книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике
.pdf40 |
ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е |
2.Предел равномерно сходящейся последовательности функций семейства также есть функция этого семейства.
3.На данном семействе {ср} определен оператор Л (ср), который каждую функцию этого семейства переводит в функцию того же семейства.
4.Для любой пары функций фі и ср2 семейства
fl Л (<р2) — Л (фх)II < |
ф2Ч — Фі II, |
(2.45) |
где 0 < 1 < 1. |
|
|
Тогда уравнение |
|
(2.46) |
Ф = с/4(ф) |
|
имеет единственное решение среди функций (ф).
Принцип сжатых отображений будет нами существенно использоваться при доказательстве существования и един ственности интегральных многообразий для различных клас сов нелинейных дифференциальных уравнений.
§ 3. Некоторые сведения из теории дифференциальных уравнений
1. Первый интеграл. Рассмотрим систему дифференци альных уравнений
= |
х) |
(X = хи . . . , хп) |
(3.1) |
|
для t £ R, где вектор-функция X (t, |
х) определена в облас |
|||
ти R X D (D — открытая |
область |
«-мерного |
евклидова |
|
пространства Rn), непрерывна и имеет непрерывные част ные производные по xt (і = 1, .... п) первого порядка.
Пусть X — X * (/) — решение системы (3.1). Множество
точек (х* (t), t), t £ R, будем называть |
интегральной кри |
вой системы (3.1), определяемой решением х = х* (t). |
|
Рассмотрим автономную систему |
|
4 г = В Д - |
(3.2) |
Пусть вектор-функция X (х) определена и непрерывна вместе со своими частными производными в некоторой от
крытой области D cz Rn. Функция и (хи .... хп) = и (х), не
§ 3. СВЕДЕНИЯ ИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 41
равная тождественно константе, определенная и непрерыв ная вместе со своими частными производными в некоторой открытой области cz D, называется первым интегралом системы (3.2), если при подстановке в нее некоторого реше ния х (0 системы (3.2) она принимает постоянное относи тельно t значение (зависящее от того, какое именно реше ние системы (3.2) в нее подставляется).
Любой первый интеграл и (х) системы (3.2) удовлетворяет условию
= |
(3.3) |
;=1 ‘
и обратно, всякая функция и {х), удовлетворяющая усло вию (3.3), является первым интегралом системы (3.2).
Пусть первые интегралы щ (х), ..., ип (х) системы (3.2), определенные в некоторой окрестности точки а, являются функционально независимыми *). Число функционально не зависимых первых интегралов системы (3.2) не может пре восходить (п — 1), и если Ui (х).......и„_1 (х) — функцио нально независимые первые интегралы, то всякий другой первый интеграл и (х) может быть записан в виде
и(х) — U (ut (х), . . . , «„_t (х)), |
(3.4) |
причем (3.4) является тождеством относительно х в некото
рой окрестности |
точки а. |
Так, |
если |
ut (х), ..., ип (х) — |
||
совокупность |
п |
первых |
интегралов |
системы |
(3.2), то |
|
ип (х) = U (и1 |
(х), |
..., ип - 1 |
(х)). |
независимых |
решений, |
|
Таким образом, имея |
(п — 1) |
|||||
можно получить всякое другое решение при помощи форму лы (3.4), причем всякая функция, задаваемая формулой (3.4), является решением уравнения в частных производ ных (3.3).
З а м е ч а н и е . 3.1. Чтобы ввести понятие первого ин теграла для неавтономной системы, ее необходимо преобра зовать в автономную, введя дополнительную неизвестную
функцию х„+і (і). |
В результате неавтономная |
система |
dx = Хс (t, х1( . . . |
, х„), дополненная уравнением |
11= 1. |
*) Определение функциональной независимости функций см. Г. Н. Ф и х т е н г о л ь ц , Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I, гл. 6, «Наука», 1970.
42 |
ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е |
станет автономной. Ее первые интегралы считают первыми интегралами неавтономной системы.
Рассмотрим более общее, чем (3.3), уравнение в частных производных первого порядка:
П
2 |
х і (*) 4 г = F (х> “)> |
м |
і=і |
ахі |
|
где F (X, и) — некоторая заданная функция, имеющая непрерывные производные первого порядка по своим аргу ментам.
Пусть задана некоторая (п — 1)-мерная поверхность S, представимая в параметрической форме уравнениями вида
|
~ |
£ (tu |
• • |
• I |
ln—О, |
|
проходящая при |
^ = |
... = |
tn - |
1 |
== 0 |
через точку 0, так |
что \ (0...... 0) = |
а. Пусть эта поверхность дифференцируе |
|||||
ма и в точке а |
не касается вектора X (а), т. е. векторы |
|||||
д Ц 0 ..........0) |
д%(0, . . . . |
0) |
ѵ |
, > |
линейно независимы. |
|
sv -------- |
--------- |
X |
(а) |
|||
dt, |
dt,п —1 |
..., tn- О |
некоторую функцию, |
|||
Обозначим через и0 (tu |
||||||
заданную на поверхности S. |
Можно показать, что в окрест |
|||||
ности точки а существует, и притом единственное, решение
и (х) уравнения (3.5), |
совпадающее на поверхности 5 с за |
|||
данной функцией |
н0 (fi, ..., tn- 1 ), так |
что и (£ (tu ... |
||
..., in- 1 )) = |
Но (tu |
..., |
tn-i). Для нахождения такого реше |
|
ния и (X) |
используются траектории системы (3.2), начи |
|||
нающиеся на S. Эти траектории называются характеристи |
||||
ками уравнения (3.5). |
краевая задача |
решается следую |
||
Сформулированная |
||||
щим образом. В окрестности точки а вместо xit ..., хп вво
дятся новые координаты t, |
tu •••. tn- ь |
в которых уравне |
||||||||
ние (3.5) |
принимает простой вид. Показывается, что если |
|||||||||
X — X (t, |
tu •••, tn- 1 ) — решение |
уравнений |
(3.2), начина |
|||||||
ющееся в точке \ |
(tu |
..., fn-i) поверхности S, то |
соотно |
|||||||
шения |
xt = Хі (t, tu |
.. . , |
tn- 1) |
(t' = |
1, . . . , « ) |
(3.6) |
||||
|
|
|||||||||
позволяют ввести вместо xlt |
..., хп в некоторой окрестности |
|||||||||
точки а |
новые координаты t, 1 , .... tn- 1 . При этом если |
|||||||||
в |
(3.6) |
считать |
неизвестными |
величинами |
переменные |
|||||
t, |
tu ..., |
tn- ь то эта система при |
х = |
а |
имеет очевидное |
|||||
решение |
t = t{ = |
... = 0. |
Подставив |
в |
функцию |
и (х), |
||||
§ 3. С В Е Д Е Н И Я ИЗ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й |
43 |
определенную в окрестности точки а, |
новые координаты |
||
t, tu ..., tn~1 согласно |
(3.6), |
получим |
|
У (ßi ^i* • • • j |
— l ) |
U (x ( / , |
, tn—l))* |
Можем написать |
|
|
|
где X — X (t, |
tu .... tn-i). |
В |
результате |
уравнение (3.5) |
|
принимает вид |
|
|
|
|
|
— |
= F(x(t, tu |
.. . , tn„ö, |
v(t, tu |
/„_,)). |
|
|
|
|
|
|
(3.7) |
Так как поверхность S |
в новых координатах |
задается |
|||
уравнением t |
= 0, то задача сводится к нахождению реше |
||||
ния уравнения (3.7), обращающегося в заданную функцию щ (tu tn—i) при t = 0. Для этого следует решить урав нение (3.7), считая его обыкновенным дифференциальным уравнением с независимым переменным t, а переменные tu •••. in- 1 считать параметрами. При этом решение сле
дует искать с начальными значениями 0, |
и0 (tu |
tn-i)- |
||
Полученная функция v (t, |
tu |
t„-1 ) |
будет |
иметь |
непрерывные производные по |
всем переменным. |
|
||
2.Линейные системы. Пусть х* (t) — некоторое решение
системы |
(3.1). Положим у — х — х*, где х удовлетворяет |
||
|
|
дХ. it |
X* (t)) |
системе (3.1), и обозначим матрицу со столбцами — 4 |
— — |
||
|
|
ОХі |
|
через Х х (t, X* (t)) = |
А (t). Тогда из (3.1) получим |
|
|
= |
+ |
(t, X* (t)) = A (t) у + Х х (t, у), |
|
где по теореме о среднем
II х і(і, У) II = о (Ку fl) для малых !# II равномерно по t, т. е.
(3.8)
Линейная система
\ - A (f ) y |
(3.9) |
44 ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е
называется уравнениями в вариациях для системы (3.1) от носительно решения х* (t). Уравнения в вариациях игра ют важную роль при исследовании устойчивости решений нелинейных систем уравнений.
Фундаментальной матрицей решений системы (3.9) на зывается (п X п)-матрица Y (t) = (уу (t)) (г, j — 1, ..., п), п столбцов которой являются независимыми решениями си стемы (3.9). Можно предположить, что эти решения заданы начальными условиями
где |
0</(*о) = 6</ |
(і\ / = 1, ... |
, п), |
|
|
|
|
|
|
т. е. что |
Y (t0) = |
/, где |
/ — единичная |
(п X «)-матрица. |
Каждое |
решение |
системы (3.9) представим в виде у (t) =• |
||
= Y (і) у |
(t0). |
|
|
|
Рассмотрим неоднородную систему |
|
|||
|
|
*«r = A (t)y + f(1), |
(3.10) |
|
где / (t) — п-вектор. Обозначим у (t) — некоторое решение системы (3.10), а у (t) — решение однородной системы, при этом предположим, что у (t0) = у (t0). Если Y ( f ) — фунда
ментальная матрица решений однородной системы, удовлет |
|
воряющая условию Y (/0) = /, то решение неоднородной |
|
системы (3.10) имеет вид |
|
t |
|
y(t) = Y (t) у (ta) + J Y (t) Y~l (X) f (X) dx. |
(3.11) |
u |
|
Если A — постоянная матрица, то, положив |
t0 = 0, в |
качестве фундаментальной матрицы решений однородной
системы (3.9) можем взять матрицу Y (t) К-1 |
(т), определяе |
|||||||||
мую условием Y (t) Y~l (т) = |
/ при t = |
т. То же относит |
||||||||
ся |
и к |
матрице |
Y |
(і — т). |
Поэтому |
можем |
положить |
|||
Y |
(і) Y~' |
(т) = |
Y |
(t — т), и тогда |
решение |
неоднородной |
||||
системы |
(3.10) |
для |
постоянной |
матрицы |
А |
запишется |
||||
в виде |
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) = Y (t) у (to) + ^ Y ( t — x)f (X) dx |
(3.12) |
|||||||
c Y (t0) = |
I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3. С В Е Д Е Н И Я ИЗ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й |
45 |
|
Как легко видеть, для системы |
|
|
dy |
Ау |
(3.13) |
dt |
||
с постоянной матрицей А фундаментальной матрицей реше
ний |
является матрица |
|
|
(3.14) |
|
Y ( t ) = e All~ t,>, |
|
||
удовлетворяющая условию Y |
(t0) = /. |
Формула |
(3.12) в |
|
этом случае примет вид |
t |
|
|
|
|
У (*) = eA(f- U g (t0) |
|
|
|
|
+ Jem ~x)f (т) dx. |
(3.15) |
||
Посредством замены |
|
|
(3.16) |
|
|
y = Sz, |
|
||
где |
S — постоянная невырожденная |
матрица, |
систему |
|
(3.13) можно преобразовать к виду |
|
|
||
<з - | 7 >
где J — S-1/1S. Система (3.17) имеет фундаментальную мат рицу решений
|
г = |
ел . |
(3.18) |
Пусть матрица S |
выбрана |
так, что J имеет нормальную |
|
жорданову форму, |
т. е. J = |
diag (Jі (Ä,t), .... J p (Яр)), где |
|
Jp (кр) определена |
посредством выражения |
(2.5). Тогда |
|
d i a g . . . , еW ]
и, кроме того, согласно выражению (2.5), eJp^p)t = е реN[pH
где |
|
|
|
|
|
|
1 |
t |
f- |
tlp~l |
|
|
2 |
! |
OP -1 ) I |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
е |
N\p)t |
1 |
|
t |
/г - 2 |
1 = 0 |
|
dp - 2 ) ! |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
(3.19)
(3.20)
(3.21)
0 0
О
Из этих формул следует, что если вектор у (t) является решением системы (3.13). то его компоненты являются
46 |
ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е |
линейными комбинациями экспонент exJ, ..., еѴ с коэффи циентами, представляющими собой полиномы относитель но г!. Таким образом, нахождение решений системы (3.13) сводится к алгебраической задаче нахождения нормальной жордановой формы J матрицы А и определения матрицы S,
такой, что J = S ~ ^ S .
Поведение решений системы (3.13) описывается форму лой (3.14). Так, если все собственные матрицы А имеют отрицательные действительные части, то все решения систе мы (3.13) стремятся к нулю при t -> оо. Если все собствен ные значения матрицы А имеют неположительные действи тельные части, а собственные значения с нулевыми дейст вительными частями имеют простые элементарные делители, то решения системы (3.13) ограничены при всех значениях t >• t0. Рассмотрим линейную систему (3.9) с Т-периодиче- ской матрицей А (t). Обозначим через Y (t) фундаменталь ную матрицу решений системы (3.9), удовлетворяющую си стеме
|
|
|
|
Y ( 0) = / , |
|
|
(3.22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
где I |
— единичная матрица. Для |
системы |
(3.9) матрица |
||||
Y (t + |
Т) |
также |
является фундаментальной, поэтому име |
||||
ет место соотношение Y (t + Т) = |
Y (() С, |
где С — неосо |
|||||
бая матрица. Полагая в этом соотношении t |
= |
0, получаем |
|||||
Y (Т) = |
С |
и, |
следовательно, |
Y (t + Т) = |
Y (t) Y (Т). |
||
Матрица |
Y (Т) называется матрицей монодромии системы |
||||||
уравнений (3.9). Так как det Y (Т) Ф 0, то можем ввести в
рассмотрение матрицу В — ~ ln Y (Т). |
Отсюда следует |
Y (Т) = евт. Рассмотрим далее матрицу |
|
Q(t) = Y(t)é~Bl. |
(3.23) |
Нетрудно видеть справедливость следующего соотноше ния:
0 (t + Т) = Y (/) Y (Г) e -Bte~BT = Y (/) е~в‘ = Ѳ (t),
откуда следует периодичность Ѳ (t) по t с периодом Т. Кро ме того, если А (t) непрерывна, то Ѳ (t) — непрерывно-диф ференцируема, причем Ѳ (0) = /, det Ѳ (/) = det Y (t) X X det e~Bt Ф 0.
§ 3. С В Е Д Е Н И Я |
ИЗ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й 47 |
|
Из выражения |
(3.23) получаем |
|
|
Y (t) ^ в {t) еш. |
(3.24) |
Представление |
фундаментальной матрицы |
решений |
У (0 в виде (3.24) называется представлением Флоке. В ко нечномерном евклидовом пространстве для линейной систе мы (3.9) с периодической матрицей Л (t) такое представление всегда существует, ln Y (Т) строится по формуле
1п у (Т) = --------- I In р (Г (Т) - р /)"1dp, |
(3.25) |
где Г — замкнутый жорданов контур, окружающий спектр матрицы монодромии Y (Т), но не окружающий точку р »= = 0; In р — некоторая однозначная на этом контуре ветвь. Собственные значения матрицы В, т. е. корни уравнения
|
|
d e t(ß — «/)== 0, |
(3.26) |
|
называются характеристическими |
показателями |
системы |
||
(3.9) . |
|
|
|
|
Собственные значения матрицы С = У (Т), т. е. корни |
||||
характеристического уравнения |
|
|
||
|
|
<М(У (Т) — р/) = 0, |
(3.27) |
|
называются мультипликаторами системы (3.9). |
|
|||
Величины а и р связаны соотношениями |
|
|||
а |
= |
In р == -і- [ln I р I + |
i (arg p + 2kn)\ |
(3.28) |
(k = 0, ± |
1, ...), |
где целое число |
k выбрано надлежащим |
|
образом. |
|
|
|
|
Из представления Флоке (3.24) вытекает следующий ре зультат [116].
Те о р е м а 3.1. Все решения системы (3.9) стремятся
кнулю при t -> со тогда и только тогда, когда для каждого мультипликатора р{ системы (3.9) выполняется условие | р(- \<;
< 1. Все решения системы (3.9) ограничены при 0 <С t < оо тогда и только тогда, когда для каждого мультипликатора Р; этой системы jp j <; 1, а при j pf | = 1 мультиплика торы pt имеют простые элементарные делители. Система (3.9) имеет периодическое решение тогда и только тогда, когда существует мультипликатор системы (3.9), равный Г. Если существует мультипликатор системы (3.9), равный
— 1, то система (3.9) имеет 2Т-периодическое решение.
48 |
ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е |
Рассмотрим систему уравнений
- ^ - = Ag + f(f), |
(3.29) |
где А — постоянная (п X л)-матрица, / (t) — п-вектор. Обозначим G (О матрицу, обладающую следующими свой
ствами.
1. При t Ф 0 матрица G (() непрерывно-дифференцируе ма и удовлетворяет однородному уравнению
dG (t)
AG (t).
dt
2.G (+0) — G (—0) = In, где In — единичная (n X n)- матрица.
3.ИG (Oll •< Ce-a IG (t Ф 0), где С н а — положитель ные постоянные.
4.Вектор-функция
У(0 = f Y(t — x)f (т) dx,
где / (0 непрерывна, удовлетворяет неоднородному уравне нию (3.29).
Матрица G (t) называется функцией Грина системы (3.29).
Сформулируем достаточные условия существования огра ниченного на всей оси R решения системы (3.29).
Т е о р е м а |
3.2. |
Пусть для системы уравнений (3.29), |
|
где А — постоянная |
(п X п)-матрица, |
f it) — непрерыв |
|
ная п-вектор-функция, выполняются следующие условия: |
|||
\ . Ъ е \ , ( А ) ф 0 |
(/ = 1..........п); |
|
|
2. sup|/ ( 0 1= |
Г < о о . |
|
|
Тогда система (3.29) имеет единственное ограниченное |
|||
на оси R решение, представимое в виде |
|
||
|
0 (0 = I G(t — x)[(x)dx, |
(3.30) |
|
где G (t) — функция Грина системы (3.29).
Д о к а з а т е л ь с т в о 1341. С помощью невырожден ной постоянной (п X п)-матрицы S матрицу А можно
§ 3. С В Е Д Е Н И Я ИЗ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й |
49 |
преобразовать к виду |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А = |
S-1 diag {М, N) S, |
|
|
(3.31) |
||||
где М, N — матрицы, для которых |
выполняются |
COOT- |
|||||||
ветственно |
условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Re Kj (М) > 0 |
(j — |
|
|
, т) |
|
(3.32) |
||
Ré lj (N) < 0 |
(j — in -R 1, |
... , n). |
(3.33) |
||||||
|
|||||||||
Положив |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I — S~l diag (eMt, 0) S, |
t < |
0, |
(3.34) |
|||||
|
1 |
S-1 diag (0, |
em) S, |
t > |
0, |
||||
|
|
||||||||
нетрудно видеть, что G (t) с: C°° |
(0 < |
111< oo) и, кроме |
|||||||
того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G ( + 0 ) - G ( - 0 ) = |
/„. |
|
|
|||||
Далее, |
полагая |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < |
ссх < min К. (A4) и 0 <сс2 < |
шіп [— %,■(N)], |
|
||||||
получим |
і |
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
t < 0 |
|
|
(3.35) |
|||
и |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
о, |
|
|
|
||
|
| | / " | < |
С2 ^ , |
t > |
|
|
.(3.36) |
|||
ГД0 Сіу С2 |
некоторые положительные постоянные. Отсю- |
||||||||
да находим |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ИG(t) 1< С е“ в|4 |
( ^ 0 ) , |
|
(3.37) |
|||||
где а = шіп (а4, а2) и С — положительная постоянная. Дифференцируя по t первое уравнение в (3.34), получаем
=— S - 1diag {Мет , 0) S =
=— S“ 1diag (Af, N) S • diag (em, 0)S = AG{f) при t < 0. Аналогично из второго уравнения (3.34) получим
|
— AG (t) |
при^>0. |
|
Принимая во внимание оценку (3.37), находим |
|
||
с о |
о о |
|
|
5 IG (0 H < 2 C |
= |
(3.38) |
|
—с ю |
0 |