книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

1M l u (So So —

M -lu (So. So) I *= I % — S< К

{ i r o - s ; i - i i o - S o i } + 4 - { H o - S o ( +

+

I lo — Sol} е2[^ 1+ д)+(0^121+

со

S ,!.!* (f)= j

G W R ^t + z-, Lb(l,t*y,

—00

\Z.Zl )

I ^/,1,1* (^) —

(^7) I

< I F — F\\

(/СЯ (е, a 2, ß2)

KW (8, a 2,

ß2)

Я (e, a 2, ß2) ( l +

Д ) + to X

OQ

X j"

exp {— y\z\)dz-\- КЪ (г, а 2, ß2)(l

+

Д) х

о о

X

j

exp {— ѵ |г| +

2[Я,(е, а 2, ß2)(l

+ А) +

со] |г|}

х

ß2) (1 +

А)’|| F — F\\

X

X(е, а 2, ß2)(l

+

Д) + w

X

\

ехр {— Y\z\

і- [2Я/(е, а 2, ß2)(l

+ А) +■ ю]|г|} dz.

(2.23)

Выберем теперь в неравенствах (2.22) и

(2.23) D

и А

как функции параметров е, а, ß: D =

D (е,

а 2,

ß2),

А =

=

А (е, а2, ß2),

таким образом, чтобы D (е,

а 2,

ß2)

-> О,

А (г,

а 2, ß2) -> 0

при

е -> О,

а -> О,

ß -> О

и чтобы для

всех положительных е < ех <

е0 и а <

“ і <

а 0; ß <

ßx •<

<

ßo выполнялись неравенства

4К к (е, а 2, ß2)

)

[Я, (е, а 2, ß2)(l

+

А) -[- со] <

;

<

1;

V

4/СХ(е, а 2, ß2) ( l + А )

д.

а 2, ß2) + Я.(е, а 2, ß2) D2} <

D.

Такой подбор D и А всегда возможен,

(2.24)

поскольку AI (е, а 2,

ß2) -> О, Я, (е, а 2, ß2)

0 при е -> 0, а -> 0, ß -*■ 0.

В результате неравенства (2.22) и (2.23) окончательно

можем записать

в

виде

I StXi* (F) I C D (e,

а 2, ß2),

(2.25)

<Д (8, а 2, ßa) ( |i

— g| + |i* — 5*1) + - J -

I? — /7!.

(2.26)

где D (e, а 2, ß2) -> О,

А (e, а 2,

ß2)

0

при

s — 0, а -> 0,

ß -> 0 .

В частности, когда F = F, имеем

I

№ '

■S t X f {F) I < А (е, а 2, ß2)

( I ! — SI + I і* — Е* | ).

(2.27)

Таким образом, видим, что при 0 < е -< еъ а С

с

а 0,

ß •< Pi •< ßo преобразование

S переводит

функции

F

из

класса С (D , А) в функции того же класса.

При I = I, g* = I*

из неравенства

(2.26) получаем

IISF — 5 F I

[I F

F II, где |f! =

su p |/|.

(2.28)

F = SF

(2.29)

в классе функций С (D, А). Введем обозначение

F = h it, ІЛ*,

*)■

(2.30)

По самому определению f1 (t, |,

g*, е) видим,

что оно

принадлежит классу С (D , А).

Не представляет затруднений показать, что

It = U L ,„ и ц , Г); 6? = м Ь м і

Г ); а „

= / , ( * ,

g„

& e)

(2.31)

представляют решения уравнений

(2.7),

сводящиеся

при

Аі = М*. É, Г. в),

(2.33)

h [t + г; U\t il, Г,

e); М[\, Ц, g*. e), e];

e} dz.

(2.34)

Заменим

здесь I

на

fl

I* — на M'ti

на

L‘

t—tn и заметим, что

имеет место тождественно

U'to iU —l ta,t„',

Mt'—t0,t0)

= U+t~t„,tal

(L/L<0><0;

M!tLt0,ta) =

Ь =

ti-u,u (Е, Е*.

8).

1* = м Ь „ л (Е, Е*. е),

1

h u

=

fl {t,

L L U,U (E, r .

e); M l/,

(E, Г, е); в},

f (

Тогда

из

(2.34) получим

оо

hu = j

G(x — t)Ri { i , l %Xz ,h u, e ) d x =

— О о

t

=

I

G(x — t) /?і (т, gT, g*, Au, e) dx +

+

J G (T -

0 /?! (T, Ex, i ;

hlx, e) dx.

(2.36)

t

^ и _ = Hhu + Ri {tf 6*t hut e).

(2 37)

в которых функции

(t, |, |*. f (t, |,

|*, е),

е),

Qf (t, |, |*.

/ (Л £, I*» е)> е) определены в области

*€Я,151<«1. І Г К Р і,

е€Ее,

(2.40)

З а м е ч а н и е

2.1. Если функции в правой части

уравнений (2.1) обладают ограниченными и равномерно­

непрерывными частными производными по |,

|*, h до

г-го порядка (г = 0,

1,...), то функция / (/, |,

|*, е) также

будет обладать ограниченными и равномерно-непрерывны­

ми частными производными по |,

|* до r-го порядка (г —

= 0, 1,...). Это свойство доказывается по аналогии с лем­

мой 2.1, гл. III.

устойчивости

локального

интегрального

2.

Свойство

t0 и любых |о, |о, для которых выполняются

условия

ІІ0 І< « 2. |Й < Р »

(2-41)

< V (е, а®, ß®)е-т(і-<о) jft"— f

(t0, |0, |*,

e) |,

(2.42)

в котором Io,

|o, ho

представляют

| #,

|*,

ftf

при

t — tQ;

/if — любое

решение

уравнений

(2.1),

не

принадлежащее

интегральному многообразию Щ ,

и ѵ

(е, а2, ß2) —

положи­

тельная

постоянная,

зависящая

от параметров е, а и ß

(е < е \

а <

а 2, ß <

ß2).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим

интегро-диффе-

ренциальную систему

ht «

f в"«-" R (X, gx,

A„ e) dx +

t > t0,

=

/соIt +

(t, &,

ht, e),

- § - =

- f <

+ Q(<. іо Г Л .е ) .

(2.43)

/о—f

ht = -

J в"*/? (/ + г; lt,

ht, г) dz +е«<‘- 4 4 , t > f„,

(2.44)

\t — io .

r<

=

S5

П Р И

*==<<>•

В ы б е р

е м

п

р о и з

в о л

ь

н у ю

ф у н к ц и ю

J 0 ( t , 5,

5*> *)* У Д о в -

л е т в о р я ю щ у ю

у с л о в и ю

Л и п ш и ц а :

/„(*,£, г ,

в) G Lip {g,

А},

(2.45)

М * .І.і* .е) + * И і '< 0 ( е ) < 0 8,

(2.46)

где К — постоянная

из

условия (2.10).

Положив

/0(t, 6, Г, А,

г) =

/0 (/, I, %*, е) + е " < ‘г - * ) А ,

(2.47)

получим,

согласно

(2.46),

IM * .É .É * .4 e )l< ö (e )< 6 „

І/(*,Г. r U

', e ) - / ( / ,

|М*'И",8) |<

<

А (IZ -

Г I

+

I Г -

Г

|)K+ e - w - ы I А ' -

А " |-

Рассмотрим

уравнения

/о

І.

Е),

(2.48)

HZ* =

ш і + V (t, g,

Г .

(*,

Г .

а , г),

(2.49)

Л -

y t =

~

fog* + Q (t, g, Г ,

Г . А,

г),

г).

Согласно свойствам функций/оФ(*,(t,£,g, g*, h,

г),

Q (i, g,

g*, h, e), нетрудно видеть, что

для

уравнений

(2.49)

вы­

полняются условия

теоремы

Коши

и, следовательно,

эти

единственным

решением, которое обозначим

Ь =

Lb. (6, Г. А),

Ь =

м \ \ (g, g°, А).

(2.50)

Подставляя

значения

g„

gj,

/„ (/, g,, gj,

Л,

е) в урав­

нения (2.44), получаем в первом

приближении

Ь Ѵ , 1 ? , А , г ) =

=

- to-t Je"-7? (t +

г;

(g, g*. А); М& (g, g*. А);

о

м[у, Л; е))dz + е"«*-«Л.

f0( t + z ; L&;

(2.51)

Воспользовавшись

свойствами

функций

f/5 (f, g,

g*,

h , е), Q (*, g, g*, h, e), Я (i, g,

g*,

h, e), после ряда выкла­

док нетрудно установить следующие неравенства:

£*. А, е )|< —

(УИ(е, а 2, ß2) + К (е, а 2, ß2)D ) +

+ /С |Л |< £ » (8, а 2, ß2),

(2.52)

|/і(/, Г. Г', А', е) - М * , g\ g*\ Л", е ) |<

< ^ ( е , а 2, ß * )( |g '- g '| + |6*' - Г '| ) +

+

Кг (е, а 2, ß2) <r-w.-o | Л' -

Л"

(2.53)

где Vj (е, а2, ß2) ->■ 0, Кі (е, а 2, ß2) -> К при

е

0, а

-►0,

ß -> 0 .

hit, g, g*. А,

в) =

tn—t

=

-

.[

e"*R(t + г; Lfz\t (g, g*, А);

м{\((g, g*. A);

0

h (t +

г;

Lilt-

Miy, A, e); e) dz +

A,

(2.54)

где g, = Lilt, It

=

M!z,t — решения уравнений

=

ІСОІ +

& it, g, g*, h it, g, r , A, 8),

8),

(2.55)

=

-

ш Г + Qit, Б, r . fi it, Б, Г, A,

e), e).

уравнений

(2.1).

решение дифференци­

Назовем решением типа 62 любое

альной системы (2.1) gt, g’, h„ для которого

Б=

Бо.

Г =

С

К € и іш (б2 <

6Х) при t =

t0,

I =

it,

г =

б;,

fh е и 6, (63 <

ба) при t >

t0.

ной системы (2.43),

вместо

одной из функций / (і, £, £*,

А, е) функцию f(t,

£, £*,

е), представляющую решение

=

А', получим

I/(/,

1,1*, е ) - / ( / , I

Г, А, в ) |<

</С (8, а 2, р>-ѵ<*-(о>|Л — Л'|._

(2.57)

З а м е н я я

в

э т о м

н е р а в е н с т в е

п р о и з в о л ь н ы е

g,

н а

L/,f0

(|> I*,

е)

и

Л 4 ^ 0 (I, £*, е) ,

п р и н и м а я в о в н и м а н и е , ч т о

/

(*;

(I. I*,

е);

Г» е); в) = А,, получаем

окон­

чательно неравенство

\f(t,

l t , l l

е ) - А ,|<

<

К (е, а 2, ß2) e-v<‘- ‘o>| f (/„, £0, & e) -

A01,

(2.58)

(2.1),

для которых \ht \ < 62. При этом

следует помнить,

что неравенство (2.58) справедливо до тех

значений t, пока

II/ I <

а2> ||/ I < р2-

& ( t , Ь ,

І І

f ( t , I ,

t l

г), e) =

V>f (t,

Ь ,

г),

Q (t, It,

b\

f (t. It,

It,

e), e) -

Qt (/,

I,, l l

e).

db

т ^ — Ф, (t, &*, e)

< C i(e, a 2, ß2) ц-чЧ-и)'

dt

dl)

+

Qi (t, £f, I M e)

< C 2(e, a2, ß2)e -v«-<.)(

dt

(2.60)

3.

Теорема об

интегральном

многообразии

исходно­

го уравнения. Возвращаясь к исходному уравнению (1.1),

можем

сформулировать

следующую теорему.

Т е о р е м а

2.1. Пусть относительно уравнения (1.1)

выполняются условия, приведенные на стр. 221—222.

Тогда всегда можно указать такие положительные посто­

янные у, elt e'; аг, a 2; ßlf

ß2; px, p2 (e' <

ex < e0, a 2 <

аг <

C a 0; ß2 <1 ßi •< ß0; p2 -< p, -< Po), что для любого положи­

тельного 6 < е'

справедливы следующие утверждения.

1.

Уравнение (1.1) имеет двупараметрическое локальное

интегральное многообразие

S t,

лежащее

в области DPi,

параметрическое

представление

которого

имеет вид

х= Ф

(2-61)

где вектор-функция Ф (t, |,

|*,

е) определена в области

t £ R ,

П К « ! ,

i r i < ß i .

eGEe„

(2.62)

|Ф(/,6,5*. 8 ) |< ß ( e ,a 2, ß2),

(2.63)