книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

которое следует из определения (6.2.9) функции Х (хх\х')упо­ лучим

(АТ(х')Л'(х,;х')(7 (х') ® а { х 2)|х,;х2) = (6.6.13)

= (М - (х ')о -* М ® ° ( х 2 ) х ( х , ,х2; х')|х,; х2) +

+S(x' - х2)(м°(х2 )<т {х2) ® а {х2)|х,;х2).

Используя теперь гипотезу Н2 и предположение типа (6.3.11)

(ст(х')® ст{х2)|х', х,;х2)=(ст (х')®<т (х2 )|х'; х2 )=ст(2\х'-х2),

(6.6.14)

выражение для каждого из средних в правой части (6.6.13) можно представить в виде

(М °(х')< х(х')® ст (х2)х (х 1,х2;х')|х1;х2) =

{М°(х2)сг (х2)<8>сг*(х2)|х,;х2^ = M°D(X2 - х,) . (6.6.16)

Подставляя предыдущие соотношения в (6.6.13), а резуль­

тат - в (6.6.10), получим выражение для ст*(х) в виде

<т^(х, —х2) = сг ®Ф ст(х, - х2)+5(х, - X2)M°D(X2 —X,) +

(6.6.14), среднее под интегралом в (6.6.7) можно представить в форме

322

= s(x '- X2 )М°Фа{х2- x , ) + М °фа{х '- X2 )F (x’,X X, X 2 ) .

Подставляя этот результат в (6.6.7), будем иметь

Ф „(*, ~х2) = а + S{x, - х2)М°Фа(хх- х 2)+ (6.6.20)

+J S(xx- х')М°Фа{х '- х2)F{x\xx,x2)dx'.

Преобразуя аналогичным путем правую часть (6.6.10), по­ лучим

D{xx- х 2) = сг® Ф а{хх- х 2 ) + £(*, - х 2) М ° ст(1\ х х - х 2 ) +

+|5(х, - х')М°а^2\х' - X X) F { X ' ,xx,x^)dx'. (6.6.21) Уравнения (6.6.17), (6.6.20) и (6.6.21) образуют замкнутую

систему относительно трех искомых функций а (2)(Х), Фст(х) и D(X). Конкретная структура случайного множества X вхо­ дит в эти уравнения через функцию F(xf^,д^), определенную соотношением (6.6.18). Выражение для этой функции рас­ сматривалось в § 6.2, где оно получено в явном виде для слу­ чайной пространственной решетки точечных дефектов (см. (6.2.29)).

Рассмотрим решение указанной системы уравнений на примере плоской задачи для системы точечных дефектов, рас­ положенных на одной прямой L. Пусть такими дефектами моделируется система лежащих на L прямолинейных разрезов (трещин) случайной длины 21. Координаты центров разрезов образуют однородное на L случайное множество. Будем счи­ тать, что внешнее поле напряжений представляет собой одно­ осное растяжение в направлении нормали П к линии разрезов и имеет вид

где <т - скаляр.

Заметим, что в данном случае состояние любого дефекта однозначно определяется нормальной компонентой локально­

го внешнего поля а , в котором он находится, причем из со­

323

ображения симметрии следует сг^Ддс)пр=а (х)па, где сг (х ) - скалярная функция.

В случае изотропной среды тензоры M°apXfJ и naSapXfi (х)пм

принимают вид (х - координата вдоль L )

где х 1- обобщенная функция, преобразование Фурье которой есть - /г|&| [11] .

Умножая уравнения (6.6.17), (6.6.20) и (6.6.21) слева и справа на нормаль п и учитывая (6.6.23), придем к системе уравнений

Если плотность дефектов п устремить к нулю, то F —>0 и интегральные члены в этих уравнениях исчезают. При этом система (6.6.24) описывает взаимодействие двух точечных изо­ лированных неоднородностей. Решение системы (6.6.24) будет иметь при этом вид

324

Выражение для (р{х) представляет собой нормальную ком­ поненту поля напряжений, в котором находится каждый из двух одинаковых точечных дефектов, расположенных на рас­ стоянии х друг от друга. Это выражение для (р{х) было полу­

чено в §5.14 (см. (5.14.11), где отмечалось, что при х<Ь ре­ шение (6.6.26) уже не имеет физического смысла.

Следует отметить, что точечному множеству, в котором дефекты могут оказаться расположенными как угодно близко друг к другу, нет адекватного аналога в случае неоднороднос­

тей конечных размеров (см. § 5.14). Поэтому для получения физически непротиворечивых результатов необходимо ввести ограничение на возможность сближения дефектов в случай­ ном множестве X. В рассматриваемом случае, например, цен­ тры трещин, которые моделируются точечными дефектами, не должны сближаться, на расстояния, меньшие, чем сумма их полудлин, чтобы не слиться. Это обстоятельство можно частично учесть, если воспользоваться следующей стохасти­ ческой моделью одномерного точечного множества.

Пусть хк- координата к-го дефекта, а разность дг*_, - хк

для всех к - независимые случайные величины, распределен­ ные по одному и тому же нормальному закону

(6.6.27)

Здесь /0 - среднее расстояние между дефектами, Г2 - дисПерсия. Если г—>0, получим регулярную цепочку дефектов. Для того, чтобы адраничить вероятность сближения дефектов, предположим, что Т достаточно мало. Поскольку величина, распределенная по закону (6.6.27) с вероятностью, практичес­ ки равной единице, лежит в интервале (/о—3г,/с+3г), будем

считать, что ^ = (г//0)<1/3.

325

Функция F (x ',x ,,x 2), входящая в подынтегральные выра­ жения системы (6.6.24), имеет вид, аналогичный (6.2.29):

где штрих над знаком суммы означает пропуск слагаемого

к=0, а два штриха - слагаемых и=0 и п - к.

Подставляя это выражение для F в систему (6.6.24), будем

Такой вид структуры решения диктуется следующими со­

ображениями. Функции <J (2\D и (р характеризуют парное взаимодействие в случайном множестве точечных дефектов. В первом приближении можно считать, что их вид совпадает с соответствующими для двух изолированных дефектов (6.6.26), а наличие окружающих точечных неоднородностей сводится к

изменению внешнего поля сг, которое действует на эти два дефекта. Отсюда сразу приходим к представлению (6.6.30).

Численные расчеты показывают, что функции сг, (Л*),/),(* ) и <рх(х) хорошо аппроксимируются постоянными, значения которых зависят от параметров р - 2Ь/ /о и %. Обозначим эти

значением, соответствующим регулярной цепочке дефектов (*=0).

Разность Dю - (р2^ равна

дисперсии поля а . Из рис.6.4 следует, что дисперсия мак­ симальна при ^=0.2-г*0.25 и практически равна нулю при

^ < 0 ,1 , что соответствует ре­

гулярной структуре. При %>j

величина - ср\ становится отрицательной. Этот не име­ ющий физического смысла результат связан с увеличением

вероятности сближения дефектов на расстояние, меньшее Ъ, при слишком больших х-

Как видно из (6.6.30), радиус корреляции эффективного

поля <j (X) имеет порядок среднего линейного размера де­ фекта Ъ и мало зависит от относительной дисперсии расстоя­ ния между дефектами х •

327

Обратимся теперь к вычислению второго момента поля напряжений в среде с точечными дефектами. Для этого тензорно перемножим выражения (6.6.1) для сг(х), взятые в раз­

личных точках х, и х2. Осредняя результат по ансамблю мно­ жества X, получим

S x ^ x ~x%MlSvlx')cfvp{x')x(x'))dx'+\ Safivp{x-x')dx'x

(6.6.31)

Учитывая гипотезу Н2, среднее под интегралами в этом соотношении представим в виде

(.M°{x')M°(x")(j{x')a{x")x(x')x(x")) =

=п°^х'-х")МЮ„М°+(х{х"-,х')х{х"))М0ст'(г){х,-х")М°.

Здесь учтено, что два разных дефекта не могут находиться в одной точке. Поэтому при х" = х' имеем

(а ( х ‘V (* " )| * ',x " ) = (о-*(х')ст(х')|х') = Д , . (6.6.33)

Подставляя (6.6.32) в (6.6.31) и учитывая, что оператор S аннулируется на постоянных в силу (5.2.11), получим

( ^ ( * К Д ° ) ) = + ^ П afSXflVtSp{x)DxvzSp +

+Jп а ^ з Р(х-х')о^1{х')Ч {х’)(!х', Д < х -х ')~ (^ (х ;х ')| х ),

apXfjvrSp^*) = j ^сфуд(Х ~ Х ) ^ rSvT^Xfte<o(X')^eiaSf^C- (6.6.34)

Таким образом, второй статистический момент поля нап­ ряжений выражается через условные моменты функции

328

cr*(JC), являющиеся решением системы (6.6.17), (6.6.20), (6.6.21). Выражение для второго момента поля деформаций е ( х ) можно представить в виде, аналогичном (6.6.34).

Вернемся к одномерному множеству точечных дефектов. Вычислим второй момент t (X) нормальной компоненты тен­ зора напряжений, когда точка X находится на линии дефек­ тов L\

Ах)={от{х)стпп{0)), о-„п(х)=пасг^ (х Ц . (6.6.35)

Из соотношения (6.6.34) следует выражение для функции

i (х) в форме (п°=1~')

00

/(х) = (<7 )2 +/„я(х)Ао + J

(6.6.36)

где функция <т*(2)(х ) имеет вид (6.6.30), а 'F(X) для модели точечного множества, рассмотренного выше, имеет вид

Здесь f k(x) определяется соотношением (6.6.29). Функция 7Г(х) - аналог П (х ) в (6.6.34) - в данном случае

График непрерывной части функции t(x )-(a )2 представ­ лен на рис.6.6. Наличие сингулярной составляющей и особен­ ности при х = Ъу корреляционной функции случайного поля <т„„(х) на линии дефектов связано с заменой реальных тре-

329

щин точечными дефектами. Для случайного поля неодно­ родностей конечных разме­ ров корреляционная функ­ ция должна быть гладкой, ограниченной и иметь радиус корреляции порядка средне­ го размера дефекта. При приближении случайного по­ ля дефектов к регулярной ре­ шетке радиус корреляции по­ ля напряжений возрастает, что видно и из рис.6.6 (не имеющая физического смыс­ ла область х < Ъ на рис.6.6

не показана ).

Г Л А В А VII

РАСПРОСТРАНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В СРЕДЕ С ИЗОЛИРОВАННЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ

В предыдущих главах метод эффективного поля использо­ вался для описания упругой деформации матричных компо­ зитных материалов при статических внешних воздействиях. В данной главе этот метод применен для решения задачи осред­ нения скалярного волнового уравнения, описывающего ста­ ционарный волновой процесс (акустический, электромагнит­ ный и т.д.) в матричном композитном материале, содержащем случайное множество эллипсоидальных включений.

Поскольку в основе метода лежит решение одночастичной задачи, сначала в длинноволновом приближении решается за­ дача дифракции акустических волн на одном включении в бесконечной однородной среде. Это решение используется за­ тем при рассмотрении распространения длинных волн в среде со случайным множеством включений с учетом эффектов многократного рассеяния. При этом сравнительная простота математической постановки задачи дифракции акустических волн позволяет использовать метод эффективного поля с мак­ симальной полнотой. В данной главе рассмотрена задача пос­ троения эффективного волнового оператора в длинноволно­ вом приближении. Показано, что этот оператор описывает распространение акустических волн в некоторой однородной среде, эквивалентной исходному композитному материалу, обладающей пространственной и временной дисперсией и за­ туханием. Найдены выражения для скоростей распростране­ ния и коэффициентов затухания акустических волн в изотро­ пной среде, содержащей сферические включения. Рассмотре­ на возможность учета парных взаимодействий включений в динамической задаче.