книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

§ 2. Д В У П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К И Е М Н О Г О О Б Р А З И Я

111

= Я/t +

7Д (t, ф, a, h, е).

С другой

стороны,

по

определению

операторов

•= В[\и (ф, а, г),

at =

(ф, а, е) имеем

dt

со (fl,) +

Р (t, фь аи Д (t, ф#, at, е), е),

=* <2 (*. Фь «с- М*. Ф/> at, г),

е).

Таким

образом,

ф, = В£<0 (ф, а. е),

а( =

(ф, а, е), ht, =

= /t (/,

ф,,

at,

е) представляют

собой

решение системы

Следовательно, многообразие

определяемое

соотноше­

нием

(2.47)

является интегральным для уравнений (2

.1 2 ).

уравнения

Принимая во внимание, что в области

(2.7)

(2 .1 2 ) эквивалентны уравнениям (2

.6 ), приходим к выводу,

что в этой области Д (Д ф, а, е)

— f

(t, ф, а, е)

и, следова­

== со (а) -)- Pf (t, ф, а, е),

da

(2.48)

= Qf(t, Ф, а, е),

Ч Г

§ 2. Д В У П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К И Е М Н О Г О О Б Р А З И Я , -

U S

(ф, = ф0, а( — а при t — g , где

N — произвольный

фик­

сированный (га — 2

)-вектор.

Для построения решений этой системы уравнений вве­

дем следующую вспомогательную систему:

ht = —

[ G(x — t)R (т, фт, йх, /гХ) e)dx + G (t0— t) N,

t > t 0,

(2.51)t

•^jjp =

«»(а,) + P (t, ф„ at, ht, e),

da,

Q(t> Фо at, ht,

e)

(2'51)*

-5/- =

(ф( = ф0і

at = а

при t — t0),

решение которой

будем

Выберем произвольную функцию / 0

(t, ф, а),

удовлетво­

ряющую в области

R X Й X Ш

(2 .5 2 }

условию Липшица

7о(^, “ф, «) е Lip {^,

А},

(2.53)

|/ 0 (*,ф ,га)|+ К |Л М < О (е) < 6 2,

(2.54)

в

котором

К — постоянная из условия (2.30),и положим

h V, Ф> а, Ю = /о V, Ф, fl) + G (t - g N.

Тогда, согласно неравенствам (2.54) и (2.30), имеем

|/„ (/,ф ,а,Л 0 |< £ > (е )< 02,

(2.55)

|/ 0

( /,ф ',А ',Г ) - /о ( < ,Ф ',в ',^ ') |<

< А (|ф' — ф" I + I а' — а" I) + Ке~аЦ~и) \ N' — N" |.

(2.56)

Рассмотрим уравнения

“2 р

=

® (а) + Р (t, ф, о, /о (t, ф, а, N), е),

=

Q(t, гр, а, / 0 (/, ф, а, N), е).

(2.57)

Согласно свойствам функций Р (t, ф, a, h,

е), Q

(t , ф, а,

h , е), правые части

уравнений (2.57) удовлетворяют усло­

виям теоремы Коши

и, следовательно,

при

заданных на­

чальных условиях решение

уравнений

(2.57) существует

и единственно. Обозначим его

ф/° =

(ф0, а0, N);

а[* = Л&. (ф0, а0, N).

Подставляя в уравнения (2.51)1( (2.51)2 вместо ф,

a,

h соот­

ветственно функции

Bfzj a (ф, a, N), A fz°to (ф, a,

N),

/

0 (t + z;

Bz,t„\

A lw N),

находим значение h в первом приближении

и-<

/і(С

ф, a, N) =т— j

G (г) R(t + z; B h (ф, a, N); Ah (ф, a, N);

о

h V +

г; В[у, Аіу, N); г) dz + G(t0 -

t) N.

(2.58)

d [В[\ (ф', a ', N ') — В[\ (ф', а", N")]

------J------------ - --- !----------------- <

< А, (е, D) (1 +

Д) (I В':, (ф', a', N') ~

В& (ф", а", N")\ +

+ I А& (ф', а', N') -

A h (ф',

a", W»)|} +

+ К(е, D) Ke-a{t~h) \N' — N "\,

d [4«! (ф', a ', N ') -

A h (ф', a",

N")\

--- :--------Jt :

<

< Я (e, D) (1 +

Д) (I B h (Ф', fl', N') -

B h (Ф", а", N") | +

+ 1A h (ф', a', N') -

A h (ф', а", N")\) +

+ Ц г, D)Ke~a{t~ia)\N '— N”\. (2.59)

Из этих неравенств находим

1ВІУ (ф', a', N') -

Bh. (ф', а", /Щ <

< 4

- ( И > ' - ф " | - К - а ', І) +

5 2. Д В У П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К И Е

М Н О Г О О Б Р А З И Я

115

1___________ X ( e , D ) K

, N , _

N „ I ,

,

2Ж е.О )(1+Д )«-<„),

^ — a + к (г, D ) ( l

+ Д ) 1

1 1

'*

(2.60)

I A’X (ф', a’, N') -

А {\ (ф',

а", ЛГ)| <

4 “ (Іа’ — а"\ —

— | ф' — Ф" I) +

(IФ' — Ф"I + Iа' — a"I) ^Ä D )(1+A )« -« +

I___________^ ( е ’ Д ) К _______ I A7' ___ A T " I I p — a l t — to)

,

?.(E,D)(1+A )(( T 0) I

+ - а + Я , ( 8 , 0 ) ( 1 + Д ) І ІѴ

i _ e

/•

Согласно неравенствам

(2.55),

(2.56),

а

также

(2.60),

кое

е' <

е1(

чтобы

для

всех

е < е'

вектор-функция

/і (/, ф, а,

Af, е)

удовлетворяла следующим неравенствам:

IЬ (t, ф, а, N, е)| <

{М (е) +

Я(е, D) D} +

К\ N | <

D (е),

(2.61)

|/і(<, Ф', fl', N \ z ) - h ( t ,

ф", а", ЛГ', B)| < ^ ( 8 , 0)(|ф' — ф'И-

-Н а’ — а" I) +

к г(е, D) e_ct(<_w \N' — Nn|,

(2.62)

где

vx (е, D) -> 0,

/Сі (е, £>)->/(

при

е ->- 0,

D -> 0.

Затем из уравнений

=

(о (а) + Р

(/, ф, а,

(/, ф, а,

в), е),

=

Q(*. Ф, а, М*. Ф. а, tf, е), е),

(2.63)

ф = Ф0,

а — а 0

при

/ = 0,

,

можем найти значения ф5‘, а І

\ соответствующие ft =

/х(/, ф,

а , N , е):

фі‘ =

Мл (Фо- а

а ,

Л/);

aft*=

Л^о(ф0, «о. ^).

(2-64>

116

г л . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я

В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й

при

этом вектор-функция

/ 2 ((, ф, a, N, е)

удовлетворяет

неравенствам типа (2.61),

(2.62).

Нетрудно убедиться в том, что построенная таким спо­

собом последовательность вектор-функций

/„(/, ф, a, N), /у(/, ф,

a, N ,e)..........fn(t, ф,

a, N, е)

типа (2.61), (2.62).

ф, a, N , е) является

Покажем, что вектор-функция / (t,

решением

интегро-дифференциальной системы (2.51)х,

(2.51)2. Раскрыв эти уравнения, получим

to-t

f(t, ф, а, N, е) = — [

G{z)R {t +

г; В[л (ф, а, N)\

О

A{,t(ф, а, М)\ f{t + 2 ; В[/,

АІ,(\ N\ e);

е) dz ~yG(t0 — t)M.

(2.66)

Заменим здесь ф на В[Ла(ф0, а0, М), а — на Л{л (ф0,

а0,

N),

заметив при этом, что

4.П4л(Фо.йо. N)\ 4 ц 0 (Фо. аа, N)] = 4_мл(Фо> а0, N),

|

в ’.і [4л(Ф 0>fl«. Ю; Аі(о(іѵ ао- АО] =

я£+,л(фо. «о. N).

I

(2.67)

Принимая

обозначения

ht =

/(*. ВиЛ%> «о- #); 4 л (Фо, а0, N); N; е),

1

Ч»< =

5 М» (Фо- а0 . ЛО;

А/ = 4 д 0 (Фо, ао. W)

I

и вводя вместо г новую переменную

интегрирования т =

= г +

t,

получаем

t

ht =

j

G(т — f) R (т, фх, йх, hT, e) dx -f- G (t0— t) N, (2.69)

и

(2 .6

Итак, функции ht,

ф,,

at,

определяемые выражением

8 ), представляют собой

решение интегро-дифференци­

альной системы (2.50)!,

(2.50)2,

сводящееся при t = 10 к

N,

ф0, а„.

§ 2. Д В У П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К И Е М Н О Г О О Б Р А З И Я

117

циальной системы (2.50)ь (2.50)2

является решением диф­

ференциальной системы уравнений (2 .6 ).

си­

С другой стороны, пусть ht, ф,, at — любые решения

стемы уравнений (2 .6 ),

для которых при t — t0 ф( =

ф0,

at = а0, ht — h0 £ Uy.

Назовем

такое

решение уравне­

ний (2 .6 ) решением типа ö'.

Покажем, что всякое решение типа б' является решени­

ем интегро-дифференциальной системы

при N = h0. Для

Hh

Hht + R Ѵ>

К е)

(2.70)

=

на G (т — t) и проинтегрировав в пределах от t0 до t,

полу­

чим

t

t

^ G( T — t)

dx =

I G( x — t) Hhxdx -f -

+ j

G(x — t) R(x, фт, ax, hx, e)dx.

(2.71)

/

dh.

t

t

I

I

Г

) G(r — t) ~d%- dx — G(x — i) h

t9

— I G(x — t) Hh (x) dx =

^ 0

t

118 ГЛ. III. М Н О Г О ОБ РА ЗИ Я

В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х

Р Е Ш Е Н И Я

С другой стороны, любое решение, лежащее на интег­

ральном многообразии,

удовлетворяет

такому

условию

|/ (*о. Фо. Яо. 8)| 'C S' и,

следовательно,

является решением

этой системы уравнений при некотором N = АТ.

Поэтому, полагая в неравенстве типа (2.62), справедли­

(2.50)і, (2.50)2, вместо одной из

функций f (t, ф, а, N , е)

функцию / (і, ф, а,

е), получим

I / (/, ф, а, е) — / (t, ф, a, N, е) | <

К (е, D) e~w ~h) \ N ' - N \ .

(2.74)

Заменяя здесь

произвольные

ф, а на

Bftjt (ф0, а0),

M,t0(Фо. flo). принимая при этом

во

внимание

выражения

(2 .6 8 ), получаем окончательно неравенство

!/(*, Ф«, at, в) — Л<|</С(в, D)e

a(t

'о) |Д*0»Фо. «о. е) ~ К\-

(2.75)

dt

<x>(a) — Pf(t, ф, а, е)

ССПе, 6)е~ѵ<(- (‘\

(2.76)

da

Ql (t, Ф, а, е)

< С 2 (е, в)в- * ‘- Ч

dt

4.

Формулировка основного результата. Перенеся свой­

Т е о р е м а

2.1.

Пусть для уравнения (2.1)

выполня­

ются условия 1°—5°,

сформулированные на стр.

100.

Тогда всегда можно указать такие положительные по­

стоянные у, е \

р',

ра (р' < ра < pt; в' < ві),

что при

§ 2. Д В У П А Р А М Е Т Р И Ч Е С К И Е М Н О Г О О Б Р А З И Я

119

уравнениям

== и (а) +

Pf (t, ф, а, е),

- ~ = Q , (t, ф, а, е),

(2.78)

где функции

Р (t, ф, а, f (t, ф, а, е), е),

Pf (t, ф, а, г )~

Qf (i, ф, а, е) =

Q(t, ф, а, f(t, ф, а, в), е),

определены

на

множестве R х Ф х 31 х Ее- и

обладают

свойствами,

аналогичными

свойствам

вектор-функций

Р (t, ф, а, h, е),

Q (t, ф, а, h,

е) в правой

части

уравне­

ний (2 .6 ).

4.

Любое решениеx (f)уравнения (2.1), не лежащее намно-

гообразии S t, начальное значение которого при t — t0 при­

надлежит области DP’ (х £ Dp-, когда h £ U&), притяги­

вается к многообразию по закону

IX (0 -

Ф it, ф, а, е)1 <

С, (г, р') е - ^ ~ и\

(2.79)

dtyt

ö (a,)— Pf(t, rpt, at, e)

< C 2 (8 ,p ') e- M

,

dt

(2.80)

dat

■Qf (t, ф(І au e)

< C S(e, p')

dt