книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

511

+ 4 {m(aQp)Xw + &фр(Лтц))[р ,^ ,(?Н )]“ }- (10.1.36)

В силу (10.1.18) с учетом лишь главных членов разложения функций Ханкеля в асимптотические ряды находим

Коэффициент ^,фх(к3) в (10.1.27) вычисляется аналогично предыдущему и определяется выражением

\Р<

Разрешая теперь уравнения (10.1.14) и (10.1.27) относитель­

но U*a(k) и $*сф(к) с принятой точностью, найдем

512

D = DF I -ip {A RClP -J l)A ICR+ P [^Y ) ABQR

ф

Pap = 5<ф- р — gZiPxp ] >Pip = PlPaxPtp> CR=C'PDR,

dapx = ^ X K ^ s ^ e p k .P ^ - G 'J P ZX, (10.1.41)

Заметим, что последнее слагаемое в выражении для тензо­

ра Z) в (10.1.41) пропорционально (къа)2, т.е. имеет порядок

величины S2, которую с принятой точностью следует отбро­

сить по сравнению с З2In 6 . Однако среди компонентов тен­ зора Ав есть такие, которые неограниченно возрастают с рос­

том С 1- разности упругих модулей волокон и матрицы. Для достаточно большой величины этой разности, характерной для современных композитных материалов, армированных высокомодульными волокнами, произведение этих компонен­

тов на (к^а)2 может иметь порядок, сравнимый с порядком

величины S2In S. Поэтому слагаемое порядка (къа)2 следует

оставить в общих формулах, но в выражении для Ав учесть лишь те компоненты, которые обладают указанными свойст­

вами. При этом тензор А^Хр принимает следующий простой

вид:

где ЕХ=Е -Е 0 - разность модулей Юнга материалов волокон и матрицы.

514

Очевидно, что тензор Z,^(&,©) является эффективным

волновым оператором композитного материала в (куа>) - представлении. Входящие в этот оператор тензор динамичес­ ких упругих модулей С*, а также инерционная характеристика

р являются функциями к и О). Следовательно, среда, арми­ рованная параллельными волокнами, обладает пространствен­ ной и временной дисперсией.

С помощью полученного волнового оператора можно ис­ следовать особенности распространения волн в композите в любых направлениях. Рассмотрим некоторые частные случаи.

§10.2. Распространение упругих волн перпендикулярно направлению армирования

Пусть в армированной волокнами среде распространяется плоская волна с вектором поляризации Ua, волновым числом

к и волновой нормалью п . Вектор Uа при этом удовлетворя­ ет системе линейных алгебраических однородных уравнений

раллелен направлению армирования. Тогда к=(кх,к2) и тен­ зоры С*и р получаются из формул (10.1.47), в которых следу­ ет положить кг=0. Если при этом учесть, что при кг= 0 мно­

515

жители p2\n(\pq\a) (q=a,fi), входящие в формулы (10.1.47), имеют в этом случае порядок S2In S (т.е. являются малыми),

то тензоры Л*и р принимают вид

= р{(о)татр+т*{(о)0Сф+ k\(o)nJip, (10.2.2)

p{<o) = ps + p -^ -j{fi), tn{(o) = ms + p ^ - [ j{ 0 ) + T]2j{a)\,

k*{(o) = ks+p k* j{a ), j{q)= f{q)~ pF (q), {q=a,0), K + iP '

Здесь ps, ms,ks - статические продольный и поперечный модули сдвига и объемный модуль при плоской деформации композита, который макроскопически трансверсально анизо­ тропен. Выражения для этих величин следуют из полученных здесь формул и совпадают с найденными ранее в §5.12

MS =M.+PPH, Щ =М.+ Р>"н, k s - K + P h A Ю.2.3)

а функции f (q) и F (q) определены формулами (8.5.25) и (10.1.22) соответственно.

Рассмотрим сначала продольную волну (Ua=na). Учиты­

вая, что с принятой точностью J( а)= rfJ(J$), получаем сле­ дующее дисперсионное соотношение

516

(10.2.4) Отсюда находим в длинноволновом приближении

R{q) = ln(qa)- Ц - ] 1п(ф|)ф(|.у|)М 4И , {q = a,0 ),

aо

аего мнимая часть - коэффициент затухания продольной вол­ ны

где по - по-прежнему числовая концентрация волокон, вели­

чина £ определена в (10.1.45).

518

Как видно из приведенных формул, в рассматриваемом длинноволновом приближении скорости упругих волн, расп­ ространяющихся поперек волокон, лишь незначительно сни­ жаются с ростом частоты. Это следует из отрицательности ве­ личины R (q) и из того факта, что множитель при малой без­ размерной частоте имеет порядок единицы. Этот вывод согла­ суется с имеющимися экспериментальными данными и ре­ зультатами, полученными для регулярного расположения во­ локон другим путем.

Что же касается коэффициентов затухания, то они должны быть положительными величинами. Отсюда следует, что мно­

житель % должен удовлетворять условию £>0. Поэтому так же, как и для сферических включений (§9.3), это накладывает ограничение на величину объемной концентрации волокон, при которой полученные формулы для у остаются физически непротиворечивыми. Так, например, для функции Ф(>0 прос­

лишь при /?<0.25. Разумеется, использование более точных формул для Ф(>0 может существенно расширить область при­ менения полученных формул.

Заметим теперь, что в случае регулярного расположения волокон интеграл от функции Ф(д>) по всей плоскости ххх2

равен площади ячейки периодичности. Отсюда следует равен­ ство нулю величины £, что соответствует отсутствию затуха­ ния длинных волн в материалах с регулярным расположением неоднородностей.

Допустим, наконец, что концентрация волокон мала ( р « 1). В этом случае, отбрасывая члены, имеющие порядок

0(р) в формулах для коэффициентов затухания, получим

Ги = i ” oQu,» ут= 7«о Qm, Гт, = ? поQm. (10.2.15)

где величины QLn,Qmи Qш- полные сечения рассеяния соот­ ветствующих волн, выражения для которых совпадают с полу­ ченными в §8.6, п.6°.

519

§10.3. Распространение упругих волн вдоль волокон

Рассмотрим теперь случай, когда па=та, т.е. волна распро­

страняется вдоль волокон. Тогда, как это следует из (10.1.46), дисперсионное соотношение принимает вид

d Q t{klm f^ (kz,(o)mx - o)2paf{ h ^ } = 0. (Ю.3.1)

где тензоры С*(к3,а>) и р {к ъ,со) определяются общими вы­

ражениями (10.1.47), в которых следует положить къ=къ. Очевидно, что (10.3.1) представляет собой трансцендент­

ное уравнение относительно волнового числа къ. Решая его в

длинноволновом приближении, заменим величину къ в фор­

мулах для С*(кз,а>) и р (къ,со) ее "статическим" пределом, удовлетворяющим следующему уравнению:

где Cs и ps определяются формулами (10.1.47) при а> = 0. При

этом в выражениях для компонент тензоров С*и р появля­

ются множители порядка S2\n (8<р(р)), где <р(р) - некоторая функция концентрации волокон. Рассмотрим отдельно два случая.

Г. Будем считать, что объемная концентрация волокон не

слишком мала, так что S2\n(S<p(p))~S2lnS. Тогда, как и в

= п(к3,,(о)та,тм+ p {k 3s,tу ) ^ ,

520

n {k 3s,a) = ns +pn[k3s,a>), p (k 3s,a) = ps + p t{k3s, <y),

. (l - p ) £

= X. +2p„ +pnR, nR=Xx+2Ml- — — — j — —

+2 lRnRk l[j(p q)]“ + ll (p2j(p p) + [p2qj{p q)]“)},

g = g f ~PgF, <J = Gf -p G F, Cp=C'PsD°, D °={l + C'PSY

Уравнение (10.3.1) имеет два существенных корня. Один

из них k3L соответствует продольной волне, распространяю­ щейся вдоль волокон. С принятой точностью эта величина определяется выражением

f t = < 4 {1+ р М ® ) / а - и(® )/и,]}, ат= <oJpjnst

(10.3.4)