книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

Г Л А В А X

РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В КОМПОЗИТАХ, АРМИРОВАННЫХ ОДНО­

НАПРАВЛЕННЫМИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ ВОЛОКНАМИ

В этой главе рассматриваются среды, армированные одно­ направленными цилиндрическими непрерывными волокнами. Распространение упругих волн в таких средах сопровождается рядом особенностей. Во-первых, закон дисперсии скорости оказывается зависящим от направления распространения вол­ ны. Во-вторых, зависимость коэффициентов затухания от час­ тоты О) в длинноволновом пределе отличается от известной

зависимости Рэлея (у~й)4), характерной для неоднородностей конечных размеров.

Здесь при построении осредненного уравнения движения композитной среды (эффективного волнового оператора) ме­ тодом эффективного поля дисперсия скорости включена в рассмотрение. Этот оператор позволяет исследовать указан­ ные особенности распространения упругих волн в композит­ ных средах, армированных волокнами. Получены явные выра­ жения для скоростей и коэффициентов затухания различных типов волн, распространяющихся как вдоль, так и поперек волокон.

§ 10.1. Эффективный волновой оператор для композита, армированного однонаправленными волокнами

Рассмотрим неограниченную среду, содержащую однород­ ное в пространстве случайное множество однонаправленных

502

цилиндрических волокон. Для гармонических колебаний с частотой (О амплитуды полей смещений и деформаций удов­ летворяют уравнениям, аналогичным (8.5.3) и (8.5.4):

£^{уЛ 3) = ё ^ У ^ - С ^ ^ ^ у - у '^ Б ^ е ^ у '^ ё у ' +

+pxco2\ v (agftx{y-y\K )S {y,)ux{y\k%)dy'.(lb.\2 )

Здесь S(y)~ характеристическая функция области S=\jSk,

к

занятой поперечными сечениями волокон, Sk - сечение к -го

волокна плоскостью ххх2.

Обозначим через и(у,к г) локальное внешнее поле. Как следует из (10.1.1), это поле определяется выражением (аргу­

мент къ в дальнейшем для краткости будем опускать)

«а(у) = K W + ClfiAMjVpgafiiy-y'Wy'iy^^iy'W +

+ p y \ g afi( y - y ,)s(y;y')ufi(y 'W ,{y eS). (10.1.З)

В этом выражении через S(y,y') обозначена характерис­ тическая функция области Sy, определенной следующим об­

разом: 5 = и S, при у е Sk.

уi*k

Всоответствии с основной гипотезой метода эффективно­ го поля выразим поля смещений и деформаций внутри волок­

на через локальные внешние поля иа(у) и 6^ (y) по форму­

лам вида (8.5.27) и (8.5.36):

ik

« М = а ^ ; м - — 4 , Ы .

\Ро<0

503

e j y ) = [Лл , + i k A ^ H p(y)]c\Jy)-il<,l^4'Jy),

где H^\y)- функция, которая в системе координат с началом

на оси волокна Sk равна уа.

Подставив выражения (10.1.4) в правую часть (10.1.3), по­ лучим самосогласованное уравнение, которому удовлетворяет

поле иа(у)

иа{у) = К(у )+ J r4(y-y')S(y,y'Wfi(y')4y' + (Ю-1-5)

+J [ г a j y - y ') - QapXfi(У - y')Hp{y')]s{y,y')eXtt(.y')dy

Г ^ Ы = V r g J y K s A s ^ - ik, — gap{y)LpXft,

Ро

QapxM{y)=Px<o2g av(y)L°vpXM+ik3Vvg aS(y)ClSyrtTA°T(TX/jp.

Для построения средних значений полей иа(у) и 6*afi{y)

осредним уравнение (10.1.5) по ансамблю реализаций случай­

ного множества волокон при условии у eS . Используя основ­ ные гипотезы метода эффективного поля и считая, что волок­ на имеют одинаковые радиусы а, получим

и*а(у) = « а Ы + J Yafi{y-y’)'v {y,y')u'p{y,)dy'+ (10.1.7)

- У)^{уУ) - QapxM(y- y')ffp(y,y')]Pll(y’)4y',

U*a(y)=(*£Ы|.у). Kfi(y) ={е,ф(у)\у)>

504

' Ф . У ) = (s G '.y )b '), н а{у ,у ')= (5 С к ,/)я в0;')|^>.

Для однородного случайного множества волокон

и На(у,у') - непрерывные функции, зависящие только от разности аргументов и обладающие следующими свойствами:

Ч'(о) = Лв(о) = 0, Ч'ОюЬр, На{оо) = 0 , (Ю.1 .8)

где р - объемная концентрация волокон.

Искомое среднее волновое поле Ua(y)—<иа(у)> в среде, армированной волокнами, можно выразить через величины

U*a(y) и Подставив для этой цели в правую часть

уравнения (10.1.1) выражения (10.1.4), получим после осред­ нения

(10.1.9) Исключая внешнее поле и°а(у) из уравнений (10.1.7) и

(10.1.9), находим искомую зависимость

Для статистически изотропного расположения центров волокон в плоскости х,х2 ф (у ) - гладкая функция координат х,,х2, зависящая только от модуля аргумента (Ф(^)=Ф(|^|))

и быстро стремящаяся к нулю вне круга радиуса / порядка среднего расстояния между осями волокон. Вид корреляцион­

ной функции На(у,у') найдем в приближении точечных де­ фектов.

Разложим функции S(y,y') и Ha(y')S(y,y') в ряды по мультиполям в окрестностях центров ц волокон в плоскости

505

Х 1Х 2 . С учетом лишь главных членов этих разложений можем записать

S (j;, / ) = s Z <50 ; - ; 7<)+ -

Осреднив теперь это соотношение при условии yeS, полу­ чим

Му - / )

Уравнение (10.1.10) является уравнением в свертках. Пре­

образование Фурье в плоскости х,х2 переводит это уравнение в алгебраическое относительно фурье-образов функций

( / ; ( * ) = и М - р ф ) и ; - р т ^ Ш 1 М ,

* = Й Л ) . (Ю.1.14)

т^(к) =

Поскольку для достаточно длинных волн к - у « 1 при у<1,

положим в этих выражениях ехр(—/Л>_у)« 1. Тогда тензоры

506

и ^ Лм становятся функциями только параметра кг. Вычислим входящие в эти формулы интегралы. Имеем

v jJ y - k M y M y -

Первый из интегралов в правой части этого выражения допускает представление в виде

где <р - полярный угол в к - плоскости. Подставив сюда фурье-образ тензора Грина (8.5.8), найдем

А ®

(10.1.17)

оК Ро

где сохранены обозначения из §8.5. Вычислив аналогично предыдущему

получим

507

В силу указанных выше свойств функции Ф(|^|) функцию

Ханкеля H ^(pq\y\) (q=a,fi) можно представить главным чле­

-г^ Н ?{Р ЧМ) * -(1П(|РЧ\\У\)- ^ аГ8Vк3 - / ) ' (10Л-20)

Zr

В результате в длинноволновом приближении получаем

,) = -Р,<° Рр W + H j FU ХР+ т °т е VW

( 10. 1 .2 1 )

р (р9) = р ]} [ln(|p,|М) - i M gjkl - q 2]<b(\y\)\y\d\y\.

(10.1.22)

С помощью аналогичных вычислений можно показать, что второе слагаемое в правой части (10.1.15) имеет более высо­ кий порядок малости и может быть отброшено. Таким обра­ зом, имеем с принятой точностью

а тензор g1^ определен ранее в §8.5.

Обратимся теперь к выражению для тензорного коэффи­

циента Т^Цк3) в уравнении (10.1.14). Опустив детали анало­ гичных вычислений, приведем лишь окончательный результат

Здесь величина GF совпадает с Gf в (8.5.24) после замены в этой функции величин / (pq) функциями F (p q) (q=a,/3) из

(10.1.22).

Таким образом, коэффициенты в уравнении (10.1.14) опре­ делены. В его правую часть входят две независимые функции

U*и Поэтому, как уже упоминалось, необходимо еще одно уравнение, которое можно получить с помощью процедуры, аналогичной приведенной выше. Это уравнение имеет вцц

«* (* ) = £ , ( * ) - />П^„ (к)еЦк)- рЯф1(к)1Гх(к),

iW * ) - =

(10.1.27) Приступим к вычислению коэффициентов в этом уравне­

нии. Положив, как и выше, ехр(-/& -J>)«1 , можем записать

(10.1.28)