книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

422

Q =-\m \ {o ap f 2i*+ va/ / M+ ^ a / ra^ p )nadS

s

(8.6.10)

Осреднив эту величину по времени (по периоду) и обозна­ чив эту операцию символом <>,, получим

Учитывая, что ua=u°a+usa, crafi=<fafi+(/afi , представим вели­ чину <Q>, в виде суммы трех слагаемых, связанных с падаю­ щем полем <Q° >,, рассеянным полем <QS>, и интерферен­

цией падающего и рассеянного полей < Q'ni >t:

(0 , = { а - ) , + ( е ‘ ) , + ( б “ ),- <8бЛ2>

(2*), = т®1т1<ЛЧЛ', ( O ’ ),= l®ImJCTV'Pv<s>

s s

В силу закона сохранения энергии из (8.6.12) имеем

Полное сечение рассеяния Q(o)) по определению есть от­

ношение величины <Qs>t к среднему по периоду количеству

энергии < Г >1 , проходящему через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения падающей волны, т.е.

Введем вектор единичной нормали п° по этому направле­ нию. Тогда

Здесь еа - единичный вектор поляризации, причем еа=п°а

для продольной волны (q~oc) и е-п°=0 для поперечной волны

(q-fi). Подставляя (8.6.16) в (8.6.15), найдем

Что касается выражения для <QS>, , то при его определе­ нии существуют две возможности. Подставив формулы (8.6.5)

и (8.6.8) в выражение для < Q > , в (8.6.12), получим

(Qs)t = \<о^\[Л а+ 2рл)с\А$ +pJfi,§\dS . (8.6.18)

Другая возможность определения <Qs>t опирается на ана­ лог "оптической теоремы" для упругих колебаний. Исходя из формулы (8.6.13), будем считать, что поверхность S - сфера большого радиуса Г . С использованием выражений (8.6.5), (8.6.8) и (8.6.16) найдем на S

пао > ^ =±[Fl(n)exp{-icr) + F2{n)exp{-ipr)]txp(iqrn0•п),

= f [ 0 , (и)ехр(/аг) + Ф2(п)exp(//fr)]ехр(-/0ги° п),

F\(») = ч\К( А ■п)(е ■п ) + 2ft. (А ■е)(п ■п )], (8.6.19)

F2{n) = q^B -n){e-n)+{B -e)(n -n°)\,

Ф,(и) = а(Л0+ 2//е)(А-е), Ф2(п) = Ди.(В-е).

Подставим теперь эти выражения в интеграл

Для вычисления интеграла J(O) ) воспользуемся основан­ ным на методе стационарных точек соотношением для произ­

вольной функции f (п) при г-^оо [9]

- J f{n)e*p{-iqrn -n)dS ~ — [/(и ° )е х р (-^ г )-/(-и 0)ехр(/?г)].

+e •A'{-n)Qxp(-iqr)]+q/u0exp{-ifir)\e ■B*(n)exp(iqr) +

+e ■B*(-n°) exp(-/<7r)] - а(Ло+ 2//„) exp(/ar)[e •A(n°) exp(-/'^r) -

- e •A(-n ) exp{iqr)]-pn«exp(//2r)[e•B(n°)txp{-iqr)-

Допустим, что падающее поле - продольная волна, т.е. q=a, е-п . Так как п°-В(п°)= 0, то формула (8.6.22) переходит в следующую:

У(щ)=4д(Л.0+2//0){-/'1т^«0-Д(и0)|+Ке[и0-Д(-А10)ехр(2/ог)]|,

425

Если падающая волна - поперечная (Г-волна), то q=fi, е-п=0. В этом случае Aa(±n°)ea=ejj°an^ffi(±an°)=0 и форму­ ла (8.6.22) дает

j(co) = 4к/и0{ - / Im[e ■В(п°)] + Re[e •в(-п°) ехр(2//?г)]}.

(8.6.26)

В результате приходим к следующему выражению для полного сечения рассеяния Т-волн:

Как следует из полученных формул, для определения Q(co) необходимо знать поля смещений и деформаций внутри неод­ нородности. Если эти поля найдены приближенно, то форму­ лы для Q(OJ) позволяют получить приближенные значения полного сечения рассеяния. Отраничимся рассмотрением длинноволнового приближения, соответствующего рэлеевскому рассеянию на неоднородности. В этом случае в предыду­ щих соотношениях можно положить

exp(iqrf ■х) да 1, ехр(-йрт•х) »1 (x eV ). (8.6.28) Воспользуемся теперь полученными формулами для под­

счета полного сечения рассеяния включений различной фор­ мы.

1°. Сферическое включение. Пусть в общем случае слоисто­ неоднородное включение в изотропной среде имеет сферичес­

кую форму. Для определения Q(co) используем сначала фор­ мулу (8.6.18). При этом главные по со члены разложения фун­ кции Q(co) можно получить, положив ("квазистатическое” приближение)

где тензор А(Х) определен в §2.8 при решении статической задачи. Рассмотрим сначала продольную волну, для которой

и найдем соответствующую этому функцию f a(qn) из (8.6.7):

426

кр - кХлх~qx), Рр=рХЩ~Чг)-

В этих формулах п{ и qf (/= 1,2) определены в (5.4.8), а ве­

личина ~рх - в (8.2.28). Далее в соответствии с (8.6.6) находим

где в - угол между волновой нормалью и° падающей волны и

произвольной нормалью па к поверхности включения.

Используя эти выражения в формулах (8.6.15) и (8.6.18), после интегрирования получим

В частности, для очень жесткой сферы имеем

427

Пусть теперь падающая волна является поперечной. Для удобства вычислений введем декартову систему координат с началом в центре включения, причем ось z направим вдоль

полярной оси сферической системы координат (г, $,z) с нача­

где ха и za - орты осей X и z соответственно. В этих обозна­ чениях имеем

/ ,W = ~~ V 2 [дв>2* « -q0Hp(xacosO+za sin 0cos0)].

ридиану на единичной сфере в точке с нормалью п . Подставив полученные выражения в (8.6.15) и (8.6.18), по­

лучим

428

(8.6.40) Найдем теперь величины QL(<У) и QT(co) с помощью "оп­

тической теоремы". Прежде всего заметим, что в длинновол­ новом приближении

кс1»Р(РНР)арх/ К \

(8.6.41)

В этом выражении к- волновое число падающей волны,

по - волновая нормаль, е°а - единичный вектор поляризации,

величины g (l) и Н определены в (8.2.21) и (8.2.22).

Подсчитаем мнимую часть векторной амплитуды Inг4а(ог/0)

для продольной волны (е°а=п°а, к -а ):

(8.6.42) Подстановка этого выражения в формулу (8.6.25) приводит

к найденному ранее выражению (8.6.33) для полного сечения рассеяния продольных волн сферическим включением.

Аналогично с помощью векторной амплитуды поперечной рассеянной волны

и формулы (8.6.27) приходим к тому же выражению (8.6.40) для полного сечения рассеяния Т-волны.

Заметим, что сравнение двух приведенных подходов к оп­ ределению полного сечения рассеяния указывает на то, что применение оптической теоремы требует более точного опре­

430

A-~—74^— о— \[l+(4 +2JU 1) A 6+ 4 ( A I+//1) A 1+ 4 A I A 3J + 2 A 1A 6- 2 A J .

2/il(3Al+2/il)L

(8.6.46) Полученные формулы могут быть использованы и для пре­

дельных случаев очень тонких (у—»оо) сфероидальной поры (трещины) или абсолютно жесткого кругового диска. Перей­ дем для этой цели в (8.6.45) к асимптотическому разложению при больших у, ограничившись лишь главными членами это­

го разложения. Учитывая, что при у—»оо, / о—»я/4^, f x—>

Пусть неоднородность представляет собой круговую в пла­

не трещину (С '= -С °). Используя формулы (8.6.46), найдем в этом случае с точностью до членов порядка единицы