Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

22.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 5210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

90 ГЛ. Ш . МНОГООБРАЗИЯ ВБЛИЗИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ

Предположим, что невозмущеиное уравнение

= X (т, х), г = const

(1.28)

обладает устойчивым однопараметрическим семейством пе риодических решений

- X = х° (т, (at + ф)

( х ° (т>ф + 2л) = х° (т, г(?)) (1.29)

и X (т, х), Y (т, Ѳ, X, е) — аналитические функции х, е в области Dp0 X Ее„. По аналогии с изложенным выше, пред ставив общее решение уравнения (1.28) в виде

			t		t	dz
			\|Я,(т)Л			dz
X =		/(т, (at +	cp, CLe°	,	, С„_іе°	),	(1.30)
посредством замены
			X = / (т, ф, /г1( .. . ,				(1.31)
приведем исходное уравнение (1.27) к виду
“ЗР	=	® (т) + гР (т, Ѳ, ф, Нъ		. . . ,	А„_і),
—	=	Л (т) h +	еЯ (т, 0, ф, hu . . .		, /г„_і) (h =	hb . . . , /г„_і),
							(1.32)

где скалярная функция Я (т, Ѳ, ф, hu ..., Л„_і) и (я — 1)- мерная вектор-функция Я (т, Ѳ, ф, й1( ..., й,г_і) определены в области

Ls X Ѳ X Q X Uèo X EEO

(1.33)

Я £ (0, L/e], (0, L/e] = L£, І7б0— б0-окрестность точки h — = 0), 2тс-периодические по Ѳ, ф и аналитические относитель


но h, я; А (т) — диагональная матрица, элементами				кото
рой являются	характеристические		показатели	(т), ...
..., 7, 1 _ 1 (т) с отрицательными вещественными частями.
В случае, когда для уравнения (1.28) известно двупара
метрическое семейство периодических			решений
X = х° (т, а, cat +	ф)	(х°(х, а, ф + 2я) = х° (т, а, ф)),		(1.34)

зависящее от двух произвольных постоянных а, ф и о т т как от параметра (причем со в общем случае является функцией а и зависит от параметра т), при допущениях, аналогичных

§ 1. П Р И В Е Д Е Н И Е К С П Е Ц И А Л Ь Н О М У В И Д У 'I

тем, которые были сделаны в рассмотренных выше случаях, приходим к следующей системе уравнений относительно но


вых переменных ф, а, hlt ..., hn- 2 -
	® (т, а) + еР (т , Ѳ, ф, а,			h,	е),
-jjf- — eQ(r,			Ѳ, tjj, а, h, е),			(1.35)
	= Л (т,		а) h -f- ER (т, 0 , ф,	а, /г, е).
2.	Общий	случай. Предположим,			что	невозмущенное
уравнение	(1.19)	обладает двупараметрическим				семейством

периодических решений (1 .2 0 ).

Рассмотрим случай, когда условие (1.5) линейной неза висимости характеристических показателей не выполняет ся. Кроме того, ослабим условия, налагаемые на функции в правой части возмущенного уравнения (1.24), предполо

жив,	что в некоторой р0-окрестности семейства решений
(1 .2 0 )	они не являются аналитическими, а непрерывны, об

ладают ограниченными и равномерно-непрерывными част ными производными по X первого и второго порядков и, кроме того, 2 я-периодические по t. Тогда теорема Пуанка ре неприменима и, следовательно, для приведения исход ных уравнений к специальному виду мы не можем восполь зоваться изложенным выше способом.

Приведем исходное уравнение (1.24) к специальному виду, воспользовавшись теорией Флоке. Представим уравнение (1.24) в виде

= Х(х°(ф, а)) + А (ф, а) y + X ^ t, х, у, е), (1.36)

где

V, х, у, е) = X (х) — X (х° (ф, о)) — Х'х(х° (ф, а)) у +

+ еК (t, X, е) = Ха (х) + еѴ (t, х, е) (Л(ф, а) = Х*(х°(ф, а)), у = х — *°(ф, а)). - (1.37)

Заметим, что применяемые нами в дальнейшем методы пригодны лишь для исследования уравнений с достаточно малой нелинейностью. Поэтому, принимая во внимание, что вектор-функция Х 2 (х) содержит х в степени не ниже

92 ГЛ. III. МНОГООБРАЗИЯ ВБЛИЗИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

второй, полагаем, что всегда можно выбрать такое достаточно

малое положительное рі <	1 и постоянную N,		чтобы при
\х I -< Рі выполнялось условие \| Х2 (х) \|		N \| х \| 2	и,	следо
вательно, функция Х 2 (X) оставалась ограниченной				некото
рой достаточно малой постоянной.
Рассмотрим линейное уравнение
- § -	= A(il>, a)z,			(1.38)

являющееся уравнением в вариациях для решения (1.2D), или

= -^г- ln Z (Т, a),		S (ф,=а) — Z (ф, а) е-'фвиіХ0			) ] - 1	1 которые^39)
Введем интегральную			матрицу	Z (ф, а) —		\zjk (ф, о,)}
(/, k =	1, .... п)	уравнения	(1.39),	матрицу	монодромии
Z (Т, a)	(Z(ф -f- Т,	а) — Z (ф, a) Z (Т, а)) и матрицы В (а) =

полагаем зависящими от а как от параметра. Продифференцировав очевидное тождество

= X(X»(со (а)/ + ф, а ) )

по ф и по а , нетрудно убедиться, что уравнение (1.38) имеет

два решения вида

	д*0 (со (а) t -■>- ф. а)
*і ( Ф,	а)		дф	’
г 2 (ф,	дх° (со (а) t +			ср, а) _
г 2 (ф,	а )		да					(1.40)
			да
дх° (со (a) t +		ф, а) со0 (а ) t +			дх° (со (а) t -f- ср,' а)
дх° (со (a) t +		ф, а) со0 (а ) t +			дх° (со (а) t -f- ср,' а)
							да
			=	zi (Ф> о ) а і +			( Ф, а),	j
где Zt (ф, а ) , z2 (ф, а )			— Г-периодические функции ф, а =
— (Од (о).							имеет двукратное
Отсюда следует, что матрица					В	( а )	имеет двукратное
нулевое	собственное		значение		Лі =		Х2 = 0.	Остальной
спектр матрицы В		( а )	обозначим а		0	( В )	и предположим, что

§ 1. П Р И В Е Д Е Н И Е К С П Е Ц И А Л Ь Н О М У ВИД У

он не пересекается с мнимой осью и в общем случае распо ложен как в левой, так и в правой полуплоскости.

Посредством преобразования Флоке

Z = S (if, а) у = Z (if, ä) 0 -Ч>Я<в)[ю<0 )) 1^)

(1.41)

где В (а) — (п X п)-постоянная матрица, уравнение (1.39) приводится к виду

У = {^о, Уъ • • • , Уп-х). (1.42)

Исходя из представления спектра а (В), приняв во вни мание (1.40), можем записать выражение (1.41) в виде

г = гх(if, а) у0+ г2 (if, а) у1+ U (if, a) erWW®wi~'y

(г/ = у* ■■■, Уп-О,

(1.43)

где Н (а) — ln X (п — 2)]-постоянная матрица, зависящая от а как от параметра, спектр которой совпадает со спект ром ст0 (В), а уравнение (1.42) — в виде

Фо	,	Фі		,	dy	о		(У = Уъ	Уп—і).
dip = 0		dip	0		dip
Полагая у	=	е^н (а>1“ (а)1 ху,				получаем
dip	_п		dip	0	,	■щ-= [«(«)] 1Н{а)~у,
Фо			Фі
или, возвращаясь к переменной t,
	Фо	r\		Ф1		п	Ф	H (а) у.
	dt	~	’	dt		’	dt

Совершая в уравнении (1.38) подстановку
	г = гха \ a)y0 + z2(if, а)г/г + Ѳ(ір, a)y
(Ѳ (if, a) у =		U (if,	a) giptf И [a (a)]				‘у) и принимая во внима

ние, что в невозмущенном режиме а рассматривается как

параметр,	следовательно,		= 0 ,	получаем соотношения
	ю +	Ѳ (if, а) Н (а) =		A (if, а) Ѳ (if, а)	(1.44)х
и
---- 5Тр~ ® +		Ѳ (if, а) Н (а) =		A (if, а) Ѳ (if, а),	(1.44)*
где Ѳ (if,	a), Н (a) — комплексно			сопряжены с Ѳ (if, а),
Я (a).

•94 г л . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й

Введем теперь в исходном уравнении (1.24), представлен ном в виде (1.36), вместо х (хь ..., хп) новые переменные Ф, а, h (й3, ..., hn) посредством замены *)

X — х°(ф, а) +

(Ѳ (ф, a) h + Ѳ(ф, a)h).

(1.45)

Используя соотношения (1.44)ь (1.44) . 2 и очевидное тожде

ство дх	а^	со =		X (х° (ф,			а)), находим
д*°(Ф. а )		J _	(	д Ѳ	(ф, а )	,	дѲ(ф, g)		т г	dip	-со I -j-
гіф	1	2	V		дф		^			dt	-со I -j-
гіф	1	2	V		дф		^			dt
д х °	(ip, a)		,	_1_ / dO (ф, a) ^				д Ѳ (ip, a)		j	da
	do.		'	2	\	д а	‘	д	а	I	dt

+-тгѳ (Ф, a) ( 4 -----H(a)h

+4 " Ѳ (ф, a) ( - ^ ---- H (a) hj = Y (t, ф, a, h, h, e). (1.46)

Система (1.46) представляет собой систему п уравнений от носительно (2 п — 2 ) неизвестных

dip	• со (а),	d a	dh	Н (a) h,	Н (a) h.
dt		1 Г ’	dt

Выбирая в качестве разрешающего условия соотношение

		dh		г г /	\ t		dh		■Я (а) А,		(1.47)
		--------H{a)h = —							■Я (а) А,		(1.47)
получим		следующую		систему			п	уравнении			относительно
п	неизвестных:		dip		,	ч	da	’	4	---- Я (а) к
			di				Ч Г	’	dt		)
д х ° (ф, а )		д	в (гр, а )		и	, д	в (ф,		а ) 77	dty	)
	dip	1 2	д ф				dф		П	! dt	-со(а) +
	dip	1 2	д ф				dф		П	! dt
+	д х 0 (ф, а )		1 д Ѳ	(ф, а )							da
+	д а	+		д а							dt +
+	— [Ѳ(ф, a) +		Ѳ(ф, а)]			dh	Н (a)hj = У (t,\p,a, h, e).
+	— [Ѳ(ф, a) +		Ѳ(ф, а)]			di	Н (a)hj = У (t,\p,a, h, e).
											(1.48)

*) Замена (1.45) является вещественной.

§ 1. П Р И В Е Д Е Н И Е К С П Е Ц И А Л Ь Н О М У В ИД У

Здесь вектор-функция Y (t, ф, а, h, е) определена в облассти

R X XF X St X U 6i X Eg0,

непрерывна, Т-периодическая по ф и обладает ограничен ными и равномерно-непрерывными частными производными

по ф, а,		h первого порядка.
	Из выражения (1.37) и формулы преобразования х ->
Y	(ф,	а,	h)	видим,	что	при	h = 0 вектор-функция
Y	(t, ф,	а,	h,	е) будет	ограничена некоторой функцией
М	(е) -> Оприе -> 0. Кроме того, Y						(t, ф, а, к, е) будет удо

влетворять условию Липшица по ф, а, h с константой Лип


шица Я (е, сг) ->- 0 при 8	-> 0,ст -> 0. Чтобы проверить пос
леднее свойство, достаточно		показать, что вектор-функция
Уг(ф, а, К) = Х (х° (ф, а) + 1)		— Х (	0 (ф, а)) — Хх (х° (ф, а)) I
(і = ~Т (Ѳ	ö)h +		Ѳ (Ф. а) h))

удовлетворяет условию Липшица с константой Я (а) 0 при

а0 (вектор-функция еК (/, х, е) удовлетворяет условию

Липшица с константой sL).

Имеем
Еі г = Х'і (х° (ф, а) +			/) — Х'х(х° (ф, а)),
К]ф = Хф (х° (ф, а) +			/) — Хф(х° (ф, а)) — Х х$ (х° (ф, а)) I —
*				Хх (х° (ф, а)) /ф,
У\а == Ха (х° (ф, а) +			0 — X (х°(ф, а)) — х"ха(х° (Ф, а)) / —
				— X* (х9 (ф, а)) Іа.
Очевидно, можем написать
Уі (Фг> й2 , h2)		Ег ( ф		fl1( hi) = Y х(ф2, й2, h2) —
— ЕЛфі, Ö2, Аа) +				ЕЛфi, аа, h2) — Е1(ф1, а1; А2) +
				1
+ Уг(фі. аъ fh) — У1 (Фі, «1 , К) = j Гіф (фх + s (ф2 —
				О
				1
— Фі), а 2, й2	)(ф2 —• q>i)ds + ] Е'іа (фл, аг + s(a2 — a]), h2)(a2—
				о
		1
— аг) ds +	j	Y\h(ф1( аъ hx -f s (h2— Іц)) (h2 — hx) ds. (1.49)

96 г л . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Я

Введем обозначения
A.J (о) =	sup I Y н\|, (ф, а, h) \| =	sup \| Xц, ( л : 0 + /) — Хц, (х°) — '
	\|І\|«о
		- Х 4 (0 ) / - Х ( ° ) 4 1,
X2(a) =	sup I Via (ф, a, h) \ =	sup \| Xa (x° -f /) — Xa (x°) — ,
	\|/\|=ga	\|/\|«sa

- Х ; а (х«)/-Х Л х°) la\,

X3 (a) = sup I Yu (ф, a, h) | = sup | X/ (x° + l) — X* (x°) |.

\| / \| « o	\|/\|sCT
	(1.50)
В силу непрерывности	производных вектор-функции

X (X) следует, что Xt (a) -> 0 при а -> 0 (і = 1,2).

В результате, воспользовавшись представлением (1.49),

получаем
і ^"і (Фг> a2 i ^2 )		(Фі> аь ^i) I ^		(°) IФ2		Фі I "Ь
	+ К (о) \аг — а1\ +		Х3 (а) \| / 2		— Іх \ <
<	Mof)(Iф2 — Фі I + \ а2 — ах \ + \k — 1Л)>						(1-51)
где X (о) =	max {X,j (a), Х2 (а),		Л3	(a)}	0	при о -> 0 .
	a	определитель		системы		(1.48)	через
Обозначим

D (ф, a, h). Предположим, что существует такой интервал

91 = (а0, öi), что	для a £ 91		D (ф, а, /г) \| й = 0 Ф 0 для 'всех
ф £ Ф. Тогда	в	силу	непрерывности		определитель
D (ф, а, К) будет отличен от нуля и в некоторой достаточно
малой окрестности		точки h =		0 , причем всегда		можно
подобрать такое	достаточно		малое	б1( чтобы	при	h £

переменная х, определяемая выражением (1.45), не выходи ла из области DPl.

Разрешая систему уравнений (1.48) в области
R X Ф X 91 X U6t X Еео,		(1.52)
получаем
	® (а) + Р ((, ф, а, h, г),
=	S(t, ф, а, h, £),	(1.53)
~ =	Н (a) А + R(t, ф, а, h, е).

			§ 1. П Р И В Е Д Е Н И Е К С П Е Ц И А Л Ь Н О М У В И Д У ]					97
Принимая				во	внимание	свойства	вектор-функции
Y	(t, ф, а, h, е), а также свойства матрицы Ѳ (ф, а),							устанав
ливаем,			что		скалярные функции		Р (t, ф,	а, h, е),
S	(t,	ф, а,		Н,	е) и (п — 2	)-мерная	вектор-функция
R	(t,	ф, а,	h,	е) определены в области (1.52) и принадлежат
в этой области классу
				(hx, фт; М(г) jft=0;		Ч 8. а)(ф,ад));		(1.54)

спектр [n X (п — 2)]-матрицы Н (а) для любых а £ §1 не пересекается с мнимой осью и в общем случае расположен как в левой, так и в правой полуплоскости.

Рассмотрим случай, когда невозмущенное уравнение (1.19) обладает k + 1 -параметрическим семейством реше ний

X = х°	(a>(a)t + ф, а) (х° (ф +	Т, а) = х° (ф, а)),	(1.55)
зависящим	от параметров а — аь	.... ak и ф, причем	го =

= го (а) > 0 .

Нетрудно видеть, что тогда уравнение (1.39) для каждо го фиксированного значения а будет иметь решения вида

г0 (Ф> а) =	дха (ф, а)					Zj (ф, а) =		öx° (ф, а)		дсо (а) t .
		дф						<3ф		düj
						дх0 (ф, а)		(/ = 1,	... , k).		(1.56)
						да.

Предположим, что для всех а £ ЭД, ф £ 'F
		rang	дх°(ф ,			а)	д х ° (ф, а)		1 .		(1.57)
				д\р			да	— k +
т. е. решения z0 (ф,				a),		z> (ф, а) (J		— 1, .... k) — линейно
независимы. Матрица					В	(а),	определяемая		по	аналогии с
предыдущим		случаем,			будет		иметь k + 1 -кратное нулевое
собственное		значение.			Остальной			спектр	матрицы		В (а)

обозначим о0 (В) и предположим, что он не пересекается с мнимой осью и в общем случае расположен в левой и пра вой полуплоскостях.

В рассматриваемом случае также имеет место представ

ление	вида (1.43)
г =	2 і (ф, a) t/ 0	+ Z (ф, а) у + U (ф, а) е-Ч>н<а>[«(аИ 1 у, (1.58)
где Уо— скаляр,		у = уи ..., ук, у =	ук+1.......уп- \ Л ( ф, а) —
(п X ^-матрица,		U (ф, а) — (п х	[п— (k -j- 1)]}-матрица,

4 Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова

98 ГЛ. Ш . МНОГООБРАЗИЯ ВБЛИЗИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

H ( a ) - [ n - ( k +

1)] X [n — (k + 1)]-матрица, зависящая от

а как

от параметра, спектр которой совпадает с о0(А).

Посредством подстановки типа

(1.45),

которой

к —

[а — (k 4

- 1 )1 -вектор,

исходное

уравнение

приводится

виду

(1.53),

где

а =

a t .......

a k,

— hk+ u

• ••>

V-w

со

(a)

to (a u ..., a k) >

(t,

op,

—- скаляр

ная

функция, S (t,

ф,

a ,

h ,

e) — /г-вектор-функция,

(t,

ф, a, h, e) — [n — (k +

1 )]-вектор-функция, свойства

которых аналогичны свойствам функций в правой части уравнений (1.53).

В частном случае, когда уравнение (1.19) обладает одно параметрическим семейством периодических решений

X = х° (tot + cp) (х° (ф + 2я) = х° (ф))

(1.59)

и со не зависит от а ,	исходное уравнение (1.24) посредством
замены
х = лг°(ф) + 4 "(©(Ф)Л + Ѳ(ф)А),		(1.60)
в которой матрицы	Ѳ (ф), Ѳ (ф) выбираются по	аналогии
с предыдущими пунктами, приводится к виду
	= © + />(*, ф, h, в),	О - 6 »
dh		О - 6 »
J L = Hh+R(t, Ф, К е),

где скалярная функция Р (t, ф, h, е) и (п — 1)-мерная век тор-функция R (t, ф, h, в) принадлежат классу

(*2 ЯІ фт; М(е)ІА=о; Me, oW n);

(1.62)

спектр постоянной [п X (п — 1)]-матрицы Н не пересекает ся с мнимой осью и в общем случае расположен как в левой, так и в правой полуплоскостях.

Для уравнений с медленно меняющимися параметрами вида (1.27) также представляет интерес рассмотрение обще го случая, когда условие линейной независимости характе ристических показателей, имеющих отрицательные вещест венные части, не выполняется и функции, стоящие в правой части рассматриваемых уравнений,являются не аналитическими, а лишь дважды непрерывно-дифференцируе мыми. В этом случае мы также можем применить изложен ный выше способ и привести уравнение (1.27) в окрестности

§ 2. ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

однопараметрического семейства решений (1.29) посред ством преобразования

х== х° (т, ijj) +			-5 - (Ѳ(т, -ф)h + Ѳ (т, ф) К) (1.63)
к виду
d f>		C Ö (T ) +	P (T , Ѳ, ф, h, e),
~ЗГ =		C Ö (T ) +	P (T , Ѳ, ф, h, e),
dh			(1.64)
dt	=	H(x)h + R(x, Ѳ, ф, h, e),

а в окрестности двупараметрического семейства решений (1.34) посредством преобразования

X = х°(т, ф, а) -f {Ѳ(т, ф, а) h -f Ѳ(т, ф, a)h} (1.65)

— к виду
dt	со(т, а) Р (т, Ѳ, ф, а, ft, е),
dt
da	S (т, Ѳ, ф, а, А, е),	( 1. 66)
~ЗГ	S (т, Ѳ, ф, а, А, е),	( 1. 66)
~	= H (x,a )h + R (т, Ѳ, ф,	, ft, е),

при этом матрицы Ѳ (т, ф), Ѳ (т, ф, а) имеют тот же смысл, что и в предыдущих пунктах.

§ 2. Двупараметрические локальные интегральные многообразия

1 . Основные предположения. В настоящем параграфе исследуем локальные интегральные многообразия нели нейного уравнения

- § - = Х(дг) + еУ(*, ж ) ,

(2.1)

где X, X, Y — п-векторы, в окрестности двупараметриче ского семейства периодических решений соответствующего невозмущенного уравнения

-2 Г = *(*)•

(2 -2 )

Предположим, что выполняются следующие условия.

4«

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 5210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

Введем обозначения
A.J (о) =	sup I Y н\|, (ф, а, h) \| =	sup \| Xц, ( л : 0 + /) — Хц, (х°) — '
	\|І\|«о
		- Х 4 (0 ) / - Х ( ° ) 4 1,
X2(a) =	sup I Via (ф, a, h) \ =	sup \| Xa (x° -f /) — Xa (x°) — ,
	\|/\|=ga	\|/\|«sa