений сферической формы. Бу­ дем считать для простоты, что все включения имеют одинако­ вую величину, упругие свойства и плотность, так что случай­ ным является только их расположение в пространстве. В этом

и (8.2.22), а тензор А^л^ - формулой (8.2.23). Наконец, тензор

[Al-(ik€>ik)] определяется соотношением

453

(9.2.1) Подстановка этих выражений в (9.1.28) и (9.1.29) позволя­

ет привести оператор L* к форме, обычной для изотропной среды. При этом функция ZT(£,<y) в представлении (9.1.28) принимает вид

Ej<k,(o) = ^ k '- l p ) n j i p +juSap\ -p6)2Safi.(9.2.2)

В этом выражении

к* =ks + р2к212к, - io)3pfka>, ks = k0+ pkR,

М* =MS+ p2k2l2Mi ~ iofpfMo, >Ms = Mo + PMR >

-1

Заметим, что приведенные формулы легко обобщаются на случай слоисто-неоднородных сферических включений. Если среда содержит случайное множество одинаковых сферичес-

ки-слоистых включений, то в (9.2.3) величины kR и pR долж­ ны быть заменены на следующие:

кR = ( l — 9 р 4 ?ог) » MR = ^02(1—рА2^02) >(9.2.4)

454

где выражения для Р01 и Р02 приведены в (5.5.31), а разность плотности компонентов рх должна быть заменена величиной

~рх из (8.2.28).

Воспользуемся операторами проектирования

nap{k) = njtpy e jjc ) = Sa0-n anp, и = */|*|, (9.2.5)

которые позволяют разложить вектор Uа на продольную ULa и

поперечную UTa составляющие. Тогда оператор можно

представить в виде суммы двух ортогональных составляющих

L\p{k,(o) = L\{k,a)nJ<k) + L*T{k,(o)eal,{k)>(9.2.6)

пространения продольных, а Ет(к,(о) - поперечных волн. Приступим к построению тензора Грина этого оператора.

Разложению (9.2.6) для оператора 1*ар соответствует представ­

ление тензора Грина g ‘ap{k,m) в форме

g'£}{k,G>) = [£L{k,(o)\ 1n j.k ),

&5(*»®) = [4 (*> ® )] ХОар{к).

Рассмотрим сначала продольную составляющую этого тен­ зора

Переходя в этом выражении к * -представлению, т.е. осу­ ществляя обратное преобразование Фурье, получим

455

где величины ks,k„k(0,ps,pl и p mопределены в (9.2.3).

Для вычисления интеграла в (9.2.9) введем сферически ко­ ординаты (г, 0, <£>) с полярной осью, направленной по вектору г . Это дает

где е=х/|х|, а внутренний интеграл в правой части (9.2.10) бе­

рется по поверхности единичной сферы Q]. После интегриро­ вания по единичной сфере это выражение приводится к сле­ дующему одномерному интегралу

1 ^ к txp(iкг)

. (9.2.13)

к2- к 2

457

(9.2.19) лежащие в верхней полуплоскости. Выражения для этих кор­ ней с точностью до главных членов по со имеет вид

Если в выражении для gap(x,CO) перейти к пределу при

со—>0, то получим статическую функцию Грина однородной среды, эквивалентной рассматриваемому композитному мате­ риалу.

(9.2.22)

В отличие от функции Грина однородной упругой среды правая часть этого выражения не имеет особенности при г= 0. Ограниченность в нуле - характерное свойство функции Гри­ на квазиконтинуума и других нелокальных моделей упругих сред с микроструктурой. При г—>оо правая часть (9.2.22) на­

ряду с классической асимптотикой ~ г _1 имеет члены порядка

г~ъ и члены, затухающие экспоненциально на расстояниях по­ рядка радиуса корреляции случайного множества неоднород­ ностей.

Если радиус корреляции исчезающе мал по сравнению с характерным масштабом изменения среднего поля (/—>0), то (9.2.22) переходит в статическую функцию Грина для одно­ родной среды с эффективными упругими модулями ks и jus

Эта функция представляет собой главный член асимптоти­ ки правой части (9.2.22).

§9.3. Скорости распространения и коэффици­ енты затухания упругих волн в матричных композитных материалах

Рассмотрим полученное выше выражение для тензора Грина эффективного волнового оператора для изотропного композитного материала со сферическими включениями. Очевидно, что как продольная (9.2.16), так и поперечная (9.2.17) его составляющие описывают два вида волн, распро­ страняющихся от точечного источника в однородной среде, эквивалентной рассматриваемому композитному материалу.

.459

Первый тип волн характеризуется волновыми числами кг

и к4 из (9.2.15) и (9.2.20). Это затухающие волны с коэффици­

ентами затухания, пропорциональными (col)4, и, следователь- 'но, их затухание определяется рэлеевским рассеянием на не­ однородностях.

Волны второго типа, которые характеризуются волновыми числами кг и к4, затухают значительно быстрее, чем первые. Поскольку мнимые части этих волновых чисел пропорцио­ нальны 1//, то затухание этих волн происходит на расстояни­ ях порядка радиуса корреляции случайного множества неод­ нородностей. Наличие такого типа волн характерно для сред с пространственной дисперсией. На достаточно больших рас­ стояниях от источника (г—>оо) вкладом этих волн в полное волновое поле можно пренебречь. Устремляя / к нулю в (9.2.21), получим, что асимптотика тензора Грина при / —>0 и при достаточно больших 7* определяется выражением

(9.3.1)

т.е. имеет тот же вид, что и тензор Грина однородной изо­ тропной среды с модулями упругости kS9jus И плотностью ps. Отличие же от функции Грина классической теории упругости состоит в том, что волновые числа кх и к2 являются комплек­ сными величинами. Их действительные части определяют скорости продольных и поперечных волн в среде с включени­ ями

Из этих выражений видно, что эффективные скорости vL

и V* не зависят от частоты. То есть в рассматриваемом длин­ новолновом приближении (в отличие от главы VII) дисперсия скорости отсутствует. Такое пренебрежение эффектами дис-