книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

160 ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Я

<t < L/e.

Полученные результаты окончательно можно сформули­

162 ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й

можем записать систему (6.64) в следующей векторной форме:

-^Г = 0 + £ р іи>Р. е)>

(6.66)

(и, р, е).

Система (6 .6 6 ) является системой типа (6.1). Нетрудно видеть, что вектор-функции F (и, р, е), R (и, р, е) обладают свойствами, аналогичными свойствам функций в правой части системы уравнений (6 .1 ).

Следовательно, применяя тот же метод, что и для ис­ следования системы (6 .1 ), можно доказать в достаточно малой окрестности некоторого частного семейства решений соответствующей (6 .6 6 ) вспомогательной системы уравне­ ний существование локального интегрального многообра­ зия St системы (6 .6 6 ):

Отсюда, согласно (6.65) и (6.63), будет следовать существо­ вание локального интегрального многообразия S( исход­ ных уравнений (6.62),

Глава IV

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Настоящая глава посвящена исследованию стационарных режимов некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений.

Исследованы периодические и квазипериодические решения на одиопараметрическом интегральном многообразии уравнений в стан­ дартной форме, а также решения в окрестности этого многообразия.

Аналогичное исследование проведено в случае двупараметрического локального интегрального многообразия уравнений, близких к точно­ интегрирующимся, при этом рассмотрен как нерезонансный, так и резо­ нансный случаи.

Дано приложение метода интегральных многообразий для иссле­ дования стационарных решений некоторой релаксационной системы, а также для исследования квазипериодических решений систем, близких к гамильтоновым.

§ 1. Структура решений на однопараметрическом интегральном многообразии уравнений в стандартной форме

1.Периодические и квазипериодические решения. Рас­

смотрим уравнение в стандартной форме

где*, X — «-векторы, е — малый положительный параметр. Предположим, что для уравнения (1.1) выполняются условия теоремы 2.1 гл. II. Тогда существует однопарамет­ рическое интегральное многообразие St уравнения (1.1),

представимое в виде

На многообразии St исходное уравнение эквивалентно уравнению

(1.3)

является монотонно возрастающей и обладает свойством периодичности «второго рода»

F(Q + 2л) = Д(Ѳ) + 2я.

Поэтому преобразование

можно рассматривать как взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение окружности на себя.

Благодаря соотношениям (1.6) видим, что последо­

Итерации преобразований рассматриваемого здесь типа были предметом исследований А. Пуанкаре [1761 и А. Данжуа [33], в которых было установлено следующее.

1. Существует предел

не зависящий от Ѳ0.

2. Если V иррационально, общее решение итерационного уравнения

где ф — произвольная постоянная. Здесь Е (ср) — непрерыв­ ная, 2я-периодическая функция. Выражение ср + Е (ср) яв­ ляется монотонно возрастающей функцией, не остающейся постоянной ни в каком, сколь угодно малом, интервале.

Любое решение Ѳп при неограниченном возрастании п приближается к одному из таких периодических решений.

Пусть Ѳт будет каким-либо решением рассматриваемого уравнения, исходящим из начального значения Ѳ0, лежащего внутри интервала 0, 2л. Тогда для него можно указать такие ат, ßm

Ѳ(t) = 2пѵп + iß -f- Е (2лѵл + iß) +

+ Ф (t — 10— пТ, tg, 2лvn 4 - iß -j- E (2лvn + iß)). (1.18) Полагая для сокращения

- l + E (ф ) + Ф g, /0, Ф + £ (ф )) - / (s, ф ),

где

2 лѵ

можем написать также

Ѳ(t) = 2яѵ - j j '0 + iß + / (2лѵ (~*Ч ~пТ- , 2яѵя -f- ißj .

(1.19)

Заметим, что введенная функция f (g, ф) непрерывна и обладает по отношению к ф периодом 2 л.

Далее, так как соотношение (1.19) справедливо при лю­ бом п, то

д■2 лѵ, 2 яѵя -f iß -f- 2 лV/

Величина t здесь произвольна. Возьмем

t — tg — nT = —L- и

2 яѵ

и представим тождество (1 .2 0 ) в виде

/ (и — 2 яѵ, 2 лѵп + ф + 2 лѵ) = f (и, 2 лѵп -ф ф). (1 .2 1 )

Поскольку числа 2пѵп образуют на окружности всюду плотное множество, то в силу непрерывности можем от­ сюда заключить, что для всех <р

Построим функцию

f (2nvR (— j , ф — 2лvR (-^ -)) = / (», ф), (i -23)

обладающую периодом 2л по отношению к ф и и. Ясно, что эта функция непрерывна, так как ввиду тождества (1 .2 2 ) свойство непрерывности сохраняется в точках разрыва

R (-£ ) 1781.

Полагая в формуле (1.19)

получим

Ѳ(0 = 2 я ѵ ^ ^ + ф + / ( 2 л - ^ « . ) 2 л ѵ - ^ -- Ь ф ) . (1.24)

Подставляя это выражение в (1.2), убеждаемся, что ре­ шения рассматриваемого основного уравнения (1 .1 ), ле­ жащие на интегральном многообразии St, имеют в данном случае вид

где Ф (ф , ф) — непрерывная функция угловых переменных Ф, ф с периодом 2л.

Итак, рассматриваемые решения, лежащие на много­ образии St, являются квазипериодическими и обладают двумя основными частотами — «внешней» частотой 2я/Г и

«собственной» частотой 2 лѵ/Т.

Перейдем теперь к рассмотрению случая рациональ­

ного V.

Согласно приведенному выше третьему результату Пуан­ каре — Данжуа, на интегральном многообразии St име­ ются периодические решения с периодом sТ.

168 ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К И С С Л Е Д О ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Й

Любое решение, принадлежащее St, приближается к одному из этих периодических решений при t -> оо.

З а м е ч а н и е 1.1. Поскольку частоты рассматрива­ емых периодических решений будут кратными 2njsT, можем представить их линейными комбинациями частот

Таким образом, и в случае рационального значения

числа V стационарные решения уравнения (1 .1 ) (периоди­ ческие решения на многообразии S t) можно формально представить как функции, обладающие двумя основными частотами at и ар.

2. Исследование решений, не лежащих на многообразии.

Перейдем к рассмотрению решений, не лежащих на много­

уравнений в вариациях имеют отрицательные веществен­ ные части.

В этом случае любое решение уравнения (1.1), проходя­ щее при t — / 0 через какую-либо точку области определе­ ния многообразия D0o, приближается при t ->■ со к одному из стационарных решений: к квазипериодическому реше­

нию в случае иррационального ѵ или к периодическому в случае рационального ѵ.

для доказательства этого утверждения достаточно показать, что если какая-либо непрерывная и дифференцируемая функция Ѳ (0 в интервале (t0, оо) удовлетворяет неравен­ ству (1.27), то тогда

В свою очередь, для доказательства этого утверждения достаточно показать, что для любой последовательности

Н. Н. Боголюбовым [78] путем ряда тонких рассужде­ ний, на которых мы здесь останавливаться не будем, для по­ следовательности Ѳя, удовлетворяющей неравенству (1.30), установлено предельное соотношение (1.31).

3. Основная теорема. Резюмируя изложенное выше, приходим к формулировке следующего основного резуль­ тата.

Т е о р е м а 1.1. Пусть для уравнения (1.1) выполня­ ются условия теоремы 2.1 гл. II, стр. 80, и, кроме того, функция X (t, х) является Т-периодической по t равномерно относительно х £ Dao.

Тогда для достаточно малого значения е < е' (е' •< ех< С е0) поведение решений на многообразии S, представимых соотношениями вида

х(і) = Ф(а{, dpt -J- ф),

гдегр = const, а1— -у-----«внешняя» частота, ар = —------

«собственная» частота, Ф (ф, ф) — непрерывная, периоди­ ческая функция ф, ф с периодом 2 я, характеризуется числом ѵ.

Если V иррационально, каждое из решений является квазипериодической функцией t с двумя основными частота­ ми at, Ір.

Если V рационально, на S существуют периодические решения с этими же основными частотами; любое неперио­ дическое решение, лежащее на многообразии S, приближа­ ется при t-*- оо к одному из таких периодических решений.

Пусть в дополнение к указанным условиям все п — 1 соответствующих характеристических показателей имеют отрицательные вещественные части.

Тогда траектория любого решения уравнения (1.1), проходящая в начальный момент времени через какую-либо