книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

341

^SSl= ( *2 * + p /i S ^ r J ^ A ^ , / « w = -PiKpfi ■

(7.2.41) Таким образом, свободный член в правой части уравнения

(7.2.41) в области V - полином второй степени. В силу поли­

номиальной консервативности оператора К* решение этого уравнения - полином той же степени, т.е.

Считая, по-прежнему, что величины и°(Х) и £°а(Х) посто­ янны в области V и дифференцируя это уравнение дважды по

постоянная и линейная функция координат соответственно.

выражение для которого в общем виде уже было получено в § 2.5. Дадим здесь другой вывод явного выражения для этого тензора в терминах внутренних потенциальных факторов эл­ липсоида. Аналогично предыдущему имеем

342

Здесь у/рт(.у)~ гармонический потенциал эллипсоида, плот­

ность которого является квадратичной функцией координат. Эта величина представляет собой двухвалентный тензор с ор­ торомбической симметрией, шесть существенных компонент которого определяюся выражениями [111]

¥\\=т \[г{Мооо~а\A^ioo)- (A^ioo- a i ^ш)У\~{^о\о~а\Мт)у2~

~{^oo\~a i М т ).Уз+(мпо—а, М гх^)уху г+ { м т —а хМ т ) у 2у г +

^ 12=2 яй2а 2 ( м и0у,у2-^ Мшу]у2-^М туУ2-М , иУ .уУ )

(остальные четыре компонента получаются отсюда круговой перестановкой индексов).

С помощью этих формул находим следующие выражения

для существенных компонентов тензора 4 ^ ^ , полностью

симметричного по четырем первым и по паре последних ин­ дексов

Циклическая замена индексов позволяет найти отсюда ос­ тальные линейно независимые компоненты тензора 4 ^ .

343

Из уравнения (7.2.44) находим

где 1т(2) - шестивалентная тензорная единица.

Дифференцируя теперь равенство (7.2.43) один раз по ко­

где, по-прежнему, учтено, что |Кsa^x-x')dx'=const. Положив в (7.2.50) х = 0, можем записать

вычисляется с помощью выражения (7.2.38) и представляется в форме

344

Положив, наконец, в (7.2.43) * = 0 , получим

+J^ A e% . (7.2.57)

При этом учтено, что J K ^ * )JC Л = 0 и обозначено

Этот инте1рал вычисляется с помощью формул (7.2.47) и представляется в форме

где ¥ архр ■ орторомбический тензор, существенные компонен­

ты которого определяются следующими выражениями (с кру­ говой перестановкой индексов для невыписанных компонент)

¥\\\\-~~га\(М оо“ а1^20о)> V/22n=~~2a\{MoloaiM\\o),

¥ 33ii= \а\[Мт~а\М10\)9 У/\2п=~2а\а2^\\о •(7.2.60)

Решая уравнение (7.2.57) относительно коэффициента е(°\ найдем

Таким образом, коэффициенты зависимости (7.2.42) опре­ делены, а саму эту зависимость удобно представить в виде

345

+{-pxgsA°xC'\° + V / C ' A (2) + Vg^C'A'jsix)

или в более краткой форме:

Явные выражения для фигурирующих в (7.2.65) интегралов могут быть выписаны с помощью предыдущих формул и здесь не приводятся.

Переходим теперь к решению последней группы уравне­ ний (7.2.16) и (7.2.19). Начнем с уравнения (7.2.19). Учитывая, что

346

(7.2.66)

можем записать

<£’М + J K '„(* - x')C'^l\x')dx' = - vK%С'к Л\ре ;,

Формулы (7.2.70) и (7.2.71) выражают волновые поля во включении через падающее поле в длинноволновом прибли­ жении.

348

+PjO)2g{x - x')i/(x')]F(x; x')dx'.

Здесь, как и раньше (гл-V), через V (х; х ') обозначена ха­ рактеристическая функция области, определённой следующим

образом: V = U Vt при х е Vk.

i*k

Следуя гипотезам метода эффективного поля (см. § 6.1), будем считать, что поле м*(х) имеет одинаковую структуру каждой из областей Vk. Тогда в длинноволновом приближении волновое поле и(х) и его градиент £а(х) выражаются через

еа(х) = A afi(x,o})efi{x) + Aa{x,co)u(x) .

В этих выражениях La(x,0)),l (х,<у),Ла^(х,<у),Я0(х,<у) -

функции, совпадающие при х е Vk с величинами, определён­ ными формулами (7.2.71), в которых х следует понимать как координаты точки в системе координат с началом в центре

области Vk.

Подставив выражения (7.3.4) в правую часть уравнения (7.3.3), получим самосогласованное уравнение относительно локального внешнего поля

(7.3.5)

г „(х, х') = УЛя(х - *')£ ]„ (х О Л ^ х ') +pld)2g{x - x')La{x') ,

A x,x’fcVxg(x-x’)C^{x')x£x')+pla>2g (x -x ,№ x'), (7.3.6)

(зависимость функций от частоты (О здесь и далее для крат­ кости опущена).

Так как положение центров и ориентации включений слу­

чайны, то поля м*(х) и еа(х ) - случайные функции коорди­

349

нат. Уравнение (7.3.5) является отправным для построения средних значений этих функций. Будем символом <-|х>, попрежнему, обозначать операцию осреднения по ансамблю реализаций случайного множества включений при условии, что точка х находится в области V. Предположим далее, что

значения случайных функций и (х) и £*(х) не зависят от

свойств и геометрических характеристик включения, в кото­ ром находится точка х. Осреднив затем уравнение (7.3.5) по ансамблю реализаций случайного множества включений при

(у(х, x')F(x; х')) = Vxg{x - х')(С|„ (х')Лм(х')^ (х; х’)) +

+А сo2g(x - x')(/(x')F(x; х')) .

Здесь символ <-|х';х> означает операцию осреднения при

х,x'eF. Получить выражение для такого среднего можно вновь с помощью уравнения (7.3.5), осреднив его при условии x,x'eF. При этом его правая часть оказывается зависящей от более сложных условных средних. Повторение указанной опе­ рации приводит к бесконечной цепочке связанных статисти­ ческих уравнений относительно условных средних все более сложной структуры. Поэтому возникает обычная в задачах та­ кого рода проблема замыкания, которую можно решить лишь приближенно. Одну из простейших возможностей замыкания статистической цепочки уравнений на первом же шаге предо­ ставляет уже использовавшаяся выше "квазикристаллическая аппроксимация", в силу которой упомянутые условные сред­ ние совпадают, т.е.