книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf351
о
При этом учтено, что для эллипсоида La = Ла = 0 , так как
La(x) и Ла(Х) - нечетные функции локальных координат.
Это, в частности, означает, что при решении уравнений (7.2.15) и (7.2.16) двумя последними слагаемыми в их правых частях, а также последним слагаемым в уравнении (7.2.18) можно пренебречь : в рамках приближения точечных дефек тов эти слагаемые, ответственные за "перекрестные" члены в соотношениях (7.2.70), не вносят вклада в окончательный ре зультат.
В соответствии с введенной выше терминологией функции
U*(X) и $'(х) являются эффективными волновыми полями. Уравнение (7.3.13) позволяет выразить эффективное поле че рез падающее и°(Х). Однако для дальнейшего удобнее выра зить поле U*(X) через среднее волновое поле U(х)=<и(х)> в среде с неоднородностями. Подставим для этой цели выраже ния (7.3.4) в правую часть уравнения (7.3.1) и осредним ре зультат по ансамблю реализаций случайного множества вклю чений. При тех же предположениях, что и выше, получаем
U{x) = и{х)+п0J [v a^ (x -x ')(v C ^ A /,A) ^ ( x ') +
+px6)2g(x - |
(7.3.14) |
Исключив внешнее поле н°(Х) из уравнений (7.3.13) и (7.3.14), получаем искомую зависимость между величинами
U(x), U \x) и £*(*),
U*(x) = U{x) - n0(vCxapA ^ )J V ag ( x - х')Ф(дг - |
(*')<&' - |
|
-n,px(02 |
g(x - х')Ф (х - лг')(/*(х')ц!»:'. |
(7.3.15) |
Здесь обозначено: |
|
|
ф (х) = l - 'P ( x ) . |
(7.3.16) |
|
Уравнение (7.3.14) есть уравнение типа свертки. Переходя в нем к преобразованию Фурье и учитывая свойства свертки, можем записать
353
= ikaP\0>2Yax . |
(7.3.22) |
в которых обозначено
4 # = / к 'в,(*)ф (*)Л , |
л 2 = | к ® (* )ф (х )< & , |
(7.3.23) |
Г«, = { « „ | к ' Ж ^ Ф |
( х ) Л , & =*д/|*|. |
|
Решение уравнений (7.3.17) и (7.3.19) с той же точностью |
||
можно представить в форме |
|
|
и'(к) = 4к,ш )и(к), gl(k) = D jk ,a ) e f (k), |
(7.3.24) |
|
ct(k,m) = \-n,\k<Ir j :'t,kx +pl(v)(a‘g*w>1Jg^, |
(7.3.25) |
|
A *(*. co)=D^ {sv -c o \ {A ^ v C ^ )D \ r / № |
rPl (v)rJ + |
|
+k \ r » C y m \ {A „ (v C 'J }» )lb - JK<JC*) } ,
Ц* = ( ^ + » . ^ ( VC ;A V ))" ', C* = (v C 'JC ^ D -^
Переходя в уравнении (7.3.14) к к -представлению и под ставляя в результат выражения (7.3.24), получим
и(к)=и(к)+г,{к„$( к ) { х С '^ )Dirk - p lcfg(k){vl)d\u(k)
(7.3.26) Подействуем на обе стороны этого уравнения оператором
L° - каС°аркр - росо2. Учитывая равенства
L°(k,co)u0(k) = 0 , L°(k,co)g(k,a>) = 1, |
(7.3.27) |
найдем, что Фурье-образ среднего поля смещений U(k) удов летворяет уравнению
I*(k,co)U(k) = 0. |
(7.3.28) |
Здесь оператор I*(к,(о)- эффективный волновой оператор в к -представлении - определяется выражением
V {k,(o) = |
|
- 1o2p {k ,a >), |
(7.3.29) |
|||||
в котором обозначено |
|
|
|
|
|
|||
C jjk , ®) = C J,+ ffl’ c g + k'Ct, + /« * £ > , |
(7.3.30) |
|||||||
p'(k,a>) =ps +m2f ^ |
+ k2pt +/й>3/?^, |
|
|
|||||
c i |
= Q |
+Ч.С* . c « , = ».!c * |
r * c ‘ |
, |
|
|||
e g |
= |
» |
A |
( v C |
i , S g |
) ^ |
+ л |
. ! С * Л « С |
e g = «.D ^{vci7t;l)D ;f +n„vc* K « c ; , , |
|
|||||||
A |
= A |
+ » .(V)A |
, A |
= -K{^)P\kuY |
|
, |
||
P12-n.pi ((v/(I))-е д <v)!g), /t‘)=ntfg, ((v! }-n.(v>V).
Переходя в уравнении (7.3.28) к X-представлению, полу чим
(Г 1 /)(х ,ю ) = 0 , |
(7.3.31) |
где действие оператора Z* на функцию (7(дс) определяется формулой
(L ’U )(X,со) = — [— f V {к, co)U(k)e~ik'xdk, (7.3.32)
(2ж)
в которой L'(к, о)) имеет вид (7.3.29). Очевидно, что оператор
L* в X-пространстве можно представить в форме
L* = - V aC*afiVp -p < o2 . |
(7.3.33) |
Это выражение по виду совпадает с волновым оператором
для однородной среды, однако С*- не постоянный тензор, а оператор, который так же, как и инерционная характеристика
р , параметрически зависит от со. Как следует из (7.3.30), С ’ и
р представляются в виде суммы умножения на функцию от со и дифференциальный оператор второго порядка (множите-
355
лю -ika в пространстве преобразования Фурье соответствует
оператор дифференцирования Va в л:-представлении). Таким
образом, эквивалентная среда, свойства которой описываются
оператором Z,*, обладает пространственной и частотной (вре менной) дисперсией. Скорости распространения волн в экви валентной среде определяются действительными частями ве
личин С* и /?*, а наличие в них мнимых составляющих озна чает, что распространяющиеся волны будут затухать вследст вие рассеяния на неоднородностях.
Рассмотрим эти эффекты более подробно в случае среды с изотропной матрицей, содержащей случайное множество включений сферической формы.
§7.4. Распространение акустических волн
визотропной среде
со сферическими включениями
Применим теперь общие формулы, полученные в преды дущем параграфе, к композитному материалу, состоящему из
изотропной матрицы (С\р=Сх8ар), в которой распределены
изотропные (С°ар=С08ар) включения сферической формы. Бу
дем считать, что случайное множество включений однородно и изотропно, а все включения имеют одинаковые радиусы а.
Для сферических включений формулы для внутренних по тенциальных факторов (7.2.25) принимают вид
( 7 4 1 )
2{1+т+п) + \
В этом случае тензоры А^ и Кар в (7.2.21) становятся
изотропными и определяются выражениями
А ° = — |
|
|
3С |
|
^сф> ^ав — |
8а0, А0 - |
(7.4.2) |
||
ар зс |
3с + с |
|||
Lafi |
aft J |
|||
|
|
|
356
Далее находим тензоры К^(дг) и R ^{x) в (7.2.34) и
(7.2.39)
^Го"о |
*'К-'о |
^afiXp = ^afi^Xp |
^аХ^Р/и+ ^ap^fiX > V° = IР° • (7.4.3) |
Эти формулы позволяют определить тензор F ^ X ) и век-
тор /а(х) в правой части уравнения (7.2.41)
Fj<x)=- |
СхК а |
1+— \аЦЬ,ХХХр |
||
|
|
6р Л |
3p j * 5 \ Ро) |
|
f |
= —^~Х |
а |
(7.4.4) |
|
Ja |
з с |
|
|
|
(2)
Вычисление тензора ла^11ртв (7.2.45) с помощью (7.4.1)
приводит к выражению
| ( 2) |
_ |
1 |
- ■ W |
1 |
' 5, . !• |
<7-45) |
|
**сфкррх |
|
2Q |
- T ' W |
|
|||
где обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
^сфХррт ^сф^Хррг |
^аХ^рррт |
^ap^Xfipt |
^ар^Хррт |
^ m fixppp • |
|||
|
|
|
|
|
|
(7.4.6) |
|
Для дальнейшего удобно представить тензор А(2) |
в тен |
||||||
зорном базисе <2mtlpx (П1.2.1) |
|
|
|
|
|||
лы = -Ь [ - ^ е‘+в ' >+№ |
+в ‘ + QS+ Q‘ )] |
|
(7.4.7) |
В этом же базисе тензор (Р (2))-1 |
в (7.2.49) имеет вид |
|
|
357 |
(р (2))"1= - _ £ _ 6 « + ^ г |
С л |
С, |
35С |
e I - ^ |
e ’ + i 3 c fe4+ e5+ e5) |
|
|
(7.4.8) |
Обращая этот тензор с помощью формул, приведенных в Приложении П1.2, получим
_ £ L_AQ 6, dx= |
1+ 3с, |
4-1 |
|
|
Л"1 |
|
j ^2 “ |
i + f i . |
(7.4.9) |
||
14С„ |
7С. |
|
|
с. |
|
Оставшиеся коэффициенты зависимости (7.2.42) имеют вид
еа(°)’ — — а |
1+ А. |
4С, |
р>) СА\£а, |
1рЛ L2 V За |
75С„ |
||
^ - — |
^ 8 ^ . |
|
(7.4.10) |
Заметим, что в окончательных формулах (7.3.30) фигури руют тензоры, входящие в выражения (7.2.70), лишь осред-
нённые по объему включения. Осреднение функций A(^(JC) и
Р \ х) по этому объему дает
|
2 + А |
' a V |
( |
2 + 5С, |
Ч ру. |
/ (2)= ^ - - |
</2 |
||
За |
A U J |
I |
3С„ |
(7.4.11) Оставшиеся величины из (7.3.31), которые входят в общие
соотношения (7.3.30), имеют вид
^(3) |
CL (а/у0)3Л2Д ^ , /(3) = — ( a /v j3. (7.4.12) |
Х(ф |
|
|
9а |
358
Вычислим, наконец, интегралы в (7.3.23) для изотропной матрицы. Так как при статистической однородности и изотро пии случайного множества неоднородностей функция Ф(Х) сферически симметрична (Ф(Х)=Ф(|х|)), имеем
А |
, |
l2=j<S>(\x\)\x\d\x\, (7.4.13) |
Гаф = зс. |
|
|
|
о |
Используя полученные формулы, в соответствии с выра жениями (7.3.30) найдем
С (к,а) = [С, ~ {aafC 2-i{a a f С3]<5а/? + к2С^,
p {k ,o))= p s +(cta)2р2 + i(aafр3 + k2pkl2. (7.4.14)
Здесь обозначено
Cs -С 0+ рСк, СЛ - С, 1 + (1 - /? ) - ^ - |
, c aek |
= p 2c l r Ж ) , |
||||||
|
|
|
|
|
3С |
|
|
|
|
'С д |
f |
|
Л Л |
|
|
|
|
|
|
2+— ~ Р ( C ± _ P L V ~ |
|
|
||||
Q - ^ р с к _5С„ 1 |
|
3A J |
сС |
N |
1--- |
|
||
А |
= А |
|
|
|
„2 „ СА |
|
(О |
(7.4.15) |
+ РР\ > Pk~P Р\ ~zpr > а = — » |
||||||||
|
|
|
|
|
3С |
|
V. |
|
Рг= Р |
1 |
|
|
2 + — 7- |
- р —г » |
Рз=Р— (l-A * /), |
||
А ___ |
f |
|||||||
|
^3 |
SQ] |
I2' |
|
|
|
||
|
5 |
|
зг |
а2 |
|
А |
|
|
где /?, - по-прежнему, объемная концентрация включений.
Пусть теперь в среде с включениями распространяется плоская волна
359
U(x) = U Qxp(ikn ■x) |
(7.4.16) |
с волновой нормалью п, волновым числом к и амплитудой
U.
Подстановка (7.4.16) в уравнение (7.3.31) приводит к сле дующему дисперсионному соотношению
k2[Cs ~{ш )2С2-i(a a fC 3 +{kl)2Ck\-
-a>2\ps+ (ш )2рг + i(aaf р3 + {klf рк} = О,
Ск=2ргСЦ{\5С0), |
(7.4.17) |
где / - радиус корреляции случайного множества включений (величина порядка среднего расстояния между ними).
Уравнение (7.4.17) в длинноволновом приближении имеет два корня, которые определяются выражениями
*, = « ф + р ( а , а ) ^ + ф ( а ,а ) Ч ] , |
|
|
|
, |
|||
где обозначено |
|
|
|
|
|
(7.4.18) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 + Р\_ |
|
V |
( |
5CL |
F = — |
1— i — |
|
Р\~ |
2 + |
|||
' 2A A W |
|
з а |
|
vo у |
|
зс° / |
|
а |
Сл _ 2 а |
\2 |
|
|
|
|
|
+ р А |
|
2 ’ |
|
(7.4.19) |
|||
зс„ а |
р . |
а |
|
||||
V.J |
|
|
|
||||
Р2 = |
(1-А -/) |
|
V, У |
|
|
|
|
—уС д+ |
|
|
|
|
|||
2А А |
|
9v5 |
Л VvJ |
|
|
|
|
Соответственно двум полученным выражениям для к (7.4.18) в среде с включениями распространяются два типа
360
волн. Первый из них с волновым числом кх представляет со бой затухающую волну с коэффициентом затухания Im&,, пропорциональным (а 5а)4 (рэлеевское затухание). Волна вто
рого типа, которая характеризуется волновым числом к2, за тухает значительно быстрее, чем первая (ее затухание проис ходит на расстоянии порядка радиуса корреляции / ). В слу чае волн достаточно большой длины волны второго типа мож
но не рассматривать и считать, что волновое число равно кх. Эта величина является комплексной. Ее действительная часть определяет фазовую скорость волны
v* = |
= v,[l - p{ccba f Fx] |
(7.4.20) |
Мнимая часть волнового числа кх равна коэффициенту за тухания волны у , отнесенному к единице длины в направле нии ее распространения. Эту величину можно представить в форме
Г = | 7mXasa)4a2F2. |
(7.4.21) |
В соответствии с его физическим смыслом коэффициент затухания у должен быть положительной величиной. Следо
вательно, множитель 1 - n j в формуле (7.4.21) должен удов летворять условию
1- n0J =1 - 4 ял„J ф(|х|)х2с/|дг| > 0. |
(7.4.22) |
о
Это условие накладывает ограничение на величину объём ной концентрации включений p=nov, при которой формула (7.4.21) оказывается физически непротиворечивой. Так, нап ример, для функции XF(|JC|) вида (6.5.19) величина l-noJ поло жительна лишь при р<0,125. Уточненная же функция (6.5.21) лишь ненамного расширяет область концентрации включе ний, за пределами которой формула (7.4.21) теряет физичес