книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

431

где функция ho(rj) определена в (8.3.49).

Рассмотрим сначала продольную волну (е°=и°, к=а).

Обозначим через 6 угол между волновой нормалью падающей волны и осью вращения эллипсоида. Воспользовавшись фор­

мулами (8.6.41), (8.6.6) и (8.6.26) при а3—>0, получим

где величина /г, ( 77) определена в (8.3.49).

Как это следует из (8.6.41), сечение рассеяния поперечной волны зависит от ориентации вектора поляризации. Этот век­ тор лежит в плоскости, перпендикулярной вектору волновой нормали, и может быть определен утлом <р наклона к осям прямоугольной системы координат в этой плоскости при лю­ бом угле 0. Это позволяет представить вектор поляризации

е°а поперечной волны в виде

где векторы е'а и е2а характеризуются следующими компонен­ тами в сферической системе координат с полярной осью х3

Для этого случая находим:

{РНР)а^п\п\ = {Р2(п[атй sin 0 +e\jnn cos6 - mamfisin 2 б) +

432

+Л, if mjrtp + (1 - 2 i f ) 0J sin 2 #} sin (p+ R ^jn^ cos 0cos <p.

(8.6.53) Подстановка этого выражения в (8.6.41) и использование

затем формул (8.6.6) и (8.6.27) дает

QT( Ы = Qn( e)sin> + QT1( в)cos2 <р, (8.6.54)

где величины Qn (6 ) и QT1{9) соответствуют полным сечени­ ям рассеяния поперечных волн на трещине с векторами поля­

ризации еха и е2. Эти величины определяются выражениями

Пусть теперь включение представляет собой абсолютно

жесткий ((С 1)-1 = 0) сфероидальный диск. В этом случае име­ ем

(8.6.57)

Если на диск падает продольная волна, то

433

- 2/»(а«л cos0+ mattipcos2 0 - ^ 0 ^ sin26»)], 0^ = Safi-m amfi.

(8.6.58) Определяя с помощью этого выражения полное сечение

рассеяния L -волны, найдем

Для поперечной волны тензор (РНР)пе° в случае жест­ ких дисков принимает вид

+ \ (2татр- 0^ ) sin20) sin <р+(п(ае2й-т ^% cos0) cos<?>]}.

Эта формула приводит к следующим выражениям для QTX

и QTI

434

( , 6 , „

Переходим теперь к рассмотрению удлиненных эллипсои­ дов вращения. Пусть ось хг декартовой системы координат направлена по оси вращения вытянутого сфероида с полуося­ ми ах=аг=а, а3>а. В этом случае тензор А из формулы (8.6.44) представляется в форме

А =

+ ( l - 2 K.)?>; ](/>l- i P ! ) + 2(«.l - « . ; )(;>! + />4) + (8.6.62)

где уо - коэффициент Пуассона основной среды.

Перейдем в этом выражении к пределу при у—>0, что со­ ответствует тонкому сфероиду (волокну). С учетом лишь глав­

ных членов асимптотики ^,~2лг(1+3^21п^), (р2=2 я(\+у2\пу) формула (8.6.62) переходит в следующую:

Я

+~~~~{угIn г) ( ^ 3 + Р*) + ^Р* - { у 2\п у)Р6 .

Если сфероидальное волокно абсолютно жестко {Р=А~Х)> то в этом случае имеем

435

(8.6.64)

С помощью этих формул находим полные сечения рассея­ ния продольной и двух поперечных волн

J* Тонкое трещиноподобное включение. Полученные в пре­ дыдущем пункте формулы для предельных случаев сплющен­ ного сфероида позволяют получить результаты и для круговой в плане трещины. Однако в тех случаях, когда тонкие неодно­ родности заполнены материалом с меньшей, чем у основной среды, но не нулевой жесткостью, реализация такого предель­ ного перехода становится неудобной. В этом случае подход, предложенный в §8.3 и позволяющий естественным образом учесть свойства материала, заполняющего трещиноподобную полость, является предпочтительным. Используя указанный подход, получим выражения для полного сечения рассеяния тонкого трещиноподобного сфероидального дефекта.

В соответствии с выражением (8.3.54) формула для мни­

мой части вектора f a(qn) в случае такого дефекта представля­

ется в форме

436

A‘° = A°HA°, A° =C°nAnC°, v ~ ^ т г.

Здесь тензор А в общем случае определен в (8.3.50), а для круговой в плане полости - формулами (8.3.57).

Подстановка выражения (8.3.59) для Атв (8.6.66) и вычис­ ления, аналогичные предыдущим, приводят к следующим вы­ ражениям для полных сечений рассеяния продольных и попе­ речных волн:

При стремлении Л и /л к нулю эти формулы переходят в (8.6.50), (8.6.55) и (8.6.56).

Рассмотрим случай, когда круговая в плане трещина запол­ нена вязкой жидкостью с объёмным упругим модулем к и ко­ эффициентом вязкости ае, т.е.

438

1 f rt \

& 2 = | у ( ^ ) 4« 2 - (3 + 2 ^5)Gi2 sin2 0+ 2 — {2 + rf)

5 УРо)

(8.6.72) Если диск абсолютно жесткий (/i=oo), а его плотность

имеет тот же порядок, что и плотность окружающей среды, то эти формулы переходят в (8.6.59) и (8.6.61).

5°. Короткое осесимметричное волокно. Полученные в п.2° предельные формулы для бесконечно жесткого вытянутого эл­ липсоида вращения, моделирующего короткое волокно, нель­ зя применить к волокну с большой, но конечной жесткостью, а также с отличающейся от эллипсоида формой. Для того, чтобы иметь возможность рассматривать такие случаи, следует

воспользоваться результатами, полученными в § 8.4. В силу

Здесь, по-прежнему, Sx=a/l, I - длина волокна. В длинно­

волновом приближении можно считать, что e“,CTln'?« 1,

а тензор тар(£) связан с внешней деформацией соотношени­ ем (8.4.34)

Пусть в среде с волокном распространяется продольная

волна (е°а=п°а, к=а). Подставив (8.6.74) для этого случая в

формулу (8.6.73) и воспользовавшись оптической теоремой (8.6.25), найдем