книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

Г л а в а I

ВВЕДЕНИЕ

§ 1. Интегральные многообразия нелинейных дифференциальных уравнений

1, Формулировка проблемы. Многие задачи теории нелинейных колебаний приводят к рассмотрению нелиней­ ных дифференциальных уравнений, содержащих малый па­ раметр.

Исследование таких уравнений значительно облегчает­ ся, если малый параметр входит таким образом, что при его нулевом значении рассматриваемые уравнения допуска­ ют точное интегрирование, а также если с помощью специ­ альных замен переменных исходные нелинейные уравне­ ния могут быть приведены к уравнениям, разрешенным относительно производной, с правыми частями, пропор­ циональными малому параметру,— к стандартной форме, допускающей применение принципа усреднения.

Во многих важных для нелинейной механики случаях усредненные уравнения, а также точно-интегрирующиеся (получающиеся из исходных при е = 0) обладают инвари­ антными многообразиями тороидального типа, и, естест­ венно, возникает вопрос, будут ли находиться в достаточ­ но малой окрестности этих многообразий интегральные многообразия исходных точных уравнений и каковы их свойства.

В связи с этим здесь возникают проблемы, обладающие определенной аналогией с проблемами существования пе­ риодических решений в локальной теории Ляпунова — Пуанкаре. Однако в то время как в теории Ляпунова — Пуанкаре вопрос сводится к исследованию разрешимости системы обыкновенных дифференциальных уравнений с ко­ нечным числом неизвестных, содержащей малый параметр, в теории интегральных многообразий вопрос сводится

к исследованию некоторых функциональных уравнений, определяющих функции, характеризующие многообразие.

Здесь уместно заметить, что построение хотя бы локаль­ ной теории интегральных многообразий, обобщающей ло­ кальную теорию Пуанкаре, может представлять также и самостоятельный интерес. В самом деле, качественное ис­ следование решений значительно упрощается, если эти решения лежат на многообразии меньшего числа измере­ ний, чем первоначальное фазовое пространство, особенно если данное многообразие оказывается одномерным или двумерным.

2. Определение интегрального многообразия. Приведем прежде всего аналитическое определение интегрального многообразия для уравнения

(R — вещественная ось, D — некоторая область простран­ ства Rn, и вектор-функция / (t, Си ..., Cs) непрерывна по t и обладает ограниченными равномерно непрерывными част­ ными производными относительно параметров Сь ..., Cs

в области их изменения), есть s-параметрическое интеграль­ ное многообразие для уравнения (1.1), если выполняются следующие условия:

1) для каждого фиксированного t функция / определяет

справедливого в какой-то момент времени t = t0, вытекает его справедливость для любого t £ R.

Условимся называть интегральное многообразие S t Т-пе­ риодическим (Т — некоторая положительная постоянная),

где X, X — «-векторы, имеет отличное от постоянного перио­ дическое решение

зависящим от одной произвольной постоянной ф. Орбита (1.7) определяет однопараметрическое интегральное много­ образие уравнения (1.5). Обозначим его S0. Это многообра­

зие является одномерным в пространстве Rn.

Очевидно, любые решения уравнения (1.5), имеющие в качестве начальной фазы одно из значений ср, будут принад­ лежать S0. Нетрудно видеть, что х° (ф) — непрерывно-диф­ ференцируемая функция ф. Индивидуальные решения, ле­ жащие на этом многообразии, соответствуют частным реше-

ниям уравнения Йф = ю.

Как видим, в рассматриваемом примере одномерным ин­ тегральным многообразием является гладкий (без пиков и самопересечений) образ отрезка ф, концы которого при отображении х — х° (ф) склеиваются.

б) Рассмотрим пространство Rn X R и уравнение

пространстве (л;, і), проведем через каждую точку 50 реше­ ние уравнения (1.8). В результате получим цилиндр, парал­ лельный оси t, порожденный решениями уравнения (1.8), в основании которого лежит орбита S0.

Любое решение уравнения (1.8) х (t), начальное значение которого X (/0) = х0 принадлежит орбите S0, будет совпа­ дать с одним из решений, порождающих цилиндр 5. Ци­ линдр 5 является двумерным интегральным многообрази­

ем уравнения (1.8) в (х, ^-пространстве Rn X R. Его пара­ метрическое представление имеет вид

S == {(*, t): X = л;°(ф), 0 < ф < 2 я , t £ R).

Нами будут изучены также локальные интегральные многообразия для некоторых классов нелинейных дифферен­ циальных уравнений. Определение локальных интеграль­ ных многообразий отличается от определения интегральных многообразий в смысле Н. Н. Боголюбова тем, что функция / (t, Си ..., Cs) в представлении многообразия S t определе­ на для t £ R и параметров Си •••> Cs, изменяющихся в не­

интервала, содержащего t0.

Геометрически s-параметрическое локальное интеграль­ ное многообразие представляет собой кусок гиперповерх­

ности (обычного интегрального многообразия), обладающий тем свойством, что решения рассматриваемого уравнения могут попасть и выйти из этого куска лишь через его гра­ ницу.

Пр и ме р ы л о к а л ь н ы х и н т е г р а л ь н ы х

мн о г о о б р а з и й

1.Для уравнения (1.5) локальным интегральным много­ образием будет кусок орбиты х° (ф). Вся орбита является обычным интегральным многообразием.

жат области D £ Rs, есть семейство орбит уравнения (1.5).

В пространстве R n это семейство орбит заполняет некото­ рую гиперповерхность, представляющую (s+ ^-параметри­ ческое интегральное многообразие уравнения (1.5). Ог­ раничив область изменения Clt ..., Cs открытой частью области D, мы получим кусок этой гиперповерхности, представляющий локальное ’-нтегральное многообразие уравнения (1.5).

4. Постановка некоторых основных задач в теории ин­ тегральных многообразий. Г. Пусть дано уравнение в стан­ дартной форме

Представляет интерес выяснить, существует ли в неко­ торой окрестности 50 интегральное многообразие S точного

уравнения (1.9)? Будет ли оно обладать свойствами, анало­ гичными свойствам многообразия S0, и при е -> 0 стре­ миться к нему? Каково его аналитическое представление? Какова структура траекторий на многообразии S и ее связь со структурой траекторий на многообразии 50?

2°. Пусть дано некоторое автономное уравнение

где X , X — п-векторы, для которого известно многообразие 50, представимое соотношением

и пусть на уравнение (1.13) воздействуют некоторые возму­ щения, определяемые функциями еХ* (t, х, е). Тогда мы приходим к рассмотрению следующего возмущенного урав­ нения

Как известно, даже малые возмущающие функции могут резко изменить характер фазовых траекторий уравнения (1.13). В то же время при некоторых довольно общих пред­ положениях относительно рассматриваемых уравнений уда­ ется показать, что, если невозмущенное уравнение (1.13) (получающееся из уравнения (1.15) при 8 = 0) обладает интегральным многообразием S0, то в достаточно малой его окрестности будет существовать интегральное многообра­ зие S возмущенного уравнения (1.15), которое при е -> 0 будет стремиться к S0. При этом, если многообразие S0 устойчиво, условно устойчиво или неустойчиво, то много­ образие S также будет соответственно устойчивым, условно устойчивым или неустойчивым.

Таким образом, интегральные многообразия являются образованиями более стабильными по отношению к малым изменениям правых частей уравнений по сравнению с ин­ дивидуальными решениями.

5. Метод интегральных многообразий. В настоящее время существуют различные способы определения инте­ гральных многообразий нелинейных дифференциальных уравнений.

сится к случаю устойчивых интегральных многообразий. Интегральные многообразия позволяют также достаточ­ но полно исследовать окрестности стационарных решений

рассматриваемых уравнений в критических случаях. Обратим внимание еще на одно важное значение метода

интегральных многообразий. Этот метод дает возможность строго обосновать так называемый одночастотный метод в нелинейной механике и значительно расширить область его применения. При этом следует подчеркнуть, что развитие одночастотных методов нелинейной механики имеет большое прикладное значение не только для нелинейных дифферен­ циальных уравнений высокого порядка. Так, например, для исследования системы обыкновенных линейных дифферен­ циальных уравнений с постоянными коэффициентами и размерностью вектора х , равной 10 или 20, мы можем ис­ пользовать обычные методы, но если размерность х высока (порядка 100 или 1000), то мы сталкиваемся с так называемы­ ми размерностными трудностями. В ряде случаев эти труд­ ности преодолимы — первоначальную задачу удается пере­ формулировать так, что она сводится к задаче более низкого порядка.

Основная идея здесь, как и в методе интегральных мно­ гообразий, состоит в сведении процесса высокой размер­ ности к последовательности некоторых процессов более низкой размерности. Эта идея, как известно, является ос­ новной и для динамического программирования.

Идея метода интегральных многообразий в нелинейной механике принадлежит Н. Н. Боголюбову и была сформу­ лирована им в 1945 году в монографии «О некоторых ста­ тистических методах в математической физике». Однако в этой монографии была рассмотрена только частная проб­ лема о свойствах решений дифференциальных уравнений в стандартной форме на бесконечном временном интерва­ ле. Вместе с тем идеи и методы доказательства теорем оказались очень эффективными и гибкими и нашли при­ менение для исследования достаточно широкого класса проблем.

Уже в 1947 году получила развитие идея рассмотрения, вместо конкретного решения системы дифференциальных уравнений, некоторого двупараметрического семейства ре­ шений, лежащего на двумерном интегральном многообра-