книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

L ( дф

,

(ЭФ -

т { ж § + ж - І ) ’

4 - ( ф + ф)

2

\ <Эф S + -Щ- 8

1

/ д &

. ,

д Ѳ т \

т ( ж h + Ж

2 \ дф

h + - W h}'

Ä) ’

4 - ( ѳ + ®)

(6.19)

отличен от нуля при g =

0, /г — 0 для

всех

а £ 2t. Тогда,

ные 6г и рі,

чтобы при |g | <

6lt

I h \ <C p!

было -^-ІФ^ +

-f- Ф^| <

A,

- ~ \ Qh -f- Ѳ/іI <

а

и, следовательно,

чтобы

X и у не выходили из областей своего определения (6.6).

Разрешая

систему (6.18)

в

области

U

X Q X 2f X U 6 lP l X Ее„

(Le= f0, U е])

(6.20)

относительно

величин

- ^ - - « ( а ) ,

Н1(а) g,

еЯ2(а)М 6.21)

d\J)

— co (et) -f- P (t, ф, a, g, h, e),

dt

da

=

Q (t, ф, a, g, h, e),

dt

dg

=

Bi (ä) g + G (t, ф, a, g, h, e)

(g = gi,

• • • >gnf>

dt

dh

=

etf2 (a)h-\-R (t, ф, а, g, h, e)

'S1 II cf*

• >^m)-

~1F

(6.22)

Из свойств функций в правой части исходных уравне­

ний

(6.1) вытекает, что функции Р

g, Н,г), Q (t, ф,

Lg X ß X 2t X U6l X UPl X Ee„

(6.23)

и принадлежат в этой области классу

М (б) |й=о; g=o! L (б, р, е)(^аіёіЛ));

(6.24)

для каждого а £ 31 спектры матриц Нх (а), Н2 (а)

не пере­

секаются с мнимой осью и расположены слева от нее и,

кроме

того,

со (а) = Lip {а; С).

(6.25)

З а м е ч а н и е

6.1. Не представляет затруднений про­

извести приведение к специальному виду также в случае,

когда система уравнений (6.3) обладает ^-параметрическим

семействам периодических решений (k <; п).

3.

Локальное интегральное многообразие. В предполо­

жении, что правые части уравнений (6.22) обладают ука­

занными выше свойствами, можно установить справедли­

вость

следующей

леммы.

Л е м м а 6.1.

Можно указать такое положительное

g = q>(t, яр, а, е), Іг = / (t, яр, а, е),

(6.26)

Le X й X 2Г X Ее„

(6.27)

непрерывны,

2л-периодические

по яр, удовлетворяют нера­

венствам

D* (е),

(6.28)

I cp (t, яр, а, е) I < D (г), | / (t, яр, а, е) | <

где D (е) ->

О, D* (г) -> 0 при е -> 0 и условию Липшица

1ср (/, яр', а', е)—ф (t, яр", а", е)| < Д

(е) (| яр' —яр" | +

W — а" |),

1

I / (t, яр', а', б ) — / (t, яр", а", е )|< Д*(е) (| яр'—яр"| -f |а' —а"\)

J

(6.29)

с константами Липшица А (е)

О, А* (е) -> 0 при в -> 0.

Кроме того, если функции Р (t, яр, а,

g,

h,

в),

Q (t,

яр,

а, g, h, в),

G (t, яр, а, g, h, в), R (і, яр, а,

g,

h,

в) являются

достаточно

гладкими функциями своих

аргументов, то

§ 6. СИ С ТЕ МЫ У Р А В Н Е Н И Й ,

О П И С Ы В А Ю Щ И Е Д В И Ж Е Н И Я

153

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Метод доказательства

лем­

мы 6.1, как и в § 2 гл. II, состоит в следующем. Вводим в

рассмотрение некоторые

классы Сп (D, А) и Cm_2 (D*,A*)

функций F (t, ф, а, е), и

F* (t, ф, а, е), непрерывных, пе­

рассмотрение преобразование

Sw.a (F, F*) = (S $,e (F, F*); S ^ , a(F, F*)),

(6.31)

которое переводит функции F

и F* из класса Сп (D, А) X

X С„ , _ 2 (D*, А*) в функции SF, SK*.

Преобразования

5 (І) и S(2) выбираются таким

образом,

чтобы их

правые

Далее рассматриваем уравнения

F = SF, F* = SF* (5 = (5(1), 5 (2)))

(6.32)

g = q>(t, ф, а, в), h = f(t, ф, а, е).

(6.33)

Преобразования

S(1)

и 6'(2)

имеют

следующий

вид:

со

( F ,

F * ) =

j

I

(2)G 1 {t + 2>'

а ѵ

F

\ (t + г;

o2;

Ф2;

e);

F2(t + z-,

аг;

ф2;

e);

e} dz,

(6.34)

CO

sj?!,0 (F, F*) =

j

J (г) R1 {t + z;

аг\

ф2; ^

(t +

z;

az;

фг;

e);

F2(t + z;

a2;

ф2;

e);

e} dz,

Le X Q X 2t X Е8о,

(6.35)

вводим в преобразовании (6.34) функции G±(t, ф,

а,

F,

F*, е), Rx (t, ф, а, F, F*, е), определенные

в расширенной

области

t £ R ,

а£Ш,

е£ Ее„.

(6.36)

Тем самым мы вместо системы уравнений (6.22) вводим

в рассмотрение систему уравнений вида:

4 г

“ і (а) +

(*»

а>ё> h>е).

=

Qi У, ф, а, g,

h, e),

(6.37)

=

Ha (a) g +

Gi (*, Ф> «> g, h. £).

Hh

=

(а) Ä +

/?i (/, Ф, а, g, h, e),

- ß -

где функции

coj (а),

Н3 (а),

Я4 (а),

(L

ф,

а, g,

h,

е),

Qi (L ф, а, g,

h,

г), Gt

(/, ф, а,

g, h,

e),

/?! (/, ф,

а, g,

h,

e),

определены в расширенной области

f € Я,

в € Я, Ф € ß,

g €

e„

Ä 6 t/Pl,

e € ESo,

(6.38)

§ 6. СИСТЕМЫ

У Р А В Н Е Н И Й , О П И С Ы В А Ю Щ И Е Д В И Ж Е Н И Я 155

R (/, г|з, а, g,

h, е) в области (6.35), и в области (6.35) совпа­

дают с ними.

Матрицы / (t), J (і) определяются следующим образом:

/(/)

=

0,

J (0 = 0,

f > 0 , \

Ht) =

e ~ H*la)t,

J(t) = e- eH'{a)t,

t <

0 , j

(6,39)

где H3 (а),

# 4 (а) — соответственно

ln X

n]-

и Im X

X (m — 2) 1-матрицы, спектры которых

для

всех

рассма­

расположены слева

от

нее.

Нетрудно проверить, что матрицы I (t), J (t) удовлет­

воряют

уравнениям

4 г = — eHt (a)J(0 = — eJ (t) Ні (а),

(6.40)

а также

условиям разрыва

I (

0)

/ (+

0) =

/„,

1

J (

0)

J (-J- 0) == ІЩ-.2,

I

{

1)

где /„,

Іт ~ 2

— единичные

матрицы

соответствующих

размерностей.

В силу свойств спектров матриц Н3 (а), Н4 (а) справед­

ливы следующие неравенства:

|/ ( 0 |< Я

1с -11', \J ( t) \< K 2e - ^ [t с

[°, - j

где Кі,

Кг, 11> 7 — некоторые положительные постоянные.

Замечая, что эта лемма доказывается тем же методом,

что и лемма 2.1, укажем лишь оценки для

|3 (/фа (F, F *)|,

F*) I

и

\S?X',a’ (F',

F * ' ) - S ^ ( F " ,

F*") |,

S ^ ',0 ' (F', F*') — 5^» о» (F", F*") |,

которые позволяют

при­

Имеем

I S{!la(F, F*) I <

[М (г) + а, (в, D, D*) (D + D*)}, (6.43)

§ 6. СИСТЕ МЫ У Р А В Н Е Н И Й , О П И С Ы В А Ю Щ И Е

Д В И Ж Е Н И Я 157

Выберем теперь D, D*, А, А* как

функции параметров

е таким образом, чтобы при е

0 они стремились к нулю

и чтобы для всех е, меньших

некоторого е, (et <

е0), вы'-

полнялись неравенства:

{М (е) +

К(е, D, D*) (D +

D*)} <

D,

(6.47)

-^2- [М (е) +

%(е, D, D*) (D +

D*)} <

D*,

2[C+ 'k(E,D,D*)(\+ ^+^*))<^-

(<-f-

(6.48)

^ Â ( s ,D ,D * ) ( l + A +

A*)<A,

(6.49)

е7

D*)(l + Д +А *)<А *,

(6.50)

*ZL-X(S,D ,D * ) < 1,

k (e, D, £>*) < 1.

(6.51)

ч

ьг

1S&a (F\ F*') -

S\%,a (F", F*") IJ <

\ ( IF -

F" 1+

- н Г ' - Р " ! ) ,

■(6.53)

ISjXa (F, F*') -

S $ ,e(F", F*") II <

4 - (1F' -

^11 +

F = Фі (t, ф, а, е), F* = Д (f, ф, а, е),

(6.54)

нений (6.22) в области

(6.23).

С л е д с т в и е 6.1.

На интегральном многообразии

158

ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И

П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х

Р Е Ш Е Н И Й

где

функции

P^f (t, op, а,

е)

=

Р (t,

op, а,

ср

(t,

op,

а, е),

/ (t,

op, а, е ),

е ), Qv,f (t, al),

а,

е)

= Q (t, лр, а,

cp

(t, ар,

а, е),

f (t, ар, а, г), е) определены в области

t £ Le,

ар £ Q, а

£ 2Г,

« £ Ее,, непрерывны, 2п-периодические

not и

по

ар. Кроме

того, если функции Р (t, ар, a, g,

h, е),

Q (t, ар, a, g, h, е) яв­

g = ф (t, op, а, г),

h — 'f(t, ар, а, г),

(6.55)

где ф, / — комплексно сопряжены с ф, /.

многообразий

С л е д с т в и е 6.2. Из

существования

ЯК,, ЯК, для системы (6.22),

определяемых соотношениями

х =

I

—

_

1

~ { Ф (ар, а) ф (t, ар, а, е) -+- Ф (ар, а) ф (/, ар, а, е)} =з

= Fx(t, ар,

а, г),

у =

г/° (ар, а) -J—

{Ѳ(ар, а) f (t, ар, а, е) +

+

ѳ (Ф, а)7 (t, ф, а, е)} =

F%(t, ар, а,

е), /

t £ Lg,

ар £ О, а £ 21, е £ Ееі, непрерывные, 2л-периоди­

ческие

по t, ар.

Свойство притяжения локальным интегральным много­

gft

— ф {t, фь at, e) I < Cj (e)

| go —

— ф(*о>

öo>e)l,

(6.57)

I hi

— f (t, ф,, at, e)| < C 2 (e)

] ho —

~ f i L Ѣ .

«о. e)|,

где фо, a0 представляют собой ф,, at при

t — t0; gf/ , hf/ —

решения системы (6.22), не лежащие

на многообразии.

Эта лемма доказывается тем же методом, что и лем­

не

будем.

З а м е ч а н и е 6.2. Из леммы 6.2 по аналогии с § 2

гл.

II вытекает единственность

многообразий Ж, (Ж,*).

С помощью леммы 6.2 легко

установить свойство при­

+

< А 2, -jjj- I Ѳ/г ѲЛ j C G2