книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

220 г л . IV. П Р И М Е Н Е Н И Е к ИСС Л ЕД О ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Й

4°. Все корни характеристического уравнения

\Іпг — еР’г(7°)\ = 0

(5 .9

3 )

имеют отрицательные вещественные части.

малые

Тогда всегда можно указать такие достаточно

положительные постоянные е \ аи что для всех 0

<

е <

г'

= X (х) + еУ (/, х),

(1.1)

* = 0 (Х(0) =

0,

Х х (0)¥=0).

(1.3)

Вектор-функции X (х), У (t,

х)

определены и непрерывны

в

области

R

X D X ЕВо (D cz R n), 2л-периодические по t.

В

области

R X DPo X ЕЁ0,

где DPo— р0-окрестность точ­

ки

X = О,

Y

(t , х) обладает

ограниченной и

равномер­

ка, а

X (х) — до третьего порядка

включительно.

Представим исходное уравнение (1.1) в виде

dx

—

Ах ф-Хг (t, X, е), (1.4)

— Ах ф- {-X (х) -j- еУ (/, X)) =

где М (е, а 2, ß2, ... , о2, б2)-» О при е -> 0, а

0, ß -> О,...

..., о —>■0,

б ->- 0.

0.

В частности, неравенства (1.12) выполняются при h =

Из (1.11) устанавливаем также соотношения

Е, Л. • ■• * £,

К

е), R ( t,l,r \.........

£, h, е)) £

GLip{g,Ti,

... , S. А;

4 e , a 2,ß 2.........

ст2,б 2)},

(1.13)

где

X (е,

а2, ß2,

... ,

а2,

б2) -> 0 при

е -> 0, а -> 0, ß ->

0,

... , о -> 0,

б -> 0 (а <

av

ß <

ßlt

... , а <

аѵ б <

б^.

Действительно,

согласно

свойствам

функции &Y (t,

х)

имеем

{ е ^ }

(t, I ,

л

..............£ , h ) ;

E R 1

(t,

£,

т]................

£ ,

h ) }

6

€ Lip {£, л,

..■ , С, А; Д(е)},

(1.14)

где

А (е) -> 0 при

е -> 0

(/ =

1.......

k).

Рассмотрим функции #>/(£,

л. ••• . £,

А)

(/ =

1, ... ,

/г),

Я0 (£, Л.......

С. А).

Обозначим

Рі/і (а2, ß2, . .. , а2, б2) =

=■

sup

(і, Л>

• • •

. £,

A) I,

(|5 |< а . |T)|<ß____ _ | S l < c r , I A | < 6 }

Я-Лі(а2, ß2.........

СГ2, б2) =

= .

sup

Л.........

£, A)|,

{|£ |< а , |TiJ<ß..........

IS|<a,

|Л К б}

я-д («2, ß2.

• • •. ff2,

S2) =

Л , A)|,

=

E

sup

|£I<CT, |A|<6}

l^/t(5. Л-----

{|If«x, |4|<ß........

V

(а2, ß2,

• • •

, ff2, ß2) =

(|S i< a , in K ß , . . ? .|£ |< о . Iftl< 6 }

^

ih

‘

^

^

(1.

5)

В силу свойств функции X (л:) следует, что &%, ^°ПІ, ...

...,

являются непрерывными функциями своих аргу­

ментов. Следовательно, Хц (а2, ß2, ... ,

а2, б2) ->0, Хіп

(а2,

ß2.......

ff2,

б2) -> 0.......

Ь/с (а2, ß2, ... ,

а2,

б2) -> 0,

Xih

(а2,

... , а2, 62)-> 0 при

е-ѵО, а -> 0 , ß->0,

... , а-> 0, б О*).

Если алгебраическая кратность а,- каждого собственного

значения Xt (j = I,

2,... , к) матрицы А

равна 1, или алге­

Л - — t(o11

(t , £, т), •

• •

, S. h,

e),

d t

dr\

^2 (*, £> Л. • • •

, S, A, e),

ИГ- = «Ч1! +

( 1.20)

d t

•. ,£ ,M ).

H h

-f- R (t,

г], .. • >£А

e),

d t

£, h,

в которых

функции

5s/ (/,

£, ri,...,

е)

( /= 1 ,...,£ ) ,

R (t, g, т],

... , £, Tj, е)

обладают

свойствами, аналогич­

*) В дальнейшем функцию f (t, £, г|......

£, h, е), обладающую ука-

аанными свойствами, будем полагать принадлежащей классу

(/2Я; Л4(е, a 2,ß 2 ------ --

а3,

) |л=0;

% (в, а 2, ß2, -------а2, б2)(5|

^

Х( ft)).

dt

+ Q(/, i, Г, h,&),

(2. 1)

J L

= H h + R (t, l,

h, e),

d t

где функции

(/,

£*, ft, e,), Q ((. £> 5*. A, e),

((, g, g*. А, e)

опре­

делены в области

U K « « .

I 6*1<

Po.

IAI <

öo.

e£E8i

'€ *>

и принадлежат в этой области классу

(/2Я;

М ( в , а \ ßa) |A=0;

Me, «2, ßa, öa)(S>.

(2.3)

Сформулируем

и докажем ряд утверждений

о

существовании и

свойствах двупараметрического локального интегрального многооб­

разия

уравнений

(2 .1).

1.

Доказательство существования

и единственности дву­

параметрического локального

интегрального

многообразия.

Справедлива следующая

лемма.

Л е м м а

2.1. Пусть функции в правой части уравне­

ний

(2.1) обладают сформулированными выше свойствами.

Тогда всегда можно указать такое положительное е, ( е ^

< Е0), что для

каждого положительного е < ех уравнения

(2.1)

обладают двупараметрическим локальным интеграль­

ным

многообразием ЗЛ()

представимым

соотношением

(2.4)

в котором вектор-функция /

(/,

£,

£*,

е) определена в об­

ласти

t£R, IÉI <

«і.

U * K ß i,

e(EEei)

(2.5)

где D (г) -> О, А (е,

а 2, ß2) -> 0 при е

0,

а -> О,

ß -> О

(а < a lt ß < ßi).

при

доказательстве

Д о к а з а т е л ь с т в о . Как и

леммы 2.1 гл. Ill,

расширим область определения

функ­

следующую

систему

уравнений:

- § - = і ^

+ ѴЛІ, g ,r ,

ft, 8),

= ~

ivl* +

Ql (t, I

Г, h, e), }

(2.7)

-§ - = Hh + R1(t, 1,1*, ft, e),

в

которой

функции

^

(t,

l, £*,

ft, e),

Qi (f, |, £*,

ft,

e),

^ i

І, I*, ft, e) определены в

области

t £ R ,

E ,r e Z , |f t|< 6 0, eGEei,

(2.8)

где Z — расширение локальной области

изменения

|,

Е*

для t £ R,

обладают в области

(2.8) теми же свойствами,

что и функции S5 (/, I, I*, ft, е),

Q (t, Е,

ft, е), /? (Д Е.

Е*, ft, е) в области (2.2), и в области (2.2) совпадают с

ними.

Определим теперь

матрицу G (О следующим образом:

0(0 =

О,

t > 0 ,

е~ш, / < О,

~ = — HG = — GH

(2 9>

с условиями

G(— 0) =

/, G (+ 0) =

0

и для

нее будет выполняться неравенство

\ G ( 0 \ < K e - ^ ,

(2.10>

где

К,

у — положительные постоянные.

D,

А и

Фиксируем теперь

положительные

числа

рассмотрим класс С (D,

А) функций

*)

F (t,

£,

Е*),

так

*) Для простоты записи

зависимость функций

F от е как

здесь,

и в дальнейшем указывать

не будем.