книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

373

Поэтому интеграл J^j} сводится к вычислению трех интег­ ралов

-its

~2----- 2Л > М,{$ * ~Mt

(8.1.13) каждый из которых имеет особую точку, лежащую на вещест­

венной оси, так как ц. - вещественные числа. Правило обхода этих точек выбирается так, чтобы в результате функция Грина

8 с ф ( х ) описывала расходящуюся волну (условие причиннос­ ти). Удовлетворяя этому условию, найдем

[ ~Т— Tdt =1 3° S/52 dt + lim f ^°StS dt + f{s ,p i).

pjf которая обходит точку р. в нижней полуплоскости комп­

лексной плоскости / , / (s,pt)- нечетная функция аргумента S . Первый интеграл в правой части (8.1.14) равен [11]

член, пропорциональный /(s ,/r ,), исчезает в силу нечетности этой функции, то с точностью до несущественных слагаемых имеем

377

+P ^2\gafl{ x - x ,)up{x')dx', ерт(х) = V ^ w jx ).

V

Здесь ua(x) - "падающее" внешнее поле, удовлетворяющее

ческий тензор Грина для основной среды, явное выражение для которого получено в § 8.1.

Следствием уравнения (8.2.1) является уравнение для амп­

При х eV уравнения (8.2.1) и (8.2.3) являются уравнения­ ми относительно полей иа(Х) и £,ф(Х) внутри включения, по

которым поля смещений и деформаций вне этой области вос­ станавливаются однозначно.

Так же, как и в § 7.2, поле деформаций £^(Х) будем счи­

тать независящим от поля смещений иа(х). В результате при­ ходим к системе двух инте1ральных уравнений, которая в

е= е - КС1£+рхffl2def gu.

Вдальнейшем будем считать, что длина волны падающего поля существенно больше максимального геометрического

378

размера включения и представим "динамическую" часть тензо­

ра Грина g ^ (x ) в форме

/ . \*

'Ы тг1? ( * - ! ) ! 1С0ГVo J

(8.2.5)

где vo - характерная скорость распространения волн в основ­

ной среде, а функция (X) имеет порядок g ap(x)s . Посколь­

ку в случае длинных волн имеют место соотношения (7.2.11), то в разложении (8.2.5) можно ограничиться лишь главными членами в вещественной и мнимой частях тензора Грина g(X ). При этом главным членом действительной части тензо­

ра g ( x ) будем считать статический тензор Грина g s(X), а в

мнимой части сохраним члены до (<ar/vo)3 включительно

& * (* ) = М + W 2 - ia?r2g% (и) . (8.2.6)

Как это следует из предыдущей главы, такое приближение позволяет найти скорость распространения и эффекты затуха­ ния упругих волн в композитной среде. Однако дисперсию скорости в среде при этом описать не удастся. Учет этих эф­ фектов в принципе возможен и в упругой задаче, но связан с большими техническими трудностями.

Таким образом, аналогично предыдущему в выражении (8.2.6) и далее со формально можно считать малым парамет­ ром и строить решение уравнений (8.2.4) в виде разложения

тому при дифференцировании тензора g ap(X) и построении ядер интегральных операторов в (8.2.4) линейное по со слага­ емое исчезает и главные по со мнимые части тензора Vg и К определяются последними слагаемыми в (8.2.6).

Аналогичное (8.2.6) разложение ядра оператора К имеет

вид

379

K(*,ffl) = K '(x ) +i<o'H, К ' = (к'да.) =

где H - постоянный тензор.

Итак, в соответствии со сказанным будем искать решение

*«*(*) = * У * ) + « » 3*&(*)- Подставим эти выражения в уравнения (8.2.4) и приравня­

ем члены при одинаковых степенях со. С учетом главных по

(8.2 .12 )

Заметим, что отброшенные в правых частях уравнений (8.2.9) и (8.2.10) слагаемые (см.аналогичные уравнения (7.2.15) и (7.2.16)) в принятом здесь приближении не дают вклада в окончательный результат в схеме эффективного поля не толь­ ко для модели точечных дефектов, ~но и для более сложных статистических моделей случайного множества включений.

В длинноволновом приближении изменением полей и° и

® фв области Vможно пренебречь. Допустим, что эта область

имеет форму эллипсоида, заданного уравнением

380

где a, (/=1,2,3) - полуоси эллипсоида. В этом случае система уравнений (8.2.9)-(8.2.12) может быть решена точно относи­ тельно коэффициентов представления (8.2.8).

Если eXfl(x)=const при xeV , то в силу полиномиальной

консервативности оператора К* для эллипсоида из уравнения (8.2.11) следует

=, Л -(в )= (/ + Л-(в)С')'',<8.2.14)

где тензор А° (а) определен в (2.4.2).

Поставив (8.2.14) в правую часть уравнения (8.2.12), совер­ шенно аналогично получим

^ = Л ^а) = vA0(a )# C 1A0(a), (8.2.15)

где V, по-прежнему, - объем эллипсоида.

Обратившись теперь к равенствам (8.2.9) и (8.2.10), найдем

Эти соотношения связывают поля смещений и деформа­ ций внутри неоднородности с падающим внешним полем в длинноволновом приближении. Подставив формулы для е(х) и и(х) (8.2.17) в правую часть уравнений (8.2.1) и (8.2.3), мо­ жно найти волновые поля вне включения, и, следовательно, выражения (8.2.17) полностью решают задачу о рассеянии

симметрию эллипсоида и определяется девятью существенны­ ми компонентами. В осях координат, совпадающих с осями симметрии эллипсоида, эти компоненты определяются выра­ жениями