книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике
.pdf2 1 0 |
ГЛ. IV. |
П Р И М Е Н Е Н И Е |
К И СС ЛЕД ОВАН ИЮ Р Е Ш Е Н И Й |
|||
к решению(5.37) |
близких |
решений: |
|
|||
|
|
|
—JÜLt |
|
||
ЦА<— f(0e+ ö>O!Cne |
2 -»-о, |
|
||||
Iф; -- Ѳ0 -- СО1 — Ф(с“°) (Ѳ0 |
(dt, f (Ѳ0 -f* ®0) 0) ||= |
|
||||
= |
II ф(-) (Ѳ0 + |
(dt, ht, 0) - |
ф(-) (Ѳ0 + (dt, f (Ѳ0 + |
(dt), 0)I-V о |
||
при t - + o o И |
Ѳ0 — ф 0 ф |
"ф ( ф 0 , h0). |
|
|||
|
|
|
|
|
|
(5.40) |
|
В результате справедлива следующая теорема. |
|||||
|
Т е о р е м а |
5.2. |
Пусть в уравнениях |
(5.4) функции |
||
Q (ф, h, А, e), P (ф, h, А, e) удовлетворяют условиям, при веденным на стр. 204.
Тогда эти уравнения при соответствующем выборе А имеют квазипериодическое решение с частотами со вида
А, = /(«„ + |
<•0. |
1 ,5 4 „ |
— Ѳо + |
+ ф(°°) (Ѳ0 -f- соt, f (Ѳ0 -{- соt), 0). |
j |
Если ht, фt — любые решения уравнений (5.4), началь ные значения которых h0, ф0 удовлетворяют условиям
« U < - b |
(5-42) |
то ht, cpt асимптотически приближаются к этому квазипериодическому решению.
2. Квазипериодические режимы в системах, близких к гамильтоновым. Изложим применение метода интеграль ных многообразий для доказательства существования квазипериодического решения канонической системы, находя щейся под воздействием малых возмущений [107], [150].
Пусть даны уравнения вида
d p |
d H |
dq |
d H |
^ |
d t ~ ~ |
dq ’ |
d t ~ |
d p ’ |
|
где Н — Н (рІУ... , рп, ql t ... , qn, е) — функция Гамильтона, непрерывно-дифференцируемая и ограниченная вместе со своими частными производными по р, q любого порядка, 2л-периодическая по q.
В дальнейшем функцию f (р, q), обладающую указан ными свойствами, будем считать принадлежащей клас
су
§ 5. И СС Л ЕД О В А Н И Е К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й |
211 |
Предположим, что система уравнений (5.43) мало от личается от точно интегрируемой, т. е. функцию Н (р, q, е) можно представить в виде
Н(р, q, е) = Н0(р, q )+ eH 1(p, q) + е2 . .. , |
|
|||||
где Н0 (р, q) — функция |
Гамильтона |
системы |
|
|||
dp __ |
дН0 (р, q) |
’ |
dg |
дН0 (р, q) |
(5.44) |
|
dt |
dq |
dt |
dp |
|||
|
||||||
приводящая к интегрируемому уравнению Гамильтона — Якоби
дѴ |
) Япі |
âV |
дѴ |
\ |
0. |
dt + #oUi> |
d<h ’ |
dqn |
i |
||
Как известно, с помощью производящей функции V |
|||||
можно перейти от переменных |
р (рг, ... , рп), |
q (qlt ... , qn) |
|||
к п ерем ен н ы м /^,..., |
/„), |
w (wl t ... , |
wn) — действие- |
||
угол — таким образом, |
что в новых переменных функция |
||||
Гамильтона //0 будет зависеть только от переменных дей ствия
|
|
^о = |
^о(/і. |
• • • |
, 1а) |
|
||
и уравнения (5.44) примут вид |
|
|
|
|||||
dl __ |
dH0 |
__р, |
dw |
|
Mp |
= m |
Ю- |
|
dt |
dw. |
’ |
dt |
|
dl |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.45) |
В дальнейшем полагаем, что выполняется следующее |
||||||||
условие: |
|
dl |
|
|
VHQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.4Ѳ) |
|||
|
|
dl |
/= /• |
|
дР |
/=/» ¥=0. |
||
В новых переменных /, |
w функция Н — Н (w,I) будет |
|||||||
принадлежать классу 9 |
) |
кроме |
того, ее можно предста |
|||||
вить в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
Н (w, /) = Н0(/) + еЯі (w, /) + е2 ... , |
(5.47) |
||||||
а уравнения |
(5.43) примут вид |
|
|
|
||||
|
|
dl |
— 8 d lh |
(w, I) |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dw |
|
|
(5.48) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw
~w |
7) + e a |
212 ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К ИСС ЛЕ ДО ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Й
Раскладывая Нх (ш, I) в ряд в окрестности точки / = /°,
можем |
представить |
уравнения |
(5.48) |
в виде |
|
|
||||
|
I дНі |
, |
dZH^W'I«) .. _ |
/0. |
|
|
||||
|
[ |
d w |
' |
|
d w |
d l |
' |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
еЯ(і2) iw, l, |
e), |
(5.49) |
|
dw |
x / n , |
„ d//t to, 1°) |
|
а2Я! (w, 1°) |
|
|
||||
|
( / - / ° ) |
+ |
|
|||||||
~di |
^ (') + 6 ---- 57----- |
|
|
dl3 |
|
|||||
|
+ |
e#i(3) (да, /, |
e) = X(/) + еЯ2 (w, /, |
e), |
|
|||||
где, в |
частности, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гНТ iw, /, |
е) = |
О (е I / — /° |2, е2). |
|
(5.50) |
|||||
Предположим теперь, что на рассматриваемую систему воздействуют внешние силы, определяемые функциями
eP(w, /), e.Q(w, /),
которые полагаем принадлежащими классу 21®,/. Ограничимся рассмотрением нерезонансного случая. Очевидно, функцию гР (w, I) можно представить в виде
где |
еР (w, Г) = |
еР (/) -j- EPX{W, I), |
|
(5.51) |
|||
|
2я |
2я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
гР (7) = -^ГѵГ \ |
\ |
Р iw’ ;) |
• • • • |
dwn> |
|||
|
(■ *п ) |
Q |
О |
|
|
|
|
при этом полагаем, что |
|
|
|
|
|
||
|
Рх (w, I) = О (I / — /° j2). |
|
(5.52) |
||||
В результате получим следующие уравнения: |
|
|
|||||
dl |
dH, (w, /«) |
+ d*Hxjw, Р) |
(/ __ /0) |
+ |
|
||
dt |
dw |
1 |
d l dw |
|
|
||
|
Л(2) , |
|
|
еРх (ш, /), |
[ (5.53) |
||
|
+ гН\ |
(w, /, е) + еР (/) + |
|||||
— = |
Я ( / ) - f - е / / |
а ( о у , |
/ , e ) + |
eQ(a>, / ) . |
|
|
j |
Предположим, что функция Нх (w, I) представима в виде |
|||||||
полинома |
относительно sin w, |
cos w. Тогда для |
— |
-1 |
|||
§ 5. И С С Л Е Д ОВ А Н ИЕ К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й |
213 |
|||||||||
02Я , (И), /°) |
можем написать разложение: |
|
|
|||||||
и — |
—- |
|
|
|||||||
d l d w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дНу (w, /°) |
|
H3(w, /»)=* 2 |
Нъь{Пе'ш , |
|
|||||
|
|
d w |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Н>(“’• '*>= S |
Я ..('")е '" . |
|
|||||
Введем теперь в уравнениях |
(5.53) вместо / (/х, . |
In) |
||||||||
новые |
переменные 7 (7Х, , /„) |
согласно |
формулам |
|
||||||
|
|
|
|
,lkw |
-s |
Нік(Пе |
ik w |
|
||
I — I ■ ■е £ |
Нък{Р)е‘ |
|
|
(7 — /°). (5.54) |
||||||
ikX(I) |
|
кфо |
ik'K(/) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После ряда выкладок получим следующую систему урав нений в переменных /~, до:
dl |
|
е#1' (до, /, е) е2 |
— |
1 |
|
|
dt —• гР (/) 4- &Р\ (wl) + |
|
|
||||
|
|
= |
е Р(7) 4- еГі (до, 7, Я, е), |
|
(5.55) |
|
dw |
' Л.(/) 4- еГа(до, /, Я, е), |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
где Г, (до, I, Я, е) (і = 1, |
2) |
принадлежат |
классу |
2 |
и, |
|
кроме того, |
|
|
|
|
|
|
еГ1 (д,7, Я, е) — О (е j7 — /° ]2, е2).
Наряду с системой уравнений (5.55) рассмотрим соответ ствующую ей усредненную систему
|
- j f - = Я (7) 4- еТ2 (7, Я, е), |
(5.56) |
где |
2я |
|
2л |
|
|
Г2 (7, Я, е) = |
Г2(до, 7, Я, е ) ^ ... |
dwn, |
(2л)" |
|
|
Р (/) — среднее от правой части первого уравнения системы (5.55).
Предположим, что система уравнений (5.56) имеет асимптотически устойчивое стационарное решение
/ *= 7°, Р (7°) = О |
(5.57) |
214 |
ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е |
К |
И СС ЛЕД ОВАН ИЮ Р Е Ш Е Н И Й |
|
(все п корней характеристического уравнения |
|
|||
|
det IInz — еЛ | = |
0 |
(еЛ = ePj (7°)) |
(5.58) |
имеют отрицательные вещественные части). Для этого ста ционарного решения угловым переменным будут соответ ствовать частоты
(оПр = Я (7°) + еГ2 (7°, Я, е), |
(5.59) |
и, следовательно, система уравнений первого приближения (5.56) будет обладать устойчивым квазипериодическим ре шением вида
T W |
0, |
I |
(5.60) |
w = |
[X(7°) + |
_ - |
|
еГ2 (7°, Я, е)) t -j- wQ, j |
|
При этом, в силу сделанного предположения о корнях урав нения (5.58), любые решения уравнений (5.56), начальные значения которых близки к решению (5.60), с течением времени будут стремиться к нему.
Введем теперь в уравнениях (5.55) вместо 7 новые пере менные h посредством замены
|
|
7 = 7° + |
e'/*h. |
(5.61) |
В результате |
получим |
уравнения |
|
|
^ + |
ev, - f = |
гР (7°) + |
г'/гР-j (7°) h + |
• |
+ еГх (w, e'/>h, Я, с),
4 |
г |
= |
* . ( 7 ° ) + |
е ‘ / * Я 7 ( 7 ° ) А + |
• ■ • + |
+ еГ2 (w, г'ігіі, Я, е)
или
-д - = t-Ah -f eS1(na, h, X, e1/.),
(5.62)
~ = X (7°) + еЯ7 (P)h + eS2 (w, h, X, eV.),
где еЛ — постоянная матрица, все характеристические числа которой имеют отрицательные вещественные части, функции Si (w, Л, Я, е‘/г) (і = 1,2) определены в области
w £ Q, Л е и 6, 8 £ Еео
§ 5. И С С Л ЕД О ВА Н ИЕ К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й 215
(U& — некоторая достаточно малая окрестность /°, Q — отрезок [0,2я], Е8„ = (0, е01), принадлежат в этой области
классу |
8С,м> |
удовлетворяют неравенствам |
|
|||
|
I St (до, 0, X, е‘/.) I < |
М, (е1/.) -► 0 |
при е1/* -> 0, |
(5.63) |
||
условию Липшица |
|
|
|
|
||
IS, (до', h', X, eV.) - St (до", h", X, |
e‘/.) | < |
|
||||
|
|
< у (.(8Ѵ2,6)(|ш' —w"\ + \h' — h" I), |
(5.64) |
|||
гдеуі |
6) |
О при е1/г |
0, 6 -> 0 |
( і = 1, 2), и, |
кроме |
|
того, S± (до, h, |
X, в1/«) удовлетворяет |
условию |
|
|||
|
|
S-^to, h, X, 8*/>) = |
0 (|/i|a, 8l/*). |
(5.65) |
||
Уравнения (5.62) с указанными |
свойствами правых частей |
|||||
принадлежат к типу рассмотренных нами ранее уравнений, для которых доказано существование и установлены свой ства интегральных многообразий. Поэтому, доказав для уравнений (5.62) существование «-мерного тороидального многообразия и установив его свойства, придем к рассмот рению п уравнений на многообразии и, исследовав структу ру решений этих уравнений, докажем существование квазипериодического решения уравнений (5.62). Возвратившись затем, согласно формулам замены переменных, от перемен ных h, w к переменным /, до, установим существование ква-
зипериодического |
решения исходных |
уравнений |
(5.53). |
|
Л е м м а 5.1. |
Пусть |
правые части |
уравнений |
(5.62) |
обладают указанными выше свойствами. |
|
|
||
Тогда всегда можно указать такое достаточно малое |
||||
положительное постоянное |
(ех •< е0), |
что для всех 0 < |
||
< е < 8 , уравнения (5.62) |
имеют п-мерное тороидальное |
|||
интегральное многообразие ЗП,, представимое соотношением вида
h = ф (до, е1/.) |
(h = hy.........hn), |
(5.66) |
||
где ф (до, е1/*) определена в области й X Е8і, |
принадлежит |
|||
в этой области классу |
8f™Еѵ, (w — |
|
ДОЛ)> и> кроме |
|
того, удовлетворяет неравенствам |
|
|
||
I ф (до, eVi) I < D (е1/*) < |
6, |
(5.67) |
||
|ф(до', е1/«) — <р(до", e '/.)|< ß (eV.)|B>'—до"|, (5.68) |
||||
где D (е1/*) ->- О, ß (е1^) |
О |
при е1/« |
0. |
|
216 |
ГЛ. IV. |
П Р И М Е Н Е Н И Е |
К |
ИСС ЛЕ ДО ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Я |
|
||
С л е д с т в и е |
5.1. |
Из |
леммы вытекает, что |
пере |
|||
менные w для решений h, |
|
лежащих на многообразии ЯП,, |
|||||
удовлетворяют уравнениям |
|
|
|
||||
-|р - = |
Я (7°) + |
е'/Ж7 (7°) cp (w, г V.) + eS2 (w, cp (w, e1/.), Я, e‘/>) = |
|||||
|
|
|
|
|
|
= X(7°) + e53 (w, Я, e1/»), |
(5.69) |
где 5 3 (до, Я, |
e’^) |
£ 21“ |
i/e, |
Я (/°) — частота системы в ну |
|||
левом |
приближении. |
|
правые части уравнений |
(5.62) |
|||
Л е м м а |
5.2. |
Пусть |
|||||
обладают указанными свойствами.
Тогда всегда можно указать такие положительные постоянные е2, 6Х(е2 •< ех), что для каждого 0 < е <; к2 будет существовать п-мерная область начальных значений
h: |
Uа,, |
такая, что если для t — t0: h £ £/6і, то для всех |
і > |
70 |
имеет место неравенство |
|
Iht — ф(до„ e-V.) I < С (6Х, е)е~^й-и) \h0 — q>(до0, е'б) |( |
|
|
|
(5.70) |
где С — положительная постоянная, зависящая от парамет ров бх и е.
С л е д с т в и е 5.2. Из леммы 5.2 вытекает, что в окрестности U&, многообразие ЯП, является единственным.
Исследуем теперь структуру решений уравнений (5.69). Приведем уравнения (5.69) к несколько иному виду. Для этого введем расстройку ѵ между точной частотой систе
мы иг и Я (7°): |
|
|
Я (7°) = (Op -f- V |
(5.71) |
|
и предположим, что при любом целочисленном |
векторе |
|
т частоты сор удовлетворяют условию |
|
|
\{т, сог)1>- |
|т |
|
(т, со) = т хсох + • • ■+ тпап,\т \ = | т х| + • • • Ң- |т„|. |
||
Представим функцию S3 (w, |
Я, е'/*) в виде |
(5.72) |
|
||
S 3(до, cor + V, 8s/*) = Я |
S 3m (v, s’6) eimw. |
(5J3) |
Введем теперь в уравнении (5.69) вместо до (дох, ..., до,,) |
||
новую переменную Ѳ(Ѳх,..., Ѳ„) согласно формуле |
|
|
до ~ Ѳ+ еѵ (Ѳ, ѵ), |
(5.74) |
|
§ 5. ИСС ЛЕ ДО ВА Н ИЕ |
К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х |
Р Е Ш Е Н И Й |
217 |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
ѵ(Ѳ, ѵ) = |
2 |
• |
s 3m(v, в,/.)е"пв |
(5.75) |
||
|
||||||
|
|
тфО |
і ( т , <лТ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом, как |
легко |
видеть, справедливо равенство |
|
|||
дѵ |
= 53 (Ѳ, |
Юг + |
V, е1/*) —53 0 (сог + |
ѵ , е1/*). ( 5 |
.76) |
|
(От-щ- |
||||||
Подставляя выражение (5.74) в уравнение (5.69), получаем
~dt— 8 — Ш----- ®г + v -f- eS.}(Ѳ -f- eü, «г + v, e•'«)
или, |
принимая во внимание (5.76), |
(l + |
8 -|^-) (-^ ---- юг) = V -f е5зо(юг + v, вV.) + |
|
+ е254(Ѳ, V, 8‘/.). (5.77) |
Разрешая систему (5.77) относительно ~ — юг, нахо дим
= cor + V+ eS30 (юг + V, е1/2) + eG (Ѳ, ѵ, е)
или, |
обозначая |
|
|
|
|
|
V + 8S30 (юг + |
ѵ, в1/2) = А, |
|
||
окончательно получаем |
|
|
|
||
|
|
= cor + А + |
8 G (Ѳ, А, е), |
(5.78) |
|
при |
этом G (Ѳ, А, |
е) £ 2Тѳд,в Ф = |
Ѳ1( ... , |
Ѳ„). |
|
Воспользуемся |
далее теоремой |
из [22] |
о приводимости |
||
кчистому вращению системы дифференциальных уравнений
сгладкими правыми частями, заданной на я-мерном торе.
Т е о р е м а |
5.3. Пусть / ( ф) = |
(/і (ф),... , L (ф)) — |
2п-периодическая |
функция ср, ю = |
(ю,....... ю„) — вектор |
с несоизмеримыми компонентами, такой, что при любом
целочисленном |
|
k =\{k1,..., |
km) выполняется условие |
|||
|
I (ю, k) I > |
К I k |- m (\k \ ФО). |
(5.79) |
|||
Тогда для |
заданных |
положительных |
постоянных е, С0 |
|||
и целого s0 >- |
1 |
существует такое 60 = |
80 (С0, е, s) и целое |
|||
I = I (s0), что, |
если / (ф) |
имеет непрерывные |
производные |
|||
218 |
г л . IV. |
П Р И М Е Н Е Н И Е к |
ИСС Л ЕД О ВА Н ИЮ |
Р Е Ш Е Н И Й |
до порядка |
I включительно и удовлетворяет неравенствам |
|||
|
|
І/(ф )Іо< бо> |
|/(ф )Ь < С 0, |
(5.80) |
то существуют постоянный вектор А = (Al t .. . , Д„), удовлетворяющий неравенству
1^ Іо <7 е> |
(5.81) |
2я-периодическая по Ѳ = (Ѳх, ... , Ѳ„) |
и s0 раз непрерывно |
дифференцируемая функция Ф (Ѳ) = |
(Фі , ... , Фт), удовлет- |
воряющая неравенству |
|
|Ф (Ѳ )и < е,
такие, что система уравнений на торе
— со + А + / (ф)
заменой переменных
ф = Ѳ+ ф (Ѳ) (0 = 0 ! , ... , Ѳ„)
приводится к виду *)
гіѲ dt
При этом
(5.82)
(5.83)
(5.84)
(5.85)
|/(Ф )|/ = max 1£>$/(cp) 1, |
Dll |
(^Р< = р) • |
Уравнения (5.78) являются |
уравнениями |
типа (5.83) |
и для них выполняются условия теоремы 5.3. Следовательно, найдется непрерывно-дифференцируемая достаточное число
раз функция Ф (а) (Ф = Фи ..., Фт), |
2я-периодическая по |
|||
а (а,,..., |
ап) |
такая, |
что преобразование |
|
|
|
|
Ѳ= а + ф (а) |
(5.86) |
приводит уравнения |
(5.78) к чистому |
вращению |
||
Из (5.87) |
находим |
-Ж- = “ Г ■ |
<5-87> |
|
|
|
|||
а = (£>rt + |
а 0 |
(со?- = |
с»г„ .. . , соТп- а = |
а оь ... , а 0„), (5.88) |
*) Для зависимости I и s0, связывающей порядок дифференцируе мости функций / (ф) и Ф (Ѳ), выведена оценка / (s0) < /0 = 1 + 8 (s0 + + 2)а • ( т + 1).
§ 5. И С С ЛЕ ДО ВА Н ИЕ К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й 219
откуда следует, что уравнения (5.78) имеют квазипериоди-
ческое решение вида |
|
Ѳ= сo Tt + а 0 + ф (сйТі + а 0), |
(5.89) |
где Ф (соTt -f- а 0) — достаточное число раз |
непрерывно |
дифференцируемая функция, периодическая по а с перио дом 2я.
Принимая во внимание формулы преобразования (5.74), получаем следующее квазипериодическое решение системы
уравнений (5.62): |
|
|
w = ют t + |
а 0 + Ф (<М + |
«о) 4- 8У (®4 + а 0 + Ф (соft + |
|
+ а 0). ѵ) = |
®Tt+ а 0 + Ч'і (®4 + а0. ѵ>е). |
h = ср (w , |
&!•) — ср (со'rt -f- а 0 -f- |
|
+ |
Ч'і {<öTt+ а 0, V, е), е1/») = 'F2 (соTt + а 0, ѵ, е), |
|
|
|
(5.90) |
где функции VF1, *F2 принадлежат классу Ша,ѵ,я-
И, наконец, согласно формулам (5.54), (5.61), получаем
выражение для |
квазипериодического |
решения |
уравнений |
(5.53): |
|
|
|
w = |
a>Tt + а 0 + 'IMcor^ + |
а0, ѵ, в), |
| |
/ = |
70 + Z(ca^ + ao, ѵ,е), |
(5'9І) |
|
где функции ^Pj, Z принадлежат классу 2(а,ѵ.8-
Резюмируя сказанное, приходим к следующему утвер ждению.
Т е о р е м а 5.4. Пусть относительно системы урав нений (5.53) выполняются следующие условия.
1°. Функции, стоящие в правой части уравнений (5.53),
определены в области fi |
X U/s |
X Еео |
и принадлежат в этой |
||
области классу 2С,/,8- |
удовлетворяют условию |
|
|||
2°. Частоты Â (/) |
|
||||
Я/ (/) (ь=/о Ф 0, где |
Х(1) = |
дН0(/) |
r=r° |
(5.92) |
|
|
|
|
д і |
|
|
3°. Функция Hl (w, I) является полиномом относительно sin w, cos w.