книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

563

где интеграл справа вычисляется по всему пространству R3 и учтено, что К(дг) - четная однородная функция степени (-3).

Представим функцию «„£(«„•£') под интегралом в (ПЗ.2.7) в форме

Используя свойства свертки, можно в последнем интеграле перейти к преобразованию Фурье подынтегральных функций

JК (£- £ )Н {п •? ) d ? =(2я) 3J}С {к )Н '{к )е -‘кЧ к =

Здесь учтено, что преобразование Фурье функции Н(по £) имеет вид

H*(k) = H*{kl,k2,ki) = {2 я)2 ^ к х)^ к 2 )[л £ к г)+ ik? ].

(ПЗ.2.11) Обозначим через J+(no) значение предела (ПЗ.2.7) при

стремлении у к нулю со стороны нормали по, а через J_(no) - с противоположной стороны. Очевидно, что эти пределы не

зависят от размера области С1р и в силу ПЗ.2.9, ПЗ.2.10 имеют

вид

y+(/iJ4[K*(o)+K*(/ie)]ceD-z), J (HJ 4 [ K *(O)-K > ,) ] C °D .

(ПЗ.2.12)

При замене по на (-«„) интеграл (ПЗ.2.7) меняет знак, тог­ да как предельные значения его по-прежнему определяются

соотношениями (ПЗ.2.12). Отсюда следует равенство ./+(ио)=

564

=-J_(no), которое приводит к соотношению К*(0)=(С°) 1 (сравни с 1.2.21).

Запишем теперь выражения для предельных значений по­ тенциала (ПЗ.2.1) с плотностью (ПЗ.2.5) в точках поверхности Q . Устремляя р к нулю в (ПЗ.2.6) и учитывая (ПЗ.2.12), полу­

чим, что при х— предельные значения рассматриваемого потенциала со стороны нормали е+и с противоположной сто­ роны Е имеют вид

п

(П3.2.13) где символ / означает интеграл в смысле главного значения по Коши, который существует в силу четности К (х ),

Ех - единичный четырехвалентный тензор.

Пусть теперь в (ПЗ.2.1) функция Ь ( Х ) бесконечно диффе­

ренцируемая на Q (Z>(x)eCco(Q)). Представим потенциал f(jc ) в форме

£ -Jx)=[K am{x-x')r^lx')[b^x')-b^x)-dJ>p{x){x'-x)^ £ l’+

Q

+J "x')C°Xllvtp v{ ^ ) ^ bP{x){x' ~ x)dQ!. a

Здесь первый интеграл является непрерывной функцией во всем пространстве и сходится абсолютно при всех х. При

х^1 его можно понимать в смысле главного значения и представить в виде суммы двух интегралов с плотностями b(x’)-b(x) и cb(x)(x'-x) соответственно, каждый из кото­

565

рых в указанном смысле существует. Второй интеграл в (ПЗ.2.15) представляет собой обобщенную функцию (ПЗ.2.4), а последний интеграл можно рассматривать как потенциал (ПЗ.2.1) с плотностью (ПЗ.2.5), разрывы которого на Q опре­ деляются соотношениями (П3.2.13). Отсюда следует, что пре­

дельные значения потенциала £(лс) на Q имеют вид (х ^ 2 )

О

х [^ (х ') -6 р( х )]б /О Т 1 Л ^ (и )^ /1(х),

где тензор Л (И) определен соотношением (ПЗ.2.14). Интеграл здесь существует и при менее жестких шраничениях на b (X) [158].

Рассмотрим теперь потенциал <г(л;) вида

О

S„02„(.л

где Q - по-прежнему замкнутая поверхность в R3.

Очевидно, что потенциалы (ПЗ.2.1) и (ПЗ.2.17) связаны

Поэтому из (ПЗ.2.16) следует, что его предельные значения на О определяются соотношением

*) = l Safix^x-x,)nx{x ,)[btl{x ') -b tt{x)\iQ: +

Q

566

Учитывая выражение для К*(п) (1.1.35), можно убедиться,

что вектор паиар(х) - непрерывен при переходе через поверх­

ность Q (naS*apX)i(n)=0). При х e Q выражение для вектора

Если поверхность О не замкнута, томожно считать, что интегрирование в (ПЗ.2.16), (ПЗ.2.19) проводится по любой гладкой замкнутой поверхности, включающей Q, b (Х)=0 вне

П. Пусть Q - дополнение П до замкнутой поверхности. Учи­ тывая представление (1.2.4) для S(x)

где dTM- векторный элемент длины на контуре Г - границе

Q , ориентация которого согласована по обычному правилу с

ориентацией Q . Таким образом, в случае незамкнутой повер­ хности соотношение (ПЗ.2.19) принимает вид

0*efi(x) = fS a fix J x -X 'M x 'lfo M -h J x fy n ' + Q

+f rotvxZapv,{x - х')сЛГ[Ьм(х) + \S'af}Xfi (n)<9xbM{x),

г

(П3.2.23) где положительный обход контура Г согласован с ориентаци­ ей поверхности О . Отсюда и из ПЗ.2.16, ПЗ.2.17 следует, что

567

предельные значения потенциала (ПЗ.2.1) в случае незамкну­ той поверхности имеют вид

* * (* ) = lKapX^X- X')Cl»VM X'\ h (X')-bp(X)]d& +

Q

+(с°)^Л/1irot^Jx - x')dT£Xx)+1 («)% (*) •

г

(ПЗ.2.24) Выражение для непрерывного на Q векторного поля

п(х)<т(х), где сг(х) потенциал (ПЗ.2.17), в точках незамкну­ той поверхности Q имеет следующий вид:

nfi{x)<rfia(x) = - fT afi{x,x’)[bfi{x')-b fi(x)'^in' + Q

ПЗ.З. Потенциал с плотностью, являющейся тензором поверхности Q

Рассмотрим потенциал типа (ПЗ.2.1)

с плотностью q ( X ) 9 являющейся тензором поверхности Q:

ПаЯа(>(Х) = в, ®afiXM(X)<IxM(X) = <lafi(X)> * s Q . (П3.3.2)

Используя теорему Гаусса для поверхности (ПЗ.1.9), най­

дем

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

МАТРИЦЫ И ВЕКТОРЫ ПЕРЕХОДА ЧЕРЕЗ ГРАНИЦЫ СЛОЕВ В ЗАДАЧАХ

О СФЕРИЧЕСКОМ И ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СЛОИСТЫХ ВКЛЮЧЕНИЯХ

П4.1. Упругая и термоупругая задачи для сферического слоистого включения

Матрица перехода Г' через границу /-го и (/+1)-го слоев в

точке r=at (/=1,2....N ) имеет размерность (12x12) и пред­

ставляется в форме (® - прямое (декартово) произведение матриц)

где матрицы Г,' (8x8) и (2x2) зависят от модулей упругос­

ти /-го и (/+1)-го слоев и имеют вид