Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

22.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 5221 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

200 ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К ИСС ЛЕД ОВАН ИЮ Р Е Ш Е Н И Й

Рассматривая первое слагаемое, стоящее в правой части (4.34), видим, что в данном случае уже в первом неулуч шенном приближении решение уравнения (4.4) будет квазииериодическим с двумя основными частотами: с частотой

о) (е) — измененной собственной

частотой, и

с частотой

со (е)---- рѵ-

(е),

представляющей

разностный

тон

между

измененной

собственной

частотой

—---- тоном внешней

частоты.

приближение.

Рассмотрим вначале

случай,

Второе

когда

т . Тогда

(4.35)

где

-f-

EU (6-, t),

ш ( # ,

t) = = е

F„

eim®

i ( nvt+m— V/

(4.36)

У .

п,т

i (nv +

m —

п+т— ф0

а Ф должно быть определено из уравнения второго

прибли

жения

~3Г =

сл +

+ е‘ М

п,т

те1т»

/(nvc+miw) El

і^пѵ + т — ѵ

п+т —

фО

___ . • ÄH

1КѴ/+ — SV/1

feä

isetb®Fr se

' . (4.37)

r,s

или.из уравнения

: еД +

е2у,

(4.38)

где

трп,т '

F—n,—m

(4.39)

п,т

nv + т— V

("+ т m^°)

§ 4. В Л И Я Н И Е МАЛОГО В О З М У ЩЕ Н ИЯ

201

Интегрируя уравнение (4.38) и учитывая обозначение (4.8), находим

Ф — (^со------- V + b3y j / + ер,

( 4 . 4 0 )

где ф — произвольная постоянная.

Подставляя (4.40) в выражение (4.35) и принимая во

внимание формулу	(4.9),	получаем
ф = (со + е2у) t +	ф +	ей	---- 2_v + eayj t + ф, t) (4.41)

или, учитывая (4.36), с той же степенью точности имеем

ф = (со +		е2у) t +		р
+	ф + е		У,	р	(4.42)
+	ф + е		У,	-гг----g«'l.nv(+m «а+Е»ѵ )/+<р]	(4.42)
1	т	'	4U	I (/IV -f- та)	'	'
			п , т

n + tn —Q ф О

Итак, во втором приближении решением уравнения

(4.4) в	нерезонансном				случае		будет
д: =	л;0(ф) -f		{Ѳ (ф) ft (vt,				ф) +	Ѳ (ф) /\ (vt, ф)},	(4.43)
где
ф=хЙ/ +		Ф +	е		У			е‘^пѵІ+'пШ+^,	(4.44)
				п5?		‘ («ѵ + та>)
			п +	т	S - ф О
					П
при этом, с		принятой		нами		точностью,
	£2 =				т,п	mFп,т		. F~п,—т	(4.45)
	£2 =						(пѵ	ф та)	(4.45)
							(пѵ	ф та)
				п- -т ~ фО

Из выражения (4.43) видно, что в нерезонансном случае

стечением времени в системе установятся асинхронные колебания с двумя основными частотами £2 и ѵ.

Изменение фазового угла ф будет состоять из вращения

сугловой скоростью £2, на которое налагаются колебания ей ($, t) с малыми амплитудами и частотами (пѵ -f- m£2).

202 г л . IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К И СС ЛЕ ДОВАН ИЮ Р Е Ш Е Н И Й

Пусть теперь имеет место соотношение — ---- ^-, где

п и т — целые, взаимно простые числа. Тогда, составляя уравнения второго приближения, можем либо уточнить по ложение и ширину резонансной зоны, значение изменен ной собственной частоты асинхронных колебаний и т. д., либо обнаружить дополнительные резонансные зоны, не на блюдаемые в первом приближении.

Итак,

пусть

= ----.

Раскладывая

функцию

F (ѵ£, ft +

vt, ej в ряд Фурье, имеем

[nvl+mfiw+oj]

i\n,t+*Uvt+«

1п,тс

-----------

V isFr,se 1

' ’

п,т

пѵ + т---V

п+т+

=ÄOJ

г s v H - 6 ( —

v H - < H

V ф 50е

•

(4.46)

Для определения Ф во втором приближении получаем

уравнение

е Д

егу +

е [Fp,—qS

‘4® +

F ^ p<qeiq®] +

или

е2 [ФРі_,е-М> + Ф_р.,<?'9*]

(4.47)

~ З Г

еА +

E*V +

l’APqC0S (Я® +

ftPC) +

e2Bpqcos (q$ -f фр?).

(4.48)

Если

APfq

Ф 0,

T. e.

если

п и т

таковы, что уже в

первом приближении можем обнаружить резонанс и про анализировать его и, кроме того, Вм Ф 0, то с помощью уравнения (4.48) можем уточнить полученную ранее ре

зонансную зону	(4.29).
Если же Ap,q	= 0, a BPiq Ф 0, то получаем уравнение
да	еД -f t2y + &ВР'Яcos (q$ + фР9),	(4.49)
—- »

при помощи которого можем построить зону синхронизации, обнаруживаемую только во втором приближении.

§ Б. И С С ЛЕ ДО ВА Н ИЕ К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й 203

§ 5. Исследование квазипериодических решений нелинейных дифференциальных уравнений

1.Квазипериодические режимы в нелинейных системах.

Впредыдущих параграфах мы изложили результаты, от носящиеся к исследованию структуры решений на одно параметрических и двупараметрических интегральных мно гообразиях. В настоящем параграфе будут рассмотрены многообразия высших размерностей.

Изложим вначале результат Н. Н. Боголюбова *), от носящийся к исследованию структуры решений на ш-мер- ном тороидальном многообразии, когда исходное уравнение

	=	е),				(5.1)
где X, X — (я -(- яг)-векторы,		сводится		на	многообразии
St к яг-уравнениям
= V +	Я(ф, ѵ),	ѵ = (ѵ1(	. . . ,		v j.	(5.2)
Вместо уравнения (5.1) будем рассматривать эквивалент
ные ему уравнения специального вида					<
J*L = Hh + Q(ф, h, г),
■$- = ѵ + Р (Ф> А, е),						(5.3)
■$- = ѵ + Р (Ф> А, е),
где h, Q и cp, Р — соответственно я-			и	m-векторы,		Я —
(я X я)-постоянная	матрица,	спектр	которой располо
жен в левой полуплоскости.
Прежде всего преобразуем уравнения (5.3). Введем
поправку на частоту А по формуле А =				ѵ — со, где		со —

истинные частоты системы. Тогда вместо системы уравне ний (5.3) придем к рассмотрению уравнений

= Hh -f- Q (cp, h, А, е),

~dj~ — ® + А + Р (ф, h, А, е),

) Подробное изложение результата см. в [14], а также [22].

204 гл.	IV. ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ РЕШЕНИЙ
где Q (ф,	/г, А, е), Р (q>, h, А, е) — аналитические функции
в области
\|\|/г\|\|<ті, I Im ф		і - С р, \|Д \|< ст,	0 < е < е 0,
2л-периодические по		ф; частоты ш =	(<й1( , сот)	вещест
венны и удовлетворяют условиям
\{k,w)\>K\k\-(m+1)		(\|/г\|^0,\|/г\|Н М +		+\|fe«\|).
				(5.5)

Требуется подобрать такое А, при котором уравнения (5.4) с помощью некоторой замены переменных свелись бы к уравнениям

-$L = Hh + Q(Ф, А, е),

Доказав затем для уравнений (5.6) существование инвариант


ного тороидального		многообразия		St,	Н.	Н. Боголюбов
доказывает существование			квазипериодического				решения
исходной системы уравнений.
Имеет место следующая			теорема.
Т е о р е м а	5.1. Пусть относительно уравнений (5.6)
выполняются следующие условия.					*)
1 °. Функция Q (ф,		h, е)	в области
Ц/гЦС-щ		\|ІШ ф \|< р ,		0 <	е С е0,		(5.7)
удовлетворяет	неравенствам
(\|Ф(ф, h, е)[\|<;УѴ			И дО (ф, h, е)			II	(5.8)
			n[	-щ	- L [< L .

где n, р, N , L — некоторые постоянные, при этом, N/a <; т],

L -< а/2.

2°. Спектр матрицы Н не пересекается с мнимой осью и расположен слева от нее, и, следовательно, выполняется

неравенство		\eHt\ < Р е~ а‘,			(5.9)
		\eHt\ < Р е~ а‘,			(5.9)
где Р = const >	1,	і > 0, а >		0.
*) II /і I = sup	I eHthk I ea t,		где	\| eHt \| <	Pe~a‘, t > 0,
k=i, .... n
0S«oo	а	> 0, P =	const > 1.
	а	> 0, P =	const > 1.

§ 5. И С С Л ЕД О ВА Н ИЕ К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И И 205

Тогда система уравнений (5.6) допускает существова ние единственного тороидального интегрального многообра зия S t:

h ~ f ( ф),

(5.10)

где *) f (cp) — периодическая функция с периодом 2п, удов летворяющая неравенству

ІІ/(ф )[\|< 4 _		для		і ігпф ! < р-					(5.і і )
Если для любого решения, не лежащего на многообразии,
начальные значения hti, ф0		удовлетворяют условиям
	І І Ч І К 1-					\| І п і ф 0\| < р ,
то для любого t >• t0 выполняется неравенство
\ h t —	/ ( ф / ) I С	2г]е	- Т		'	t	>	0	( 5 Л 2 >
\ h t —	/ ( ф / ) I С	2г]е		*	,	t	>	0	( 5 Л 2 >
при этом
	\|А /І<Л ,				* > 0 .			решение	ин
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Рассмотрим					решение	ин
тегрального уравнения
	і
h /=	j e H V ~ x)Q ( y			+	ют, hx, e) d r ,				(5.13)
	—©о
удовлетворяющее дифференциальному уравнению (5.6).
Пусть
Тогда	h t =	f ( ф +			соО-				( 5 . 1 4 )
Тогда	t
	t
f ( ( p + ( n t ) =	( е н ( , - T ) Q ( ф +			с о т , f ( ф +				с о т ) , е ) d x .	( 5 . 1 5 )
Произведем в (5.15) замену			переменных
	Ф —>■ ф — (at,			t —		т =	г.

В результате вопрос о существовании искомого инте грального многообразия (5.10) сводится к рассмотрению уравнения

оо
/(ф) = i eH*Q(q> — ш, f(qj — (oz), г) dz.	(5.16)
о

*) В дальнейшем для простоты зависимость функции f (<р) от в указывать не будем.

80Ѳ ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К И СС ЛЕ ДОВАН ИЮ Р Е Ш Е Н И Й

Решение уравнения (5.16) ищем с помощью обычного

итерационного

процесса

/о (Ф) =

°>

оо

/ і ( ф )

e Il2Q ( ф

—

Ö 2 ,

0 , е )

dz,

(5.17)

©о

е) dz.

fs+i ( ф ) =

j eH2Q ( ф

— (ог, Д ( ф

— (0 2 ) ,

Учитывая

неравенства (5.8), имеем

оо

І/і(ф )1<^Іе-0В^ = 4 < г і -

(5Л8>

Допустим, что для всех /, ( ф )

(г =

, ,

s) выполняется

неравенство

(5.19)

Докажем

его справедливость для г = s -f-

1. Так

как

I/.(ф )I< % I I m ( ф — ( o z ) I =

IІ ш ф I < р ,

ТО

оо

SД+і (ф) II <

W Je~°*dz =

, Установим

сходимость

последовательностей

Д.

Для

бтого рассмотрим разность

fs+i (ф) —

Д( ф ) =

{Q(ф — (02, Д (ф — (02), е ) —

8 )}d2

— Ф(ф —

(02, Д_і(ф— сог),

( s = l,2 , ...).

(5.20)

Принимая во внимание оценку

ÖQ (ф, h, е)

•<Т,

находим

dh„

|| / и - і ( ф )

— Д ( ф ) I<

( фIIД— <М )

— Д -1 ( Ф —

(0 2

) II dz.

(5.21)

§ 5. ИСС ЛЕ ДО ВА Н ИЕ	К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й 207
Пусть
sup	\|/,(X )-/,_ i(X )\|\| = Dg.
I Imx I s;p
Тогда

D S+ I < ~ D S < - L D s.

Таким образом, имеем

° * < 4 ( - г Г ' '

<5-22>

откуда следует равномерная сходимость последовательности /, (Ф);

/5(ф)->-/(ф) в области |1 ш ф |с р .

(5.23)

Остановимся теперь на доказательстве неравенства (5.12), характеризующего свойство притяжения многообразием ^траекторий любых решений, не лежащих на нем, для ко торых ||/і0| < і] , j Im фо I < р.

Подставляя значение h — f (ф < af) в уравнения (5.6), получаем

■+ ^ . = Hf (ф + соt) + Q (ф + cot, f (ф + со*), е). (5.24)

Пусть	h =	h0 удовлетворяет	неравенству
		1*1 <ті-
Тогда	из	выражения
		t
		ht = j ен (,_T)Q (ф -f- сот, hx, е) dx -f- eHth0		(5.25)
видно,		о
видно,	что
		II hi (I < т],	t> 0.	(5.26)
Действительно,
И М < <?-а1*оі + — і ---- N <Се~аіУ]+ л(1 — e~at) <				r\.
Далее	имеем

■ ^ - = Hht +Q(<p + a t , h t,e).

(5.27)

208	ГЛ.	IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К ИСС ЛЕ ДО ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Й
	Вычитая из уравнений (5.27) уравнения (5.24), по
лучаем
		Ю-- ■=	H(ht — f (ф + со0) + Q(Ф + ©/, ht, е) —
			— Q (ф 4- чЛ, /(ф + со/), е).		(5.28)
	Разрешая систему уравнений (5.28), находим
А/ — /(Ф +		со/) = ені (h — / (ф)) +
	I
+	j em t- я /<2 (ф		о)Ті /гХ) е) — Q (ф +	сот, /(ф + сот), в)} dx.
					(5.29)
	Отсюда	после	мажорации правой	части получаем
			t
Ih, — /(ф + с о / ) I < е ~ “'2г) 4- I e~a {t~x)L \| hx— /(qp+					сот) \| dx
или			о
или			IА/ — / (ф + со/)J C G (/),		(5.30)
где			IА/ — / (ф + со/)J C G (/),		(5.30)
где
			t
		G(/) =	eat2r\ + L J e _ a ('~T)G (T ) C/T ,		(5.31)
			о		(5.31)
		G(0) =	2 T ).

Дифференцируя выражение (5.31) по / как по параметру, получаем

-^G = — aG+LG = — (a — L)G.					(5.32)
Принимая во	внимание, что		a — L >- a ---- ~ =
G (0) — 2rj, из уравнений		(5.32)	находим
G(/) = 2-пе- <вг- А) 4<			2г)е	2 .	(5.33)
Сопоставление неравенств		(5.30) и	(5.33) дает нам требуе
мое неравенство	__	_
IА* — / (ф ~Ь со/)IIС 2т]е 2				,	(5.34)

что и завершает доказательство теоремы.

§ 5 . ИСС ЛЕ ДО ВА Н ИЕ К В А З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й '	209
П р и м е ч а н и е 5.1. Если Н — вещественная	мат

рица, Q (ф, h, е) — вещественная функция при веществен ных ф, h, е, то и функция f (ф) — вещественная при ве щественных ф.

Возвратимся к рассмотрению уравнений (5.4). Для отыскания Д = (Д1( ... , Am) и нахождения искомого пре образования ф, h Ѳ, h, приводящего уравнения (5.4) к виду (5.6), Н. Н. Боголюбовым построен итерационный процесс с ускоренной сходимостью. Доказана законность замены

Ф = Ѳ+ 0>(OQ>(Ѳ, h, 0),		(5.35)
посредством которой при Д =	система уравнений	(5.4)

приводится к системе (5.6), правые части которой удовлет воряют условиям теоремы 5.1 *).

Согласно теореме	5.1 система уравнений (5.6) обладает
квазипериодическим решением с частотами со вида
ft = f (ѳо +	І Л К д г ПРИ \|Іт Ѳ 0\| < - \| - . (5.36)

Тогда, согласно формулам (5.35), приходим к заключе

нию, что для системы уравнений (5.4) при Д = Di00* суще ствует квазипериодическое решение вида

Ф = Ѳ0 4*	)(Ѳо Т"	f (Ѳо ю^)» 0), h ~ f (Ѳ0	(5.37)
			(5.37)
Заметим, что преобразование (5.35) обратимо в области
	\|\|A \|\|< J - ,	ІІШ ф К - f (1 — -^F ) ,	(5.38)
поэтому	можем написать **)
	Ѳ =	ф -f ф (ф, К).	(5.39)

Покажем теперь, что квазипериодическое решение (5.37) обладает свойством притяжения близких к нему решений.

Рассмотрим решения ф*, ht уравнений (5.4), началь ные значения которых ф0, h0 принадлежат области (5.38). Принимая во внимание утверждения теоремы 5.1, по лучаем следующие оценки, обеспечивающие притяжение

*) Подробное описание итерационного процесса и определение функций Ф(оо>, D(1K,) см. [14], а также [22].

**) Доказательство этого утверждения см. в [22].

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 5221 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ