книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике
.pdf80 г л . II. |
М Н О Г О О Б Р А З И Я У Р А В Н Е Н И Й В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОРМЕ |
|||
4. |
Теорема о существовании и |
свойствах |
интегрального |
|
многообразия уравнения в стандартной |
форме. На основа |
|||
нии приведенных результатов нетрудно установить спра |
||||
ведливость следующей |
основной теоремы для |
исходного |
||
уравнения (1 .1 ). |
Пусть относительно уравнения в |
|||
Т е о р е м а 2.1. |
||||
стандартной форме (1 |
.1 ) выполняются следующие условия. |
|||
1°. Вектор-функция X (і, х) определена в области R X X D X ЕЕо и допускает существование среднего по t
|
|
т |
|
|
Х 0 (х) = lim ~ |
I |
X (t, х) dt |
|
Т-ТОО |
0 |
|
равномерно относительно х £ D. |
|
||
2 °. |
Усредненное уравнение |
|
|
|
т - е В |
Д |
|
имеет |
2л-периодическое решение |
х = х° (ф). В р0-окрест- |
|
ности этого решения X (t, х) £ С*.
3°. X (t, х) — почти-периодическая функция t равномер но относительно х £ DPo.
4°. Вещественные части всех п — 1 характеристических показателей для уравнений в вариациях
"ЗГ = £Л (ф) У (А (ф) = Х'ох (х° (ф)))
отличны от нуля.
Тогда всегда можно указать такие положительные чис ла е, р, pt (р •< рі ■< Ро), что для любого положительного
в< е будут справедливы следующие утверждения.
1.Уравнение (1.1) имеет единственное интегральное мно гообразие St, лежащее для всех вещественных t в области DPl.
2.NI югообразие S t допускает параметрическое представ ление вида
х = Ф (1,Ѳ,е), |
(2.13) |
где Ф (/, Ѳ, е) определена для всех вещественных t, Ѳ, явля ется 2п-периодической по 0 и почти-периодической по t равномерно относительно Ѳс частотным базисом функции
X |
(t, X); Ф (t, Ѳ, е) £ С1Ѳ. |
ß (г) -> 0, |
г] (в) — 0 при |
|
|
Можно найти такие функции |
|||
8 |
-> 0 , что будут выполняться неравенства |
|
|
|
|
|Ф(<, Ѳ, e ) - x » ( 0 )|< ß (e ), |
|
|
|
|
] Ф (t, Ѳ', е) - Ф (t, Ѳ\ 8 ) | < |
ri (8 ) I 0' - |
Ѳ" |. |
(2.14) |
§ 2. С У ЩЕ С Т В О В А Н И Е О Д Н О М Е Р Н О Г О М Н О Г О О Б Р А З И Я |
81 |
|
3. На многообразии S t уравнение (1.1) эквивалентно урав |
||
нению |
|
|
- § - = *F(t, Ѳ,е), |
(2.15) |
|
в котором F (t, Ѳ, е) определена для всех |
вещественных |
t, |
Ѳ, является 2п-периодической по Ѳ и почти-периодической
по t равномерно относительно 0 |
с частотным базисом функ |
|||||
ции X (t, х)\ F (t, Ѳ, |
е) £ СІ. |
Кроме того, |
имеют |
место |
||
неравенства |
|
|
|
|
|
(2.16) |
IF (/, Ѳ, е) I < б (е), |
|
|
||||
IF (t, 0', е) - |
F (t, Ѳ", е) | < ф ) |
| Ѳ' - |
Ѳ" |, |
(2.17) |
||
в которых 6 (в) -> 0 , т) (е) |
0 |
при е |
0 . |
|
|
|
Любое решение уравнения (1.1), лежащее на многообра |
||||||
зии S t, представимо в виде |
|
|
|
|
|
|
* = Ф(*,Ѳ(0 ,е), |
|
|
(2.18) |
|||
где 0 = 0 (t) — некоторое решение уравнения (2.15), |
и на |
|||||
оборот, выражение (2.18), в котором Ѳ = |
0 (t) есть решение |
|||||
уравнения (2.15), всегда |
является решением уравнения |
(1.1), |
||||
лежащим на многообразии S. |
|
|
|
рассматривае |
||
4. Если вещественные части всех п — 1 |
||||||
мых характеристических показателей отрицательны, мно гообразие S обладает свойством притяжения всех близких к нему решений, т. е. если х — х (t) — любое решение урав
нения (1 .1 ), |
проходящее при некотором t = і0 через какую- |
|||
либо точку |
области D- : х (/0) £ D- (х £ D- при h £ U^), то |
|||
для него при t > t0 |
будут выполняться неравенства |
|
||
I x{t) - Ф |
(*, Ѳ(0, е) I < C1 |
(e)e-8V|t- <J, |
(2.19) |
|
j |
dQ(t) |
eF(t,Q(t)) < C 2 |
(e) е~гуі*~І0К |
( 2. 20) |
I |
dt |
|||
5.Если все n — 1 вещественные части положительны, то
можно найти такое ^ > t0, что
( 2. 21)
6. Если s рассматриваемых вещественных частей отри цательные, а остальные п — 1 — s положительны, то в области D- существует s-мерное точечное многообразие УЛ/,
82 г л . II. М Н О Г О О Б Р А З И Я У Р А В Н Е Н И Й |
В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОРМЕ |
такое, что из соотношения |
|
* ( * » ) № |
(2 .2 2 ) |
вытекает экспоненциальное стремление к нулю выражения
(2.19) при t ->■ со, а из соотноіиений |
|
|
*(g<EDp, |
х (д ё э п ,. |
(2.23) |
вытекает справедливость соотношения (2 .2 1 ) при некотором ti t0.
Таким образом, если хотя бы одна из вещественных час тей рассматриваемых характеристических показателей по ложительна, многообразие St неустойчиво. Любое, не при надлежащее к нему решение х (t), для которого х (t0) лежит в области D- и не находится на особом течечном многообра
зии TRiit низшей размерности, с течением времени покинет
область Dp (р > |
р). |
Принимая во внимание фор |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||
мулы перехода |
(х -> g, h) |
|
X = |
х° (ф) + ~ |
(<2(ф) b + Q(ф) Ь), |
ф = g + ем (t, g, h, е), |
b = h + ev (t, g, h, e), |
|
параметрическое представление многообразия St уравне ний (1 .1 ) можем записать в виде
X = Ф (t, Ѳ, е) = х° (0 + |
ги (t, Ѳ, f (t, Ѳ, г))) |
+ |
||||
+ |
±-{Q(ß + ZU{t,$,f ( t, 0 , 8 ) ) ) ( / |
(t, Ѳ, 8 ) |
+ |
EO(t, Ѳ , f (t, Ѳ, 8 ) ) ) + |
||
+ |
Q (Ѳ + eu (t, Ѳ, f(t, |
Ѳ, e))) (f(t, |
Ѳ, e) + |
eü(t, Ѳ, f(t, 0, e)))}. |
||
|
|
|
|
|
|
(2.24) |
|
Существование |
и |
единственность |
вектор-функции |
||
/ (/, Ѳ, е) установлены |
в леммах 2.1, 2.2, 2.3; х° (ф) — из |
|||||
вестное решение, функции и (t, Ѳ, h, |
е), v (t, Ѳ, h, e) опре |
|||||
деляются через известные функции, стоящие в правых ча стях уравнений (1.20). Существование и единственность мат рицы О (ф) следует из представления Флоке (1.9).
Таким образом, функция Ф (t, Ѳ, |
е) существует и един |
|||||||
ственная, причем |
|Ф |
(/, Ѳ, е) I < |
pi |
при |
|/ (t, Ѳ, е) | < |
б0. |
||
В силу |
того, |
что |
х° (ф), |
Q (ф) — 2я-периодические, |
||||
функции |
h = / |
(t, |
0 , |
е) и |
и (t, |
0 , |
/ (t, 0 , е), |
е), |
§ 2. С У Щ Е С Т В О В А Н И Е О Д Н О М Е Р Н О Г О М Н О Г О О Б Р А З И Я 83
V (/, Ѳ, / (t, Ѳ, е), |
е) (в силу их определения, см. |
[17]) — |
|
2 я-периодические по 0 , функция |
|
||
|
|
х = Ф (/, Ѳ, е) |
|
также будет периодической по 0 с тем же периодом 2 я. |
|||
Кроме |
того, |
очевидно, можно найти такую |
функцию |
ß (е) -> 0 |
при е |
0 , что будет выполняться неравенство |
|
|
|
|Ф(/, Ѳ, e )-* o (0 )|< ß (e ). |
(2.25) |
Утверждение 3 теоремы непосредственно вытекает из |
|||
следствия 2 .1 , при этом вместо уравнения |
|
||
|
|
JjL = fi>+ F(t,g,B) |
(2.26) |
рассматриваем уравнение |
|
||
|
|
- ^ - = eF(t,Q) |
(2.27) |
относительно переменной Ѳ.
Покажем теперь, что многообразие S t обладает свойст вом притяжения всех близких решений в случае, если ве щественные части всех п — 1 характеристических показа телей отрицательны, то есть установим справедливость не равенства
к ( 0 - Ф ( ^ Ѳ ( /) ) |< С 1 (£ )Г £?"Ч ) , |
(2.28) |
в котором X (і) — любое решение уравнения (1 .1 ), прохо дящее при t — t0 через некоторую точку области D-.
Согласно формулам перехода от х к g, h, имеем, учитывая при этом соотношение (2.9),
|х ( 0 - Ф К , 0(0, е)| =
|
= х°(Ѳ + ей (t, 0, ht)) + ~Y {Q (0 + zu (t, 0, ht)) |
X |
||
X(ht -J- ev (/, 0, ht)) -f- Q(0 -|- eu (t, 0, |
ht)) (ht -f- ev (t, 0, ht))} —- |
|||
- |
X» (Ѳ -f eu (t, 0 , 0 ) ---- ^-{Q( 0 + |
ш (t, 0 , /)) (/ (/, 0 |
, e) + |
|
+ |
еУ (О Ѳ, f)) — Q(Ѳ + eu it, 0, /)) (fit, 0, e) + ev (t, 0 |
, /))} < |
||
|
< Me, P) I ht — f (t, 0 (0, e) I < Я (ep) | ht. — |
|
|
|
|
- / ( / o,0 (/o),e )|ß- ^ - 4 p < P , |
(2.29) |
||
где Я (s, p) — некоторая константа Липшица. |
|
|
||
84 г л . II. М Н О Г О О Б Р А З И Я У Р А В Н Е Н И Й В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОРМВ
Принимая во внимание, что |
hto и f (t0, Ѳ(£0), е) |
принад |
|
лежат области |
(/3 , окончательно получаем |
|
|
IX (0 |
- Ф (t, Ѳ (t), е) I < |
С, (е, р) e~w ~h), |
(2.30) |
где Сг (в, р) = Х(е, р)С |
(|д :|< р при | / і | < 6 ). |
Неравенство (2.20) непосредственно следует из установ |
|
ленного в следствии 2.4 |
неравенства (2.12), в котором вме |
сто переменной g взята Ѳ. |
|
Утверждения 5 и 6 теоремы 2.1 непосредственно следу ют из леммы 2.3 и следствия 2.4.
Таким образом, теорема полностью доказана.
Г л а в а III
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, БЛИЗКИХ К ТОЧНО-ИНТЕГРИРУЮЩИМСЯ, В ОКРЕСТНОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
В настоящей главе изложены результаты авторов [91 ]—[98], [102]— [106], [131], [134], [148], [149], относящиеся к исследованию однопа раметрических интегральных многообразий, а также двупараметриче ских локальных интегральных многообразий нелинейных дифференци альных уравнений, близких к точно-интегрирующимся. Рассмотрены, в частности, уравнения с переменными коэффициентами, с медленно ме няющимися параметрами; уравнения, описывающие «быстрые» и «мед ленные» движения. Приведены некоторые примеры.
§ 1. Приведение нелинейных дифференциальных уравнений, близких к точно-интегрирующимся, к специальному виду
1. Частные случаи. Рассмотрим систему нелинейных диф ференциальных уравнений
>*♦♦, п), |
(1 .1 ) |
описывающую свободные колебания некоторой механиче ской системы. Предположим, что система (1.1) имеет одно параметрическое семейство периодических решений
Ч = 4 И + ф) (4 (Ф + 2л) = 4 (Ф)), |
(1.2 ) |
зависящее от параметра ср. Пусть это семейство решений
устойчиво, |
т. е. п — |
1 |
характеристических показателей |
..., Я„_і |
уравнений |
|
в вариациях, составленных для |
семейства решений (1 .2 ), имеют отрицательные веществен ные части. Предположим, что, начиная с момента времени t = 0 , на колебательную систему, находящуюся в состоя нии стационарного режима (1 .2 ), воздействует внешнее слабое периодическое возмущение с некоторой частотой возмущения а, которую можно положить равной 1. В резуль тате получаем следующую систему уравнений:
|
'V • • • >ч ,е) |
(k = 1 , . . . . п). |
(1.3) |
8G ГЛ. III. |
М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х |
Р Е Ш Е Н И Й |
Заметим, |
что, так как в момент t = 0, согласно |
условиям |
задачи, справедливы еще формулы (1 .2 ), то для возмущен ных колебаний имеем следующие начальные условия:
Хк(0) — х°к(Cp) ( k = l , . . . , t l ) , |
(1.4) |
где ер — полная фаза в момент начала воздействия возму щения. Рассмотрим вначале случай, когда функции в пра вой части уравнений (1.3) являются аналитическими в об
ласти DPl) X Ее„, где |
DРо— р0-окрестность решений (1.2), |
|||||
Е8о— е0-окрестность |
точки |
е = 0. |
Предположим также, |
|||
что |
характеристические |
показатели |
^ ,..., А„_і |
удовлет |
||
воряют соотношениям |
|
|
|
|
||
t T l i f a x “Ь •••-{- И І Ц — 1^(1—1 |
h q |
i f l ~ |
1> • ■• > M |
1)>) |
||
Щ + • • • + m n- 1 > 2 , |
|
|
|
j |
||
где |
mn-\ — целые |
неотрицательные числа. |
|
|||
|
Тогда, на основании теоремы Пуанкаре о приводимости |
|||||
нелинейной автономной |
системы в |
окрестности |
периоди |
|||
ческого решения к линейной системе [176], общее решение уравнений (1 .1 ) в окрестности семейства решений (1 .2 ) мож
но записать |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
xk = |
fk(at + |
Ф. |
.. . , |
С „ _ xe ’n~{t) |
( 6 = 1 , |
. . . , |
n), |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.6) |
где ф, Ci,..., |
C,i_i — постоянные |
интегрирования, |
при |
||||||
этом |
тождественно |
|
|
|
|
|
|
||
fk (xp, hi, ... |
, A„_i) = /й(ф + 2 л, hi, |
... , A„_i), |
(1.7) |
||||||
|
|
|
/й(ф, 0, . . . |
, 0) = |
лг°(Ф), |
|
|
(1.8) |
|
и функции /й (ф, hi, ..., А„_і) — аналитические |
относитель |
||||||||
но hu ..., hn-\. |
|
выражение |
(1.6) |
в |
уравнения |
||||
Заметим, |
что, подставив |
||||||||
(1 .1 ), имеем тождественно |
|
|
|
|
|
|
|||
|
п—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= |
|
и |
(* = |
i ..........п). |
||
Т |
? = 1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
(1.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем теперь в уравнениях (1.3) вместо х (.Хі, ..., хп) новые переменные ф, h (hi ..., hn~і) посредством замены
= ЫФ. hi, ... , A„_i). {k = 1, ... , я), (1.10)
§ 1. П Р И В Е Д Е Н И Е К С П Е Ц И А Л Ь Н О М У ВИД У |
87 |
при этом, согласно (1.4), начальными условиями для новых
переменных |
будут |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
і|з(0 |
) = |
ср, |
М 0 |
) = |
0 |
(6 |
= |
1 , |
|
|
(1 .1 1 ) |
Подставляя |
выражения (1.10) в уравнения (1.3), получаем |
||||||||||||
|
dty . |
Н— 1 |
д/fe |
|
_ |
у |
/ г |
|
г |
\ |
I |
|
|
dfk |
у |
dhq |
|
|
|||||||||
(Зф |
Л |
4- 2J |
«ЭЯ |
|
|
л й(/і- |
• • • > In)+ |
|
|||||
|
|
|
9=1 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+eY (t, /і........... в) |
Ф = 1 |
. • |
|
п). |
( 1. 12) |
||||||
Из уравнений (1.12) |
и (1.9) |
имеем |
|
|
|
|
|
||||||
■ df k |
dty |
|
|
, V |
dfk |
1dhg |
, , |
) __ |
|
(1.14) |
|||
<3i|> |
(-?—>)+S-äM |
|
|
|
■K-iK-u |
||||||||
1 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= *Yk(t,flt ... , |
/я,е) |
(£ = |
1, |
... , H) |
(1.13) |
|||||
Разрешая эту систему уравнений относительно неизвестных
dip |
|
dhx |
|
K1h1, |
|
|
|
dhn- 1 |
|
|||||
dt |
-со, |
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dtp |
|
|
|
k=\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
( 0 |
+ |
e |
Yk У’ |
fi’ • ■• >fm e) Nko, |
|
|||||||
|
|
2 |
|
(1.15) |
||||||||||
|
dhg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=\ |
|
|
|
|
|
|
||
|
dt |
— hqllq |
+ 8 |
|
Y k |
(f’ f l ’ |
■ • ■ ’ fn> e) N kq |
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
где |
|
|
|
(q= i, |
|
|
|
П—1), |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dfr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mkq |
|
|
|
|
|
NkQ |
( |
|
− |
1) |
k+q |
dh. |
1.16) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
dfr |
|||||||
|
|
( 7 = 1 ..........tl\ |
|
|
|
|
|
dh. |
|
|||||
|
|
|
|
S = 1............ П—1) |
|
|||||||||
(Mkq |
миноры |
определителя |
А, |
соответствующие k-й. |
||||||||||
строке и q-му столбцу). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Введем обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
.2 Y k (ft fl> • •• ’ |
f nt |
e) |
|
|
|
|
®q—’f f ’ |
f^l’ •••t fln—lt |
s) |
|||||
k=\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 9 |
= |
|
0 ,1 ..........n - |
1), |
(1.17) |
|||||
8 8 ГЛ. Ш . |
М Н О Г О О Б Р А З И Я І В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й |
||||
где Ф? (t, |
ф, hi, ..., hn~l, |
e) — 2 я-периодические функции |
|||
t, ф, аналитические относительно hit |
..., hn~\, e. В резуль- |
||||
тате получим следующую систему уравнений: |
|||||
|
= |
(о + |
еФ0 ( i , |
rp, hlt . . . , |
hn_ u е), |
|
„ |
|
|
|
(1-18) |
|
- ß - = |
Ah |
+ еФ(і, ф, hlt . . . |
, hn-u e), |
|
где h — hu ..., |
|
Ф = |
®i, .... Фл-і; A — диагональная |
||
матрица с элементами А,ь |
Xn_j. |
|
|||
Система уравнений (1.18) является системой специаль ного вида, удобной для дальнейшего исследования.
Рассмотрим случай, когда невозмущенная система урав
нений (1 .1 ) или, что все равно, уравнение |
|
-ЗГ = В Д ,. |
(1-19) |
где X, X — /г-векторы, имеет двупараметрическое семейст во периодических решений
X — х° (<at -f- ф, |
а) |
(х° (ф + |
2я, а ) = х° (ф, а ) ) , |
( 1.20) |
||
зависящее от параметров ср, а, |
причем в общем случае о |
|||||
является функцией |
а: |
о) = |
to (а). Относительно функций |
|||
X (х), Y (t, X, е) полагаем, |
что они являются |
аналити |
||||
ческими функциями |
X , |
е в |
области £>Ро X Е8о, |
где £)Ро — |
||
р0-окрестность решения |
(1.20), ЕЁ 0 — е0-окрестность точки |
|||||
8 = 0. |
а £ 31 (31 = |
(а0, а4)) (п — 2) |
характе |
|||
Пусть для любых |
||||||
ристических показателя уравнений в вариациях, составлен
ных для решения (1 .2 |
0 ), |
|
- ^ - |
= Хх(хЦгр,а))8х, |
(1.21) |
имеют отрицательные вещественные части и удовлетворяют соотношениям типа (1.5) (два характеристических показа
теля всегда равны нулю, так как |
уравнение (1 .2 1 ) имеет |
||
два решения вида *) |
|
|
|
Уі№> а) |
дхѵ(чр, а) |
Уг (Ф, а) |
а) |
dip |
да |
||
дх° (ір, а) |
( 1.22) |
|
да |
||
|
*) Знак ~ обозначает, что производная берется по а, не входяще му в со.
§ 1. П Р И В Е Д Е Н И Е К С П Е Ц И А Л Ь Н О М У В И Д У |
89 |
где > д*° (фц,£)---- 2 я-периодические функции ф.
На основании упомянутой выше теоремы Пуанкаре об
щее решение уравнения (1.19) запишется в виде |
|
|
|||||
* = |
/ (<ü* + Ф , а, |
CgeM...................С„еѵ ) |
(х = х,............ хп), |
||||
|
|
|
|
|
|
.(1.23) |
|
где |
ер, |
а, С3, ..., |
Сп — постоянные |
интегрирования, |
при |
||
этом / (со^ + Ф, а, h3...... hn) — аналитическая функция |
а, |
||||||
h3, ..., |
hn при достаточно малых их значениях, |
удовлетво |
|||||
ряющая соотношениям |
|
|
|
||||
,/(со/ + |
ф, a , h 3, . . . , |
hn) = f((i>t + ф + |
2 я, a,h3, |
. . . , hn), ) |
|||
f (со/ + |
ф, а, О..........0 |
) = х° (со/ -f ф, а). |
|
) |
|||
•Совершая в возмущенном уравнении |
|
|
|
||||
|
|
|
-%- = X(x) + eY(t,x), |
(1.24) |
|||
где X, X, Y — п-векторы, е — малый положительный пара метр, замену переменных согласно формулам
X = /Чф, a, h3, .. . , hn), |
(1.25) |
по аналогии с предыдущим случаем придем к уравнениям следующего вида:
|
со (а) + eFx(/, ф, a, ft, е), |
|
|
|
1 |
|
||||
dt |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d a |
eF2 (/, ф, a, ft, е), |
|
|
|
|
|
(1.26) |
|||
dt |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Aft + eF0(/, ф, a, ft, e) |
(ft = |
ft3, |
... , |
hn), |
|
||||
тде A — диагональная |
матрица |
с |
элементами |
Я3, ..., |
Кп, |
|||||
скалярные |
функции |
(/, ф, a, |
ft, е), |
F2 |
(/, ф, a, ft, е) |
и |
||||
{п — 2)-мерная вектор-функция |
F0 (/, ф, a, h, е) являются |
|||||||||
аналитическими функциями a, |
ft, 8 |
в |
области |
21 X £/е„ X |
||||||
X Ее„, 2я-периодическими по /, ф. |
|
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим уравнение с медленно меняющимися пара |
||||||||||
метрами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= X (т, |
X) + |
BY ( т , Ѳ, X , |
е), |
(1.27) |
|||||
где X, X, |
Y — п-векторы, |
т = |
е/, |
|
= |
ѵ (т). |
|
|
||