книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

§ 2. Д В У П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К И Е М Н О Г О О Б Р А З И Я

101

da

= Q V, Ф, а, (і, е),

(2.6)

W

R X О X 9Г X U6t X Ее„

(2.7)

и принадлежат в этой области классу

(/2я;

М (е) |Л=0; Я, (е, а)(1|,АЛ));

(2.8)

кроме того, для любых а £ ЗД спектр матрицы Я (й) не пе­

ресекается с мнимой осью и расположен слева от нее.

З а м е ч а н и е

2.1. Если порядок гладкости

функций

X (X), Y (t, х) по X повысить до г-го (г = 2, 3, ...,),

то соот­

функций

Р (t, ф, а, h, е), Q (і, ф, а, h, е),

R(t, ф, а, h, е)

по ф, а,

h.

локаль­

2. Лемма о существовании двупараметрического

ного интегрального многообразия.

(2.6) об­

Л е м м а 2.1. Пусть правые части уравнений

ладают указанными

выше свойствами.

Тогда всегда можно

указать такое положительное et С

е0,

что

для любого по­

ложительного е <! Sj

уравнения (2 .6

)

имеют единственное

двупараметрическое

локальное интегральное многообразие,

представимое соотношением вида

h —

Ф, а, е),

(2.9)

где вектор-функция /

(/, ф, а, е) определена в области

R x Q x V l x Е8о)

(2.10)

является непрерывной

функцией своих

аргументов, 2я-пе-

риодической по t, Т-периодической по ф

и для любых а £ 91

удовлетворяет неравенствам

\f(t, ф, а, е)| < D ( e ) < 6

2 (б2

-Сöj),

I / (t, ф', а', е) — f (t, ф", а", е) | <

А(е) {| ф' —ф" | + К — а"\},

где D (е) -> 0, А (е) -> 0 при е ->- 0.

( 2. 11)

|РК , ф, «, e)|< D (e),

(2.16)

I F{t, ф', a', e) — F (t, tj/', a", e) | <

< А (е ){ |ф '- ф " |- Н о '- А " |} ,

(2.17)

=

®і (а) + Pi (t, Ф, fl, F У, Ф, fl, e), e),

ta

(2-18)

=

QAt, Ф, a, F (t, ф.- а, e), e).

(аналогичные

неравенства

выполняются для функции

Qi (t, ф, a, F (t, ф, а,

е),

е)).

Отсюда на основании теоремы Коши вытекает существо­

вание и единственность решений ф<? at

уравнений

(2.18).

Обозначим их через

= Blta(Ф0, flo);

at = Аг,и (Фо, fl0),

(2.21)

при этом В£<„(ф0, fl0) = ф 0,

AojAi>о, «о) =

flo-

Рассмотрим очевидные равенства

d (ф! — ФО

.

*

*

------_ ----- =

ю(а,) — ш(а,) +

Р х(/, Ф<, а«,

^ . Ф ь й ь

е), 8 ) — Px(t, ф^, а<, P(L ф„ а<, е,)е),

(2 .22)

d(а! — а/)

_

.

,

«

----- 5------ “

(*•

üu F*

e), e) —

— Qi (*, Ф/, fl«, F {t, ф„

atf e), e),

d (г|у — %)

dt

< [С

+ Це, D)(l + A ) ] ( | ^ - ^ | +

+

1a] — at |) + Jt(e, D)|| F* — F ||,

d {at — at)

(2.23)

It

<; [С + Я (e, Ö) (1 + A)] (| ф^ —■фг! +

+

|а ? -Я /І) + Ме, D )IF * -F i,

где С — константа Липшица в условии

I © (at) — со (at) I < СI а] — at|.

Полагаем, что С <

а/4. Из

(2.23) получаем следующие не­

равенства:

1Ф< — Ф< I=

IВІ'и (Фо, flo,

е)—

Вг.и(Уо. Оо, е)I <

~2~ (flФо —

Фо I+

|ßo —

a01]+ [|фо —

Фо I+

I

1F '* — F II .

2[С+Цв.Р)(1+ А)]И _

n

“r

2(1 +

Д)

1

>’

I at — at I =

1А Н (Фо, flo, e) — Az>u(ф0, a0, e) | <

} (2.24)

-J- {fI Фо

Фо I +

I a0

ß0 |] + [| Фо

Фо I +

+ | ß‘ — ао|]е2

[С+ад(И-ДШг|} +

I

ИF *

F И /

2[С-(-Я,(е,ОКН-Д)Лг[

,,

"*■

2(1 -(- Д)

У

'■

-%f- = Hi(a)h + Ri(t, Ф, a, h, е)

(2.25)

§ 2. ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

105

имеет

ограниченное

на

всей оси

R

решение

h (t) =

= h (t, ф (t), а (t), e),

представимое в виде

оо

h ( t ) =

JО ^ Я ^ - М .ф ,,

а„ /і2, e)dz.

(2.26)

— CO

Здесь

G (2 ) — функция

Грина

матрицы

Hi (а), определен­

ная при помощи соотношений

^ > 0

,

[ 0

G

( 0 =

U

~ ™

r \

t c

0

,

(2'27)

где /,

Г- 1

— единичные

матрицы,

Ht (а)_— [n X (п — 2)1-

матрица,

спектр

которой для

всех

а £ 9(

не пересекается

с мнимой осью и расположен слева от нее.

Нетрудно видеть,

что функция G (t)

удовлетворяет диф­

ференциальному уравнению

= — Нх (a) G (0 = — G (t) Я, (а)

(2.28)

и условиям

/;

G (+ 0) = 0;

(2.29)

G(— 0) =

кроме того,

IG(О і С

Ке~'а^

(2.30)

на всей оси R, где К и a — некоторые

положительные по­

(2.18) , которые

при і — t0 принимают значения

ф,

а: г(з( =

= Bz,i„ (ф, а); а(

—

(ф, а). Для этих решений

из

урав­

нения (2.26) получим интегральное уравнение

СО

F (t, ф, а, е) =

]

G(2 ) Rx [t -f- г; В ^ (ф, a); Л£<„ (ф, а);

—оо

F ( t + z; B z j A t y ’ а); ^ „ ( Ф . a Y> е); е} dz,

(2.31)

F = SF,

(2.32)

I St'ba (F)I < -Щ- {М (8

) + I (8 , D) D),

(2.33)

со

I S

t . w (F*) -

S,.*.« (F) I <

(г, D )\ F *

— F \\ j

<Га|г| dz +

+

K l (e, D) (1 +

A) $

(I В Ц -

Bit. I +

IАІХ -

Ab}) X

— OO

oo

X

dz <

K l (8

, D) IIF* -

F II

j <Га1г| dz + K l (e, D) и

— OO

X

( 1

+ A) J

-а + 2 [е + Я (е .о К1Ч-д )3}ігі( | ф * — ф 0 | + 1а*—й 0|)

dz+

K l 2(е,

D) (1

СО

,

+

Д.) „ £•*

с и

С

« + 2 [С-)-?.(е.О)(Н-Д)]] |2і

,

+

С + М 8

, D)(1

+Д)"Г

Г)|

J

е

/аМе, РҢ1 + А)

Г —аіг)

•

(2.34)

C + Me, D)(l +Д)

J

8Ä. (е, D)

К < 1.

а

§ 2. Д В У П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К И Е М Н О Г О О Б Р А З И Я

107

\St.ba(F)\< D (e),

(2.36)

I

(F*) — 5<,ф,а (F) |< А (е) (1 -ф* — ф I -f- j а* — а |} +

+ 4 - | | ^ - F | |

(2.37)

и, в частности, при F* =

F

I S w a ' (F) — Sw,a (F) I <

A (e) (I ф* — ф I -f I a* — a |}. (2.38)

Из неравенств (2.36) и (2.37) следует, что при е <

ej опе­

ратор S отображает класс функций С (D, А) на себя.

При а* = а, ф* =

ф из неравенства (2.37) получаем

ISF » - SF I <

-±- j р >— F I, I/ 1- sup I f |.

(2.39)

Покажем теперь, что

последовательность

функций F0,

Fi, ..., Fn, ..., принадлежащих классу С (D,

А), равномер­

жением уравнения (2.32). При этом,

так как S переводит

функции из класса С (D , А) в функции того же класса, то

Fi

(D , А). Можем

построить

второе приближение

F%=

SFU принадлежащее классу С (D, А), и, вообще, мо­

жем построить (р + 1 )-е приближение

FP+l= S F p,

(2.40)

также принадлежащее классу С (D, А).

В

результате получим последовательность функций

F0,F U . . . ,

Fa, . . . .

(2.41)

принадлежащих

классу

С (D, А).

Составим ряд

+

— ^о) +

(^ з — ^і) +

• • •

+

(Fn+i — Fn) + • • •.

Обозначим его

ф, а, е) fx(t, ф, а, е).

F(t,

Из самого определения класса С (D, А) следует, что это

решение является 2

я-периодическим по і, Г-периодиче-

изводными по ф, а г-го порядка (г =

0

, 1 ,...).

Для

доказательства

рассмотрим

последовательность

И

ряд

FV, F[г).............

(2.42)

FV + (F\r) -

F(0r) +

(F{? -

FV) + •

• • .

(2.43)

Из

существования

непрерывных

производных

от

(t, ф, a,

h, е)

по

ф,

a,

h г-го

порядка

(г — 0 , 1 ,...),

а также равномерной сходимости интегралов

СО

J

G{z) X

X

R, {/ + г ;

Дг,Г ';

Л Д

т ' ;

Fp_x(і +

г ;

FP~l:

«а-

dz,

*У>е)

J G(2 ) X

—oo

X

R \ r) { / +

г ;

(t

ф -

г ;

А

& ' ;

e ) ; e )

dz,

§ 2. Д В У П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К И Е М Н О Г О О Б Р А З И Я

109

F p ]—

S=F

pJ }G(z)X

X R\r) {t +

z;

4 r ‘; Pp-\ (t + 2 ; ВІГ 1; а & ' ; e); e}dz.

I F\r) I С Ыъ

и, следовательно,

| F\р — F ^ 1С N0+

N t ~ N2.

Учитывая

неравенства

(2.24),

находим

j t-f _

F\r) I = I SF\r) — SF(0r) I =

J

G (z) [ЯГ’ {t + z;

A ^ 0; F,; e} - R\r) [t +

z; Br/}-

г*.

<

R\r) \t + г; B/ja] Azja; F^ e}J dz