книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf1 |
|
n2 |
|
|
|
W |
Г '," ? ,^ 3+2 ^ |
(v(4V 34 (l+£))) Д |
/ о |
71 I |
L- |
В этом случае волновое уравнение в к-представлении
[ С / ц / А " <°гР°5ахр л(к) = 0 |
(9-4.32) |
для трещиноподобной среды расщепляется на два независи мых уравнения относительно продольной U^(k) и попереч
ной U l(k) составляющих фурье-образа среднего вектора сме щений
(*V (a> ) - р . а г )и 1 (к ) = 0,
(k‘p { a ) - p . a , )u l(k ) = 0 ,
где обозначено |
|
|
|
|
||
х |
• |
—х |
. 3 |
* “ |
t |
“ |
|
—io) п х |
, х —к л— Us х |
—к |
н— и . |
||
(9.4.34) Соответственно этому дисперсионное уравнение распада
ется на уравнение ветви продольных
к2х{а>)=роб)2 |
(9.4.35) |
и уравнение ветви поперечных волн
к2/л{о>) = Р»в>г • |
(9.4.36) |
Разрешая эти уравнения относительно волновых чисел, получим
473
Ут~ |
^ 4 к { 7? ) + ^ 4 2(i+<f )К(7) |
|
\утJ |
где h0(jj) и /1, ( 77) определены в (8.3.59).
В случае тонких круговых полостей (трещин) формулы (9.4.40) и (9.4.41) принимают вид
|
' - Ы |
+ Щ |
’Г , |
8 г} |
||||
VL= М * - > ) |
r f(l- r f) |
|
15(3 -2 tf) |
|||||
|
|
|
||||||
vT = VTi |
4п |
|
|
|
|
|
(9.4.42) |
|
15 ^ |
4 l-r f)(3 -2 T f) |
|||||||
1 |
|
|||||||
й>У |
к Ы |
8 |
2 |
32 |
А |
\6И,{т]) |
||
YL=2 Я3 <VL; |
|
|
— 71+--- |
ТУ |
+ |
|||
rf{\-rf) |
3 |
' |
\5 |
' ) |
\5rfa-2rf) |
|||
п0 V 4 |
к Ы |
| |
к Ы |
|
(9.4.43) |
|||
Ут Юя3Vvr / |
3(1- |
^ ) 2 |
( 3 - 2 ^ Г |
|
||||
Рассмотрим теперь случай, когда круговые в плане трещи ны заполнены вязкой жидкостью с объемным упругим моду лем к и коэффициентом вязкости аз. В этом случае величи
ны AJ,A2,A3 определяются формулами (8.7.69). Компоненты тензора эффективных динамических упругих модулей содер жат дополнительные слагаемые, пропорциональные ico и свя занные с поглощающими свойствами жидкости. Если сот ( Т -
время релаксации жидкости) и coa/v’T являются малыми одно го порядка, то эти слагаемые представляют собой главные
474
члены разложения компонент тензора С* в ряд по СО. С уче
том только этих членов величины к*и /л в выражениях
(9.4.31) |
определяются формулами |
|
|||||||
к* = ks - iafnjcn, ks =kcп0крЦ , |
(9.4.44) |
||||||||
|
1 4^ / |
,1\ |
/ |
16 |
ц |
( |
|
||
кр = М< |
|
(v4) |
, |
кт= — |
|
|
|||
з, |
\ |
з/ |
* |
СО |
3 |
Г^о |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
М |
= Ms ~ iofn.M* » |
Ms = Мо ~П о М Р Е > г » |
|
||||||
мР= -^Мо{ЛЪА\ + 24 ))> |
мФ=^М о{^^(л \)г + 8 ( 4 ) D.2 » |
||||||||
где величины £>, и D2те же, что и в (9.4.29).
Скорости распространения упругих волн в такой среде попрежнему выражаются через статические характеристики ком позита по формулам (9.4.38), а коэффициенты затухания про
порциональны со2:
со |
+4ма |
п |
со* |
|
РУь |
Ут~ ' |
(9.4.45) |
|
|
\ VT J PoVT |
Перейдем теперь к рассмотрению среды, в которой трещи ноподобные дефекты ориентированы одинаково. В этом слу чае формулы для эффективных динамических упругих моду
лей С* преобразуются в следующие:
С* = CS -ico^C " , CS = C °- n jz R, CR = (vCR(a,,a2)),
CR(a„a2) = DA°{ai,a2), D = (l+ n 0(vA°{a],a2)A*)) ',
С* = (v2C*(a, ,a2)HC«{ax,a2 ) ) - n J mCRHCR, J m= j Фm(x)dx,
(9.4.46) причем осреднение в этих выражениях предполагается только по ансамблю реализаций случайных размеров неоднороднос тей.
475
В дальнейшем ограничимся рассмотрением круговых в плане трещиноподобных дефектов. Для включений этой фор
мы эллипсоид Ът, характеризующий форму корреляционной ямы, переходит в сфероид с полуосями bx=b2=b и полуосью
6j, направленной вдоль единичного вектора т, а тензор
представляется в форме (8.7.45), где на этот раз у=Ь/Ьъ. От сюда следует, что форма корреляционной ямы определяется только величиной параметра у - ее аспекта. Если положения центров включений в пространстве статистически независи
мы, то у имеет порядок <(2а/И)\ш> - величины среднего ас
пекта включений ориентации Ш, а сфероид Ьтявляется соос ным осредненному по ансамблю реализаций включений ори ентации т, причем полуось Ьг направлена вдоль нормали т к его срединной поверхности.
Для сфероидальных включений тензор Л° определен в (8.3.58) и (8.3.57). С помощью этих формул найдем выражения для эффективных динамических упругих модулей среды с одинаково ориентированными трещиноподобными неодно родностями. Среда в целом обладает трансверсальной анизот ропией с осью симметрии, параллельной вектору Ш. В этом случае удобно воспользоваться Р - базисом, в котором тензор
С* представляется следующим образом
С = к'Р2 + 2ц.{Р' ~%Р2) + Г{Рг+ Р 4)+4//\Р5 + п Р \
к* = ks - i(o\ka, г = ls - i0)\la , |
(9.4.47) |
|
М = Ms ~ |
, n = ns - ш \ п ю. |
|
Здесь величины с индексами "S" - статические эффектив ные упругие модули - уже приводились в §5.9. Выпишем их вновь в несколько иных обозначениях:
К = К + Р » -n.(vkR), ls = Л„ -n.(v/R), /л8 = я -n e(vjuR),
ns = A0+2M0~n0(vnR), kR= (l - 2 rf)2nR, lR={\ -2rf)nR,
476
MR = /*.4 {l+ »e(v 4 )[l-/e+ 4 (^ - l)/,]} > |
(9.4.48) |
где функции f, и определены в (2.4.8).
"Динамические" добавки в формулах (9.4.47) имеют вид
ka>= {l-2 T f)2n{0, nt ((v2n2R) - n J m{vnR)2) К Ы
|
пРУт ’ |
la = {l-2T f)n a>, fim= {(v2fi2R) - noJm(v/uR)2) |
, |
|
(9.4.49) |
функции h^(rj) и h[( TJ) те же, что и в (9.4.30). |
|
Если в среде с неоднородностями распространяется плос кая волна
Ua{x) = Uaeiknx , |
(9.4.50) |
с волновым числом к и волновой нормалью п, то вектор по ляризации Uа удовлетворяет однородному уравнению
(* 2A’*A - а |
Л ол)их = 0 . |
|
(9.4.51) |
|
Здесь |
- акустический |
тензор, |
который в |
|
рассматриваемом случае принимает вид |
|
|
||
Л*ол = А*.5^ + Л > Л + K2mamx + 2 Л > (а/иЯ), |
(9.4.52) |
|||
Л* = д0+ Ъхcos2 в, |
Л* = к'’ , |
Л* =b] +b3cos2 в, л; = b2cos в, |
||
Ъх= р - ц . , Ъ2 = / л -1 '-к \ |
Ьъ=Ц'+п |
+ к '-4ц *-21\ |
||
где в - угол между векторами т и п . |
|
|
||
Если ввести вектор е=тхп, то тензор Л*^ можно преоб разовать к более удобной форме [137]:
480
1 |
1 -п Х \ -2 г?)2 |
Ал = ( l - 2rf)Ax- |
Vii |
||
|
|
К + 2д, |
(9.4.68) Рассмотрим, наконец, среду, содержащую случайное мно
жество параллельных круговых трещин. Будем считать, что трещины образуют пуассоновское случайное множество, т.е. положение их центров статистически независимо, а сами цен тры равномерно распределены в пространстве.
Для этой стохастической модели выражение для тензора
получим, переходя в общих формулах к пределу при h—>0.
Учитывая, что при этом в (8.6.45) |
0, найдем |
4 . = — ( ^ + 7 ^ 6), |
(9-4.69) |
Мо |
|
где Рг(т)~ элементы тензорного Р(т) -базиса, а интеграл Jm стремится к нулю. В результате приходим к следующим выра жениям для эффективных упругих модулей трещиноватой среды:
К = Л.+М. ~ « о (АрА {1~ 2 А ) 2 , Ms = Я ( l " « о (v)dx>
h = ^ - « .M M (I -2 7 2)> ns = Л0+2//0- и0(у)/г0£/2,
dx = [ f ( 3 _ 2 ;72) +wo(v)] '» ^ 2 = ^ - [ ^ ( l - 7 2)+»o(v)]
(9.4.70) Коэффициенты же при со3 определяются формулами
> ",
' |
ПР ? Т |
* • = ( 1 - 2 r ffn a, lm= {\ -2if)nm, |
(9.4.71) |
в которых функции АД77) и Л, ( 77) те же, что и в (8.3.59).