книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

значения линейного преобразования являются корнями его характеристического многочлена.

Если собственному значению соответствует ровно т > >• 1 линейно-независимых собственных векторов, то т на­ зывается геометрической кратностью собственного значе­ ния X.

Собственные векторы, соответствующие различным соб­ ственным значениям одного и того же линейного преобра­ зования, линейно независимы.

Спектр линейного преобразования А совпадает со спект­ ром матрицы А, представляющей преобразование А .

Алгебраической кратностью m-t любого собственного значения X-, преобразования А называется алгебраическая кратность числа Я/ как собственного значения соответствую­

щей матрицы А. Алгебраическая кратность т/ больше или равна геометрической кратности т,- собственного значе­

который сходится при всех значениях переменной г; для

двух комплексных чисел г и w имеет место соотношение

gZ+W __ gZ . gW'

Аналогичным образом матрица еА определяется для каж­

Согласно (2.10), учитывая известные свойства квазидиагональных матриц *), можем написать:

где А/оР) = /р, /р — единичная матрица порядка р.

спектр а (Л) состоит из k собственных значений Яь ..., Хк, которые полагаем изолированными точками спектра матри­ цы А. Пусть алгебраическая кратность каждого собственно­ го значения Я/ равна щ. Тогда существует базис, состоящий

34 ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е

Базисные векторы каждой группы при преобразовании переходят в линейную комбинацию векторов той же груп­ пы, т. е. каждая группа базисных векторов порождает под­ пространство, инвариантное относительно преобразова­ ния Л . В каждом из этих подпространств имеется, с точнос­

Клетка матрицы, соответствующая данной группе век­

ному значению Я/ алгебраической кратности а/, совпадает с этой алгебраической кратностью. Подпространство Са)

называется корневым подпространством, соответствующим собственному значению Я/ алгебраической кратности а,-.

Если алгебраическая кратность собственного значения Я/ равна 1, то ему будет соответствовать лишь собственный вектор, присоединенные элементы отсутствуют. Этому соб­ ственному значению будет соответствовать одномерное инва­ риантное подпространство, порожденное соответствующим собственным вектором.

Если все собственные значения Яь ..., Яй имеют алгебраи­

ческую кратность, равную 1, то пространство Сп распада­ ется в прямую сумму одномерных собственных подпро­

странств

сп= с?+ ... + а

Собственному значению Я/ алгебраической кратности щ будет соответствовать ссу одномерных инвариантных под­ пространств (собственных подпространств), если эта ал­ гебраическая кратность совпадает с геометрической крат­ ностью собственного значения Я/. В этом случае инвариант-

38 ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е

правая часть которого определена и непрерывна вместе со своей частной производной -Ц- в некоторой области D пло­

скости переменных t, х. Пусть

некоторое решение уравнения (2.32), определенное на ин­ тервале (а, 6), с начальным условием

вале (а, Ь) выполняется тождество (2.36), то функция х =■ = ф (t) дифференцируема, является решением уравнения (2.32) и удовлетворяет начальному условию (2.34).

Пусть X = ф (t) — некоторая непрерывная функция, оп­ ределенная на сегменте [a, b\, t 0 £ [а, Ь]. Пользуясь пра­ вой частью интегрального выражения (2.36), можем поста­

Таким образом, правую часть тождества (2.36) можно рассматривать как отображение Л , ставящее в соответствие

В результате интегральное уравнение (2.36) запишется в

Таким образом, доказательство существования и един­ ственности решения дифференциального уравнения (2.32) илиэквивалентного ему интегрального уравнения (2.36)

сводится к доказательству существования и единственности решения уравнения (2.39), т. е. к доказательству существо­ вания и единственности неподвижной точки отображения А.

Прежде чем формулировать теорему о неподвижной точ­ ке А, приведем некоторые вспомогательные определения.

Пусть ср (/) — непрерывная функция, определенная для t £ [а, Ь]. Норма [j ф[| этой функции определяется посред­ ством выражения

является неотрицательным числом, оценивающим, насколь­ ко отличаются функции ц>і и ф2 друг от друга. Равенство IIфі — ФаII — 0 имеет место тогда и только тогда, когда функции ф! и ф2 совпадают.

Пользуясь понятием нормы, сформулируем условие рав­

функций, заданных на сегменте [а, b], равномерно сходится к функции ф, определенной на том же сегменте, если

Для того чтобы последовательность (2.41) равномерно схо­ дилась, достаточно выполнения неравенств || фг — ф,_і ||Саг (г = 1, 2,...), где числа at образуют сходящийся ряд.

Преобразование А, определенное на некотором множе­

стве Н £Сп функций ф, является преобразованием сжатия, если существует постоянная X, 0 < Х < 1, такая, что для любых двух функций фі, ф2 (j Н выполняется соотношение

Постоянная X называется постоянной сжатия А на Я. При­ ведем формулировку основной теоремы Каччиополи — Ба­ наха (принцип сжатых отображений).

Т е о р е м а 2.1. Пусть имеется непустое семейство функций {ф}, определенных на одном и том же множестве {безразлично, каком) Н и обладающих свойствами: