книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

240 ГЛ. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТИ. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

при этом свойства функций ffy (t, Е, Е*, е), Q, (t, Е, Е*, е) аналогичны свойствам функций & (t, Е, £*, е), Q (/, Е, Е*, е).

3. Локальное интегральное многообразие S t обладает свойством притяжения траекторий любых решений урав­ нения (1.1), выходящих в начальный момент времени из области DPl, и это притяжение осуществляется по закону

(до тех t, пока |£,| < а 2, |£ | < ß2).

4. Если в области R X DPo X Ево X (х) £ Сх+2, Y (t, х) £

£ Сгх, то в области (2.62) Ф (t, I*, е) £ Cg,£*.

§ 3. Интегральные многообразия уравнений, близких к линейным

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

многообразия уравнений (3.1), причем в отличие от преды­ дущего параграфа, в котором речь шла о локальных интегральных многообразиях, в настоящем параграфе исследуются обычные не локальные интегральные мно­ гообразия.

2. Приведение исходного уравнения к специальному ви­ ду. Следуя методу Ляпунова 1115], введем в невозмущен­ ной системе уравнений

причем постоянные су, bj подберем таким образом, чтобы

пускает нетривиальные решения. Выделяя в полученном

вместо двух каких-нибудь переменных х/, а остальные обо­ значив через у (у3, ... , у„), приведем систему уравнений (3.2> к виду

§ 3. МНОГООБРАЗИЯ УРАВНЕНИЙ,- БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ 243

Определители этих систем отличны от нуля, и следо­ вательно, системы (3.15), (3.16) допускают нетривиальные

решения а г и а,-.

Таким образом, в результате преобразования (3.12) си­

dt

-§ - = tfA + e/?(/,g, g*. A),

где введено обозначение H — G. Принимая во внимание свойства функции X (t, х, г), для функций, стоящих в пра­ вой части уравнений (3.17), устанавливаем следующие

3. Теорема о нелокальном интегральном многообразии.

Применяя для исследования уравнений (3.17) тот же метод, что и для уравнений (2.1) (с учетом нелокального характера изменения g, g*), можем сформулировать следующий результат.

§ 3. МНОГООБРАЗИЯ УРАВНЕНИЙ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ 245

достаточно малой окрестности DPl, в рассматриваемом случае указанное свойство притяжения выполняется для любых конечных значений х (t).

4. Исследование структуры решений уравнений на мно­ гообразии. Рассмотрим уравнения (3.19), к которым сво­ дится исходное уравнение (3.1) на двупараметрическом

эти функции обладают ограниченными первыми производ­ ными по I, £*.

периодические по 1 с периодом Т = 2я/о).

Укажем условия, при которых уравнения (3.19) имеют

—1(0

§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ 247

кзаключению, что при выполнении для уравнений (3.19) условий теоремы 1.3.12 (см. теорему Ѵ.4.1) эти уравнения бу­ дут обладать периодическими решениями g (t, е), £* (t, е), которые при е = 0 переходят в периодические решения (3.23). Причем эти решения соответственно устойчивы, неустойчивы, условно устойчивы в зависимости от знака вещественных частей характеристических показателей со­ ответствующих уравнений в вариациях.

§4. Применение метода интегральных многообразий

кисследованию устойчивости

при постоянно-действующих возмущениях

1. Основные определения. Понятие устойчивости по Ляпунову, как известно, подразумевает устойчивость по отношению к возмущениям начальных условий.

Во многих практически важных случаях приходят к рассмотрению систем, находящихся под постоянным воз­ действием малых возмущающих сил, учесть которые при составлении уравнений движения практически невозможно. Однако за достаточно большой промежуток времени малые силы способны совершить значительную работу и сущест­ венно изменить движение материальной системы.

Поэтому, естественно, возникает задача об исследовании устойчивости невозмущенного движения не только по от­ ношению к возмущениям начальных условий, но также и по отношению к постоянно-действующим возмущениям.

Приведем математическую формулировку данной задачи. Рассмотрим уравнения

( Р о — достаточно малая постоянная), непрерывны, ограни­ чены, обращаются в нуль при хх — ... = хп — 0 и притом такие, что уравнения (4.1) в области (4.2) допускают един­ ственный интеграл Коши.

248 ГЛ. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТИ. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Наряду с уравнениями (4.1) рассмотрим уравнения

где функции R s (t,xu ..., х„), характеризующие постоянно­ действующие возмущения, определены в области (4.2), ограничены, непрерывны и не обращаются, вообще говоря, в нуль при хг = ... = хп — 0. Полагаем также, что в об­ ласти (4.2) уравнения (4.3) имеют единственный интеграл Коши.

О п р е д е л е н и е 4.1. Невозмущенное движение (три­ виальное решение хг = ... = хп — 0 уравнений (4.1)) на­ зывается устойчивым при постоянно-действующих возму­ щениях, если для всякого положительного числа в, как бы мало оно ни было, существуют два других положительных числа т)і (е) и г)2 (е) таких, что всякое решение уравнений (4.3) с начальными значениями (при / = t0), удовлетворяю­ щими неравенствам

I £ I < тіі (е),

при произвольных Rs, для которых в области t >• t0 | xs| •< < e справедливы условия

l#*(*. xlt .. ., Х„)|<Г)2(б),

удовлетворяет при всех t > t0 неравенству

|XS|< 8 .

Отметим, что исследованию устойчивости при постоянно­ действующих возмущениях посвящены многие работы, при этом основным аппаратом исследования является метод функций Ляпунова.

В данном параграфе мы исследуем устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравнений при постоянно­ действующих возмущениях в одном критическом случае, используя метод интегральных многообразий.

2. Постановка задачи. Исследуем устойчивость положе­ ния равновесия автономной системы

при постоянно-действующих возмущениях, характе­ ризуемых функцией еК (/, х). В результате придем к

Для простоты ограничимся случаем, когда этот спектр состоит из двух собственных значений, которые полагаем простыми изолированными точками спектра матрицы А. Остальной спектр о0 (Л) не пересекается с мнимой осью и расположен слева от нее.

Пусть для уравнения (4.5) выполняются все условия, сформулированные в § 1 настоящей главы (стр. 221—222),

локального интегрального многообразия S t уравнения (4.5), представимого соотношением (2.61), обладающего свойством притяжения траекторий любых решений уравнения (4.5), выходящих в начальный момент времени из области D(h (0) (Ра •< Рі •< Po), причем это притяжение осуществляется по закону

где хм(t) определено посредством выражения (2.61). Для первого слагаемого в правой части неравенства (4.7) имеем

летворяют условиям 11* 1< сс2, I g* I < ß2 при всех / £ R.