книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

130 г л . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я ВБ ЛИ ЗИ П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й

1. Существование и свойства интегральногомногообра­ зия. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида

Следовательно, для матрицы G (t, ^.удовлетворяющей урав­ нению

справедлива оценка

где К и у = ух/4 — положительные постоянные, / — еди­ ничная [(я — 1) X (я — 1)1-матрица.

При этих предположениях с помощью метода Н. Н. Бо­ голюбова можно доказать существование и устойчивость одномерного интегрального многообразия для системы уравнений (4.1).

в классе функций С (D, Д) имеет единственное решение F, которое обозначим через f (t, g, г).

Это решение определяет интегральное многообразие системы уравнений (4.1).

Найденное интегральное многообразие обладает свой­ ством устойчивости, заключающимся в том, что траектории любых решений уравнений (4.1), начальные значения кото­ рых принадлежат области определения многообразия, с течением времени приближаются к многообразию по экс­ поненциальному закону.

Чтобы показать это, вводим в рассмотрение интегродифференциальную систему, эквивалентную системе диф­ ференциальных уравнений (4.1):

132 гл . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й

Для построения решения системы (4.10) — (4.11) рас­

сматривается вспомогательная система уравнений u-t

А = - J G(t,t + z)Q(t + z-g,h,e)dz + G(t,t0)A, (4.12)

о

Решение этой системы уравнений ищется методом по­ следовательных приближений. Затем показывается, что функции, к которым сходятся последовательные приближе­ ния, удовлетворяют системе (4.10) — (4.11). Эти функции определяются выражениями

h = Л, g = g0 при t = t0.

Функции / (t, g, A, e) удовлетворяют неравенству

I f ( t ,g ',A ',z ) - f { t , g", A", 8)| < V(8, D ) \g '~ g "I +

+ К (e, D) e~w ~h) I A! — A" |. (4.15)

Кроме того, очевидно, что решения интегро-дифферен- циальной системы (4.10) — (4.11) являются также реше­ ниями системы дифференциальных уравнений (4.1).

С другой стороны, пусть Ат, gx — любые решения си­ стемы уравнений (4.1), для которых h = h0, g — g0 при т = ^0. Тогда, подставляя это решение в первое уравнение системы (4.1) и умножая слева на G (t, т), имеем тождест­ венно

является решением интегро-дифференциальной системы (4.10) — (4.11) при А = ho.

Таким образом, любое решение дифференциальной си­ стемы уравнений (4.1), для которого h0< D , является ре­ шением интегро-дифференциальной системы при А — h0. С другой стороны, любое решение, лежащее на интеграль­ ном многообразии

удовлетворяет условию | / (/0, g0, е) | <! D и, следовательно, является решением интегро-дифференциальной системы при некотором А — А'.

ных уравнений (4.1) выполняются условия, сформулирован­ ные на стр. 130.

Тогда всегда можно указать такие положительные

единственное одномерное интегральное многообразие, пред­ ставимое соотношением

134 г л . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й

устойчивости, заключающимся в том, что любое решение уравнений (4.1) h = ht, начальное значение которого при­ надлежит области UPt, с течением времени притягивается к нему по закону

§5. Уравнения с медленно меняющимися параметрами

1.Общие свойства рассматриваемых уравнений. Поста­ новка задачи. Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение с медленно меняющимися параметрами

нений (5.1) приводят многие задачи, приведенные в [136], связанные с исследованием нестационарных колебатель­ ных процессов.

Для удобства исследования уравнение (5.1) целесооб­ разно преобразовать к специальному виду.

В § 1 было изложено приведение уравнения (5.1) к спе­ циальному виду в окрестности однопараметрического се­ мейства периодических решений невозмущенного уравнения

а т жже в окрестности двупараметрического семейства ре­ шений уравнения (5.2), зависящего от двух произвольных постоянных а, ф и от т как от параметра. В последнем

§ 5. У Р А В Н Е Н И Я С М Е Д Л Е Н Н О МЕ Н ЯЮ Щ ИМ ИС Я П АР АМ ЕТ РАМИ 135

= Я (т, а)/г + Я (т, 0, ф, а, h, е).

Остановимся на рассмотрении этого случая. Предположим, что относительно уравнения (5.1) вы­

полняются следующие условия.

1д. Функции X (л:), Y (т, Ѳ, X, г ) определены и непрерыв­ ны в области L X Q X D X Е8о, где D — открытая об­

ласть пространства Rn, L — некоторое число (которое мо­ жет быть взято сколь угодно большим при сколь угодно малых значениях е).

2°. Уравнение невозмущенного движения (5.2) при лю­

2я-периодического относительно ф = со (a)t + ф, йависящего от двух произвольных постоянных а, ср и от т как от параметра. При этом о в общем случае зависит от т, а и является ограниченной функцией т, удовлетворяющей условию Липшица по а.

3°. В области

- ^ - = х;(т,х°)бх,

представляющее собой однородное линейное дифференци­ альное уравнение с матричным коэффициентом, имеет для любых т £ (0, L] (п — 2) характеристических показателя с отрицательными действительными частями (два характе­ ристических показателя равны нулю), которые являются непрерывными функциями т.

вэтой области классу (Ѳ2я; Фглі М (е)|л=о; к (е, ^,а,ю);

2)(о (т, а) — ограниченная функция т, удовлетворяю­ щая условию Липшица по а;

3)Я (т, а) — [п X (п — 2) 1-матрица, непрерывная от­

на основании леммы Флато — Левинсона [1991 справедлива оценка

В этом параграфе мы рассмотрим следующие вопросы: укажем способ нахождения приближенного двупара­ метрического семейства частных решений уравнения (5.1); установим существование соответствующего точного дву­

параметрического семейства решений; покажем, что разность между точным семейством ре­

шений и его т-м приближением — величина порядка ет.

2. Построение приближенного двупараметрического се мейства решений исходного уравнения. Для построения приближенного семейства решений уравнения (5.1) не­ сколько усилим ограничение гладкости на правую часть ’•уравнения (5.1), а именно, предположим, что векторфункции X (т, х), Y (т, Ѳ, X, е) являются неограничен­

но дифференцируемыми относительно т, х, е в области (5.5), раскладывающимися в сходящиеся ряды по степе­ ням X , е. Тогда соответствующим образом усилится свой­ ство гладкости функций в правой части уравнений (5,3).

коэффициенты при одинаковых степенях е, получим следую­

+ Rh (т, Ѳ, ф, а, 0, 0) hi + Rq (т, Ѳ, ф, а, О, 0) фх +

•f %а(т>Ѳ, ф, а, О, 0)ах -f Rs(т, Ѳ, ф, а, 0, 0) —

Из системы (5.9) находим ht (т, Ѳ, ф, а) как частное ре­ шение, соответствующее возмущающей силе R (т, Ѳ, ф, а, 0, 0):

жении в ряд Фурье функции, стоящей в правой части урав­ нения (5.9),

Знаменатель в выражении (5.11) отличен от нуля, так как все -собственные значения матрицы Н (т, а) имеют от­ личные от нуля вещественные части.

После того как найдено выражение для h± (т, 0, ф, а), становится известной правая часть уравнения (5.10), из

§ 5. У Р А В Н Е Н И Я С М Е Д Л Е Н Н О М Е Н Я Ю Щ ИМ ИС Я ПАР АМЕТ РАМИ 139

где F^,„ (г, а) — коэффициенты в разложении в ряд Фурье функции, стоящей в правой части уравнения (5.10):

О0

+R^ (т, 0, ф, а, 0, 0) фг + Ra (т, 0, ф, а, 0, 0) ах-f

членов, стоящих при е в решениях соответственно первого и второго уравнений системы (5.3) после подстановки в них hx (т, 0, ф, а). Приближенное решение этих уравнений мо­ жет быть найдено при помощи асимптотических методов

ф, а, е) и подставив его в первые два уравнения системы (5.3), получим

= со (т, а) + Р (т, 0, ф, а, hm(т, 0, ф, а), г),

(5.14)

-^ г = S (т, 0, ф, а, hm(т, 0, ф, а), е).

Определив из этой системы значения ф, а и подставив

их, а также выражение для hm — в преобразование (1.65), получим следующее частное решение уравнения (5.1) (т-е приближение), зависящее от двух произвольных постоян­ ных:

причем hm (т, Ѳ, ф, а, е) имеет представление