книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

В дальнейшем для упрощения систему дифференциаль­ ных уравнений (1.24) целесообразно записывать в вектор­

где X , X — n-векторы (в нашем случае п — 2N). Правые части системы (1.26) являются периодическими функциями или почти периодическими в зависимости от того, как зави­ сели от t функции eQk.

К уравнениям типа (1.26) могут быть приведены также задачи о воздействии на колебательные системы внешних сил высокой частоты. Так, например, пусть движение та­ кой системы характеризуется уравнениями вида

ческие) функции t и о — «большой» параметр.

Тогда, вводя новые неизвестные согласно формулам

К уравнениям вида (1.26) может быть приведен и более общий случай, чем указанный выше, когда состояние дина­ мической системы характеризуется угловой переменной а и п переменными xlf х2.......хп и описывается следующей

...,хп) — периодические (или почти-периодические) функции

К системам типа (1.39) и (1.40) при ряде предположений приводятся многочисленные задачи теории колебаний (од­ ночастотные колебания систем со многими степенями сво­ боды, не близкие к гармоническим, колебания релаксацион­ ного типа и т. д.).

Будем также рассматривать и более общие системы диф­

Многие задачи приводят к рассмотрению колебательных систем, описываемых дифференциальными уравнениями, в коіорых одни переменные изменяются быстро, а другие медленно. К уравнениям такого типа относятся, например, указанные выше уравнения (1.30).

В общем виде такие уравнения можно записать следую­ щим образом:

(1.43)

=(*’ х’ У)-

где X , у — соответственно п- и m-векторы, е — малый по­ ложительный параметр.

Проблемы, приводящие к рассмотрению уравнений типа (1.43), встречаются в динамике спутников и искусственных небесных тел. Частным случаем системы (1.43), когда пе­ ременная X отсутствует, являются уравнения в стандартной форме. При Y (t, X , у) £= 1 приходим к рассмотрению урав­ нений типа (1.41).

Как известно, ряд актуальных задач радиотехники, ав­ томатического регулирования, химической кинетики и др. приводит к исследованию систем дифференциальных урав­ нений с малым параметром при старших производных. В связи с этим нами будут рассмотрены системы нелиней-

ных нерегулярно-возмущенных дифференциальных уравне­ ний вида

где е — малый параметр, х, / — «-векторы, г, F — т-век- торы, а также системы линейных нерегулярно-возмущенных дифференциальных уравнений

■^r = A(t)x + B(t)y + h(t),

(1.45)

е= С (t) у + eF (t) X + еН (t),

где Ху h — m-векторы, у, Н — п-векторы, А, В, С, F — со­ ответственно (m X т)-, (т X п)-, (п X «)-, (п X т)-мат- рицы.

В связи с большим интересом, возникшим в последнее время к теории дифференциальных уравнений с запазды­ вающим аргументом, будет уделено внимание также рассмот­ рению интегральных многообразий для уравнений с запаз­ дыванием вида

© (t) — fe-вектор-функция, е — малый положительный па­ раметр.

Будут рассмотрены также нерегулярно-возмущенные уравнения с запаздыванием

~= f(t, х,у, е),

8 ЧГ = А V' х>Ха) у + В У>х>Ха) У* + § ((>х’ А'Д' У' Уь>е)’

(1.47)

Как уже указывалось, рассмотрение исходной системы уравнений на многообразии сводится к рассмотрению урав­ нений, число которых равно размерности многообразия, в результате чего исследование решений исходной системы уравнений значительно упрощается.

В связи с этим большое значение приобретают развитые методы для исследования нелинейных дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах. Использо­ вание спектральной теории линейных операторов позволи­ ло развить теорию интегральных многообразий для различ­ ных классов нелинейных дифференциальных уравнений в бесконечномерном банаховом пространстве.

§2. Вспомогательные сведения из линейной алгебры

ианализа

Приведем некоторые вспомогательные сведения из линейной алгеб­ ры и анализа, которые играют важную роль в теории дифференциаль­ ных уравнений.

1. Матричные обозначения. Рассмотрим квадратную матрицу А порядка п с элементами аи- (і, / = 1, .... п), ко­ торые, вообще говоря, являются комплексными. Матрица (кі — А), где к — независимое переменное, / — единичная матрица порядка п, называется характеристической мат­ рицей для А. Ее определитель

является многочленом относительно к и называется харак­ теристическим многочленом матрицы А. Корни характери­ стического многочлена матрицы называются ее характери­ стическими числами или собственными значениями. Обоз­

есть множество всех ее собственных значений. Он состоит

называются регулярными, а матрица (kJ — Л)-1 называется

резольвентой матрицы Л. Спектр п собственных значений матрицы А порядка п совпадает с множеством корней ал­ гебраического уравнения

(характеристического уравнения матрицы А), или в развер­

Кратность каждого корня Я/ этого уравнения равна его

алгебраической кратности т,- как собственного значения,

так что т\ + т-2 + ... = п.

Для любой квадратной матрицы А с собственными зна­ чениями Я/ матрица аА имеет собственные значения аЯ;;

матрица А р — собственные значения Я/ (р — 0, 1, 2,...); каждый многочлен или аналитическая функция / (Л) име­ ет собственные значения / (Я/).

(det S ф 0) может быть приведена к нормальной жордановой форме

матрица, причем каждому характеристическому корню Хр

до ненулевого скалярного множителя отвечает один и толь­ ко один собственный вектор матрицы Л, причем различным кьеткам Жордана соответствуют линейно-независимые соб­ ственные векторы.

Степень вырождения г собственного значения Хр пред­ ставляет собой максимальное число линейно-независимых собственных векторов матрицы А , соответствующихХр. В об­ щем случае г С ар. Если степень вырождения г собствен­ ного значения равна его кратности, т. е. г = ар, то, оче­

видно, /р*= ... = t'p = 1. В этом случае все соответствую­ щие клетки Жордана будут содержать по одному элементу (простые клетки).

Пусть Хі,..., Хт— характеристические числа матрицы Л, соответствующие различным клеткам Жордана (не обяза­ тельно различные между собой). Тогда, так как XI —

ментарными делителями матрицы Л, а натуральные числа Ір, т. е. размеры (порядки) клеток Жордана,— показателя­ ми элементарных делителей, соответствующих числу Хр.

ОХп

причем числа Хр (р = 1.......п) не обязательно различны.

2. Линейные преобразования. Каждой квадратной мат­ рице А порядка я соответствует линейное преобразование А

векторного координатного пространства Сп размерности п,

т. е. вектору х = (хи ..., хп) пространства Сп ставится в соответствие вектор

определяемый соотношением

п

У і = 2 a ikx k.

k=i

Нулевой матрице О соответствует нулевое преобразова­ ние О, переводящее каждый вектор в нуль; единичной матрице соответствует тождественное преобразование. Пре­ образование является примером линейного оператора, дей­

ствующего в Сп.

Говорят, что подпространство Сп линейного простран­ ства Сп инвариантно относительно преобразования А , если каждый вектор из Сп преобразование А снова переводит в некоторый вектор из Сп , т. е. А С п сг Сп .

Если пространство Сп распадается в прямую сумму под­ пространств, инвариантных относительно линейного пре­ образования А , то в надлежащей координатной системе матрица преобразования А принимает клеточно-диагональ­ ный вид и диагональные клетки являются матрицами пре­ образований, индуцированных преобразованием А в ин­ вариантных подпространствах.

Характеристическим многочленом преобразования А на­ зывается характеристический многочлен <р (Я) = det (XI —

— А) матрицы А.

Степень характеристического многочлена преобразова­ ния Л равна порядку матрицы А, а порядок матрицы равен

размерности пространства Сп. Поэтому степень характерис­ тического многочлена преобразования А равна размернос­ ти пространства, в котором действует это преобразование.

Так же, как и квадратная матрица, каждое линейное преобразование является корнем своего характеристиче­ ского многочлена, т. е. q> (А ) = 0.

Число % называется собственным значением линейного преобразования А , если в рассматриваемом пространстве