книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике
.pdfso |
ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е |
Из (3.38) следует сходимость интеграла (3.30) для лю бого t £ R, причем сходимость равномерна на каждом ко нечном интервале а < t < Ь. Представляя выражение
(3.30) в виде
t с о
y(t)= ( G(t— х) f (х) d |
x \ G (t— x)f(x)dx |
(3.39) |
—с о |
t |
|
и дифференцируя формально по параметру t, получаем |
||
|
1 |
|
— [G (+ 0) — G (— 0)] / (t) -f- J A G ( t - x )f (x )d x + ' |
||
|
—CO |
|
oo |
|
|
+ j AG(t — x)f(x)dx = |
/(/)-]- Ay (t) при i £ R. (3.40) |
|
t |
|
|
Заметим, что дифференцирование законно, так как не собственные интегралы, полученные в результате формаль ного дифференцирования, сходятся равномерно на каждом
конечном интервале (a, b) £ R. |
(3.38), |
имеем |
|
Принимая во |
внимание неравенство |
||
оценку |
с о |
|
|
|
|
|
|
||£(/)||<sup||/(/)|| |
J \G (t — т) Idt с Г • |
= I\ < |
oo, |
^—CO
(3.41)
откуда следует ограниченность решения у (t) на всей дей ствительной оси R.
Единственность решения у (t) очевидна.
С л е д с т в и е З . 1 . Для ограниченного решения у (f) си стемы (3.29) справедлива оценка
sup ||y (0 l< 6 |
sup 1/(01, |
' |
(3.42) |
||
еде постоянная k зависит только от матрицы А . |
|
Т-пе- |
|||
З а м е ч а н и е 3.2. |
Если |
вектор-функция / (/) |
|||
риодична, то ограниченное решение у |
(t) также |
Т-перио- |
|||
дично. |
|
|
|
|
|
Рассмотрим систему |
|
|
|
|
|
4 L = A { t ) y + f{t), |
|
|
(3.43) |
||
где (п X п)-матрица A |
(t) и |
п-вектор |
/ (t) — Г-периоди- |
||
ческие. |
|
|
|
|
|
§ 3. С В Е Д Е Н И Я ИЗ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й |
61 |
Т е о р е м а . 3.3. Если однородная периодическая си |
|
стема |
|
А ® У |
(3.44) |
не имеет никаких Т-периодических решений, кроме |
три |
виального, т. е. все мультипликаторы ее отличны от единицы (р/ Ф 1), то соответствующая неоднородная периодическая система (3.43) имеет единственное Т-периодическое решение.
Д о к а з а т е л ь с т в о |
[34]. Согласно (3.11) |
решение |
|||||
у (t) |
системы (3.43) представимо в виде |
|
|
||||
|
|
y{t) = Y ( t) y (0 )+ \Y { t) Y - \ x )f { x )d x , |
(3.45) |
||||
где |
|
|
|
о |
матрица |
решений |
системы |
У (t) — фундаментальная |
|||||||
(3.44) |
. При этом у |
(0) = у |
(0), где у (t) — решение системы |
||||
(3.44) |
. В силу теоремы единственности, для Т’-периодического |
||||||
решения у (t) имеем |
У(Т) = У{0), |
|
(3.46) |
||||
|
|
|
|
||||
откуда на основании (3.45) получаем |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
y ( 0 ) = Y ( T ) y ( 0 ) + Y (Т ) ]> -’ (0 / (0 dt |
|
||||
или |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[I — Y (Г)] y(0) = |
Y (Т) \ Y- ' (і)! (t) dt. |
(3.47) |
|||
В |
|
силу условия |
теоремы, |
о |
[р/ — Y (Г)] = О |
||
|
уравнение |
||||||
не имеет корня р = |
1, поэтому det (I — Y (Т)) Ф |
0, т. е. |
|||||
существует [/ — Y (Т)]-1. |
|
|
|
|
|||
Таким образом, |
получаем |
т |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у (0) --=[I — Y (Г)]-1Y (Т) \ Y~l (0 / (0 dt. |
(3.48) |
||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
Подставляя теперь в (3.45) вместо у (0) его выражение (3.48), находим периодическое решение системы (3.43):
t
y(t) = Y ( t ) [ I - Y (Г)]"1{J У“ 1(т) / (т) dx +
о
т
+ Y ( T ) ^ Y - , (x)f(x)dx\ . (3.49)
52 |
ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е |
Единственность Г-периодического решения у (t) вытека ет из того факта, что разность двух различных Г-периоди- ческих решений неоднородной системы (3.43) является не тривиальным Г-периодическим решением однородной си стемы (3.44), что исключается.
З а м е ч а н и е |
3.3. |
Периодическое |
решение у (t) не |
|||||
однородной системы (3.43) может быть записано в виде |
||||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
y(f)=\G{t,x)f(x)dx, |
|
(3.50) |
|||
где |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘ |
|
[ Y{t)[l — Y (Г)]-1 Y~l (т) |
при 0 < т « < 7 \ |
|||||
( ’ Т)^ |
[У(/ + 7’) [ / - Г ( Г ) Г 1Г - 1(т) |
при 0 < / < т < Г . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.51) |
Здесь |
G (t, т) — функция |
Грина |
системы |
(3.43), обладаю |
||||
щая свойствами: |
|
|
|
/; |
|
|
||
1. |
G(т + 0, т) — G (т — 0, т) = |
|
|
|||||
2. |
G(0, т) - G(T, т); |
|
|
|
|
|
||
3 . |
|
= |
|
X) |
Цфх) |
|
|
|
при 0 < |
X< t < |
Т. |
|
(3.44) имеет |
нетривиальные |
|||
Если |
однородная система |
|||||||
Т-периодические решения (резонансный случай), то соответ
ствующая неоднородная система (3.43) не всегда |
допускает |
Г-периодическое решение. |
|
Имеет место следующая теорема. |
однородная |
Т е о р е м а 3.4 [208]. Пусть линейная |
Т-периодическая система (3.44) допускает k линейно-неза
висимых Т-периодических решений yi (t), ..., |
yk (t) (1 C k С |
|
n). |
Тогда: |
|
1) |
сопряженная система *) |
|
|
J L = — A*(t)z |
(3.52) |
также имеет k линейно-независимых Т-периодических реше ний zt (t), .... zA(0;
*) А* (t) = АТ = (aks)\А = (ajk).
§ 3. С В Е Д Е Н И Я и з Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й |
53 |
2) неоднородная система (3.43) имеет Т-периодические решения тогда и только тогда, когда выполнены условия
ортогональности
т
\( z s(t), f(t))dt = 0 |
(s = 1..........k), |
(3.53) |
о |
|
|
причем в этом случае Т-периодические решения неоднород ной системы образуют k-параметрическое семейство ин тегральных кривых.
Доказательство этой теоремы громоздко и поэтому мы его здесь приводить не будем (см. например, [34], стр. 218—220).
Существование Т-периодических решений линейной пе риодической системы связано с наличием ограниченных ре шений этой системы.
Имеет место следующая теорема.
Т е о р е м а 3.5. Если линейная неоднородная Т-перио
дическая |
система (3.43) имеет ограниченное решение у (t) |
(.t > 0), |
то она имеет Т-периодическое решение. |
Д о к а з а т е л ь с т в о [34]. Согласно формуле (3.11)
ограниченное решение у (t) системы (3.43) представимо в виде
|
|
|
t |
|
|
У (t) = |
У (t) Уо + |
f у (i) Y (т) / (т) dr, |
(3.54) |
— |
_ |
Y (t) (Y |
о |
фун |
где у (0) = |
у0 и |
(0) = I) — нормированная |
даментальная матрица однородной системы (3.44). Из (3.54) получаем
y(T) = Y(T)y0 + b,' |
(3.55) |
где |
|
г |
|
Ь = ( Y (Г) Y~l (т) / (т) dr. |
(3.56) |
'о
Ввиду периодичности системы (3.43), у (t + Т) также яв ляется ее решением, поэтому, используя начальное усло вие, можем написать
y(t + T)t=o = y(T), |
(3-57) |
следовательно, |
|
у (27) = У (27’)у (Т) + Ь = Y2 (Т) у0+ [Y (Т) + |
/] Ь |
|
(3.58) |
Б4 ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е
или, в более общем виде,
т—1
y(mT) = Ym(T)y0 + 2 Y k(T)b (m = 1, ...)• (3.59) k=0
Допустим, что система (3.43) не имеет Г-периодического ре шения. Тогда линейная алгебраическая система
[/- У (Т )]Р о = Ь , |
(3.60) |
реализующая условие периодичности решения у (t), несо вместна и, в частности,
det [I — Y (Г)] = 0. |
(3.61) |
Отсюда, в силу известной теоремы алгебры, следует су ществование ненулевого вектора с, являющегося решением сопряженной алгебраической системы
|
|
[/ — Y (Г)]*с = |
0, |
(3.62) |
||
причем |
вектор с не ортогонален |
к правой части системы |
||||
(3.60), |
т. е. |
Ф ,с )ф 0. |
|
|
(3.63) |
|
|
|
|
|
|||
Из уравнения |
(3.62) получаем |
|
|
|
||
и, значит, |
c ^ [ Y ( T ) f c |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
с = |
[У*(71)]*с |
(ft = |
0, |
1, .. .)• |
(3.64) |
Умножая равенство (3.59) справа на с, находим |
|
|||||
|
|
|
|
т |
—1 |
|
|
(у (тТ), с) = (Ym (Г) у0, с) + |
2 (Y k(Т) Ь, с), |
(3.65) |
|||
|
|
|
|
*=о |
|
|
откуда, |
принимая во внимание соотношение (3.64), |
имеем |
||||
|
|
|
m—1 |
|
|
|
(у(пгТ), с) = (уо, [Ym(T)fc) + |
2 (Ь, [Yk (Г)]* с) = |
|
||||
|
|
|
φτ= 0 |
|
|
|
|
= (уо, с) + m (b, с) |
с» |
п р и т -ѵ о о , |
(3.66) |
||
что противоречит ограниченности решения у (t). Следовательно, в условиях теоремы система (3.60) со
вместна и, таким образом, существует по меньшей мере од но Г-периодическое решение неоднородной системы (3.43).
С л е д с т в и е 3.2. Если неоднородная линейная Т-пе- риодическая система не имеет Т-периодических решений, то
§ 3. СВЕДЕНИЯ ИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ |
55 |
все решения этой системы не ограничены как на полуоси I >■ >• 0, так и на полуоси t •< О.
3.Устойчивость решений нелинейных систем.
Оп р е д е л е н и е 3.1. Решение х (t) системы (3.1)
-ТГ = Х (‘.*>.
определенное для t ;> 0, называется устойчивым, если для любого достаточно малого е > О существует л (е) > 0 та кое, что каждое решение х (t) системы, удовлетворяющей неравенству
IX(t0) — X (t0) I < л (е), удовлетворяет также неравенству
\x(t)— x(t)\CE |
(t >0). |
При этом предполагается, что решения, начинающиеся вблизи X (0), существуют для всех t >• 0.
Решение х (t) называется асимптотически устойчивым,
если в дополнение к устойчивости
\x{t) — х (0 |-> 0 , t-+ оо.
Приведем формулировку критерия Ляпунова об устой чивости периодического решения х* (t) системы уравнений (3.1).
Т е о р е м а 3.6. Если х* (і) — Т-периодическое реше ние системы (3.1) и вектор-функция X (t, х) — периодиче ская по t с тем же периодом, а характеристические показа тели уравнений в вариациях (3.9) неположительны, причем нулевые характеристические показатели имеют простые элементарные делители, то решение х* (t) системы уравне ний (3.1) устойчиво. Если все характеристические показа тели уравнений в вариациях (3.9) имеют отрицательные вещественные части, то решение х* (t) — асимптотически устойчиво. Если хотя бы один характеристический показа
тель имеет положительную вещественную |
часть, то |
X * (t) — неустойчивое решение. |
не приводим. |
Доказательство этой теоремы мы здесь |
Его можно найти в известных книгах (Ляпунов А. М. [115], Коддингтон Э. А. и Левинсон Н. [69], Демидович Б. П. [34]).
Рассмотрим автономную систему (3.2)
66 |
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ |
Предположим, что я* (f) есть Т-периодическое решение системы (3.2) и вектор-функция X (х) непрерывна и облада ет непрерывными частными производными по х{ (і = 1, ...
..., п) первого порядка в некоторой области D п-мерного
евклидова пространства |
R'1, содержащей кривую х = х* if), |
||
t £ R. |
Нетрудно убедиться, что если |
х* (t) — Т-периоди- |
|
ческое |
решение системы |
(3.2), то — |
— Т-периодическое |
решение системы уравнений в вариациях (3.9), где A (t) =*
= Х х (х* (/)). В этом случае один характеристический пока затель уравнений в вариациях оказывается равным нулю и, следовательно, уравнение (3.9) не может иметь более, чем (п — 1) характеристических показателей с отрицательной действительной частью. Поэтому в данном случае условия теоремы не применимы.
Здесь имеет место устойчивость другого рода, а именно,
орбитальная устойчивость.
Пусть X* (t) — Т-периодическое решение автономной си стемы (3.2); обозначим у замкнутую кривую, определяемую
вектор-функцией х* (t) |
и d (х, у) = іп{|).т— х* |
(f)|j |
для |
точек X* на кривой у. |
3.2. Решение х* (t) называется |
ор- |
|
О п р е д е л е н и е |
|||
битально устойчивым (вправо), если для всякого |
е > 0 |
су |
|
ществует Ö> 0 такое, что для всякого решения л: (/) систе
мы (3.2), для которого |
d (х (t0), |
у) |
< |
б, при всех і > t0 вы |
полняется неравенство d (х (t), |
у) |
< |
е. |
|
' О п р е д е л е н и е |
3.3. Если х* (t) орбитально устой |
|||
чиво и, кроме того, из неравенства |
d (х (t0), у) С б следу |
|||
ет, что d (х (t), у) -+■ О |
при / -► оо, то X* (t) — асимптоти |
|||
чески орбитально устойчивое решение. |
||||
О п р е д е л е н и е |
3.4. Если |
х* it) — асимптотически |
||
орбитально устойчиво и для всякого решения х (t), |
для ко |
||
торого d (х (г“0), |
у) < б, существует |
постоянная ср |
такая, |
что і|.ѵ it) — X* |
it 4- ср)I —> 0 при t |
оо, то решение х* it) |
|
называется асимптотически орбитально устойчивым с асимптотической фазой *).
Для автономной системы (3.2) имеет место следующая теорема Ляпунова.
*) Асимптотической фазой называется сдвиг времени, после кото рого решения асимптотически сближаются.
§ 3. СВЕДЕНИЯ ИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ |
57 |
||
Т е о р е м а |
3.7. Если х* (/) — периодическое решение |
||
системы (3.2) и |
(п — 1) характеристических показателей |
||
соответствующих уравнений в вариациях |
имеют отрица |
||
тельные вещественные части, то решение |
х — х* (t) |
асим |
|
птотически орбитально устойчиво с асимптотической фа зой, т. е. существует е > 0 такое, что если решение х (t) системы (3.2) удовлетворяет неравенству \х (tx) — х* (^0) | <;
< |
е для |
некоторых t0 и |
tx, то |
существует |
постоянная |
<р |
такая, |
что |
|
|
|
|
|
lim \x{t) — x*{t-\-<$)\ = 0. |
(3.67) |
||
|
|
t-+00 |
|
|
|
|
Доказательство этой |
известной |
теоремы также можно |
||
найти в упомянутых книгах (Ляпунов А. М. [115], Коддингтон Э. А. и Левинсон Н. [69] и др.).
4. Квазилинейные системы. Рассмотрим систему
■^- = |
Ay + f(t,y), |
(3.68) |
где А — постоянная (п х |
п)-матрида, |
а п-вектор-функция |
/ (t, у) непрерывна и подчинена условию (3.8). Такая си стема называется квазилинейной. Очевидно, она допуска ет тривиальное решение х = 0.
Приведем формулировки теорем Ляпунова об устойчи вости тривиального решения х = 0 системы (3.68).
Доказательство этих теорем см. Ляпунов А. М. [115],
Демидович Б. П. [34] и др. |
(А) |
||
Т е о р е м а |
3.8. Если все собственные значения |
||
(/ = 1, ..., |
п) матрицы А имеют отрицательные веществен |
||
ные части, |
то тривиальное решение х — 0 квазилинейной |
||
системы. (3.68) асимптотически устойчиво при t -> +оо. |
|||
Т е о р е м а |
3.9. Если хотя бы одно собственное |
значе |
|
ние К/ (А) |
(/' = |
1, ..., п) обладает положительной вещест |
|
венной частью, то тривиальное решение х — 0 этой систе
мы неустойчиво при t |
оо. |
Т е о р е м а 3.10. Пусть матрица А имеет k характе |
|
ристических корней с |
отрицательными действительными |
частями и (п — k) характеристических корней с неотрица тельными действительными частями, причем вектор-функ
ция / |
(/, х) |
непрерывна по t при t >• 0 и удовлетворяет по х |
условию Липшица |
||
\f(t, |
— |
У")\< N {о)\у’ — у”\ (\у’\< а , І£Г|<ст), |
где N (о) |
0 при о ->• 0. Тогда тривиальное решение |
|
Б8 |
ГЛ. |
I. В В Е Д Е Н И Е |
|
|
у — 0 системы |
(3.68) |
условно асимптотически устойчиво |
||
относительно |
некоторого k-мерного |
многообразия |
на |
|
чальных значений. |
|
[34] о существовании |
||
Приведем теперь теорему П. Боля |
||||
и свойствах ограниченного на всей оси решения квазилиней ной системы (3.68), которая будет нами использоваться в последующих главах.
Т е о р е м а |
3.11. Пусть относительно системы (3.68) |
||||||||||||
выполняются следующие условия: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1°. f (t, у) — непрерывная функция і, у, |
|
|
|
||||||||||
2°. Re К/ {А) Ф 0 |
(/ = |
1, .... |
п), |
причем |
|
|
|||||||
R |
і . м Л > 0 |
При І= |
1..........т' |
, п |
(0 -< т < |
п); |
|||||||
6 |
' |
і < 0 |
при |
/ = |
т + |
1, ... |
|||||||
3°. sup I^ (t, |
0)1 = |
Г < |
оо; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4°. !fit, У1) - f ( t , |
У " Ц < М \ у ' - у " \ . |
|
|
|
|
||||||||
Тогда при достаточно малой константе Липшица N |
|||||||||||||
1) |
существует решение у = у * (t) системы (3.68), |
опре |
|||||||||||
деленное и ограниченное на всей вещественной оси R\ |
|
|
|||||||||||
2) в пространстве Rn имеются многообразия |
и Шп-т |
||||||||||||
соответственно |
измерений т и п |
— т |
такие, что решения |
||||||||||
У (t\ 0, уа) системы (3.68) обладают свойствами |
|
|
|||||||||||
|
Нт |
[у (t\ |
0, у0) — у* (0] = |
0 |
при |
у0 £ Ш%, |
|
(3.69) |
|||||
|
t —*■о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пш[у (t; |
0, у0) — у* (*)] = |
0 |
при |
у0£ Шп-т. |
|
(3.70) |
||||||
|
І -+—с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
[34]. Для |
доказательства этой |
|||||||||||
теоремы применим теорему 3.2. Принимая функцию / (t, у) за свободный член, по аналогии с формулой (3.30) можем
написать следующее |
выражение: |
|
|
с о |
|
У(0 = |
J G(t — т)/(т, y{x))dx, |
(3.71) |
|
—о о |
|
где G (0 — функция |
Грина уравнения (3.68), |
обладающая |
свойствами, указанными в теореме 3.2. В силу этих свойств непрерывное ограниченное решение у* (t) интегрального уравнения (3.71) является также решением дифференциаль
ной системы уравнений (3.68). Обозначим
оо
Х= J I\G(t)\\dt (X < оо)
§ 3. СВЕДЕНИЯ ИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 59
И
о о
j/°(0= J G(t — т)/(т, 0)dr.
—с о
Принимая во внимание условие 3° теоремы, можем на писать
о о
1 / ( 0 К j' « 0 (/-т)1 1 /(т , 0 )И т <
< sup||/(T , 0)|| j |G(f — x)\\dx = ГХ = 1\.
^-CO
Выберем теперь число Я такое, что |
|
Я > 2ГХ. |
(3.72) |
В пространстве Rn непрерывных и ограниченных на R вектор-функций у (t), где
sup \\y(t) I < Я,
t
рассмотрим оператор 5, определяемый выражением СО
|
Sy(t)= |
J G(t — т)/(т, y{x))dx. |
(3.73) |
|
|
—о о |
|
Так как при |
||г/|| < Я |
имеем |
|
suPll/Z |
Z l ! < sup||/(^ 0) li + Я sup 1 г/1< |
Г -{-NH, |
|
t,y |
t |
У |
|
где N — константа Липшица из условия 4°, то при у (t) £
£ Rn интеграл (3.73) сходится, причем равномерно на каж дом конечном интервале а <С t < Ь. Отсюда следует, что
если у (і) £ Rn, то Sy |
(/) имеет |
смысл для любого |
t £ R и |
|
Sy (0 непрерывно для |
t £ R. |
|
|
|
Далее имеем |
с о |
|
|
|
|
|
|
||
Sy(t) = y°(t)+ |
j |
G(t — т)[/(т, у(х)) — /(т, 0)] dt, |
||
откуда |
—с о |
|
|
|
|
|
с о |
|
|
|
|
|
|
|
\Sy (0| < 1 / (03 + |
Я sup||f/(0I |
J « 0 (т )И т < Г 1 + |
ЯЯХ. |
|
*—с о
(3.74)