книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

140 г л . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й

3. Доказательство существования точного двупарамет­ рического семейства решений уравнения (5.1). Согласно формуле (1.65), параметрическое представление точного двупараметрического семейства решений уравнения (5.1) имеет вид

X = х° (т, ф (т, t, г), а (т, t, е)) -f

+ {Ѳ (т, ф (т, t, е), а (т, t, в)) f (т, 0, ф (т, і, г), а (т, t, г), е) +

+ Ѳ (т, ф (т, t, г), а (т, t, е)) / (т, Ѳ, ф (т, t, е), а (т, t, е), е)}, (5.16)

где ф (т, і, е), а (т, і, е), /г = / (т, Ѳ,ф, (т, t,e), а (х, ва­ точные решения системы (5.3). Таким образом, для дока­ зательства существования семейства решений (5.16) нужно доказать существование точных решений ф, a, h системы (5.3).

Это доказывается по аналогии с доказательством су­ ществования решений фл а(, ht уравнений (2.6).

Аналогом интегрального уравнения (2.31) здесь будет уравнение

F (t, ф, а, е) =

с о

=j G(z)R1{t + z-, ф2; а2; F (t + г\ ф2; аг\ е); е} dz. (5.17)

Специфика рассматриваемых уравнений, связанная с наличием медленно меняющихся параметров, приводит к

$ Б. У Р А В Н Е Н И Я С М Е Д Л Е Н Н О М ЕН Я Ю Щ И М И С Я П АР А М Е Т Р А МИ 141

стоящие в правой части преобразования, являются функ­ циями t + z. Следовательно, чтобы к функциям Flt Rx мож­ но было применить преобразование (5.17), их надо доопре­ делить на интервалах (—оо, оо). Обозначим эти функции, определенные на интервале (—оо, оо), через F2, R2. При этом полагаем, что в расширенной области функции F2, R2 об­ ладают теми же свойствами, что и функции Flt R± в исход­ ной, а в исходной области совпадают с ними.

в) При изменении t на отрезке [0, L/e]а (t) изменяется в области 21 = [а0, аД.

Являясь функцией г, аг при изменении z от—оо доф-оо может выйти из области своего определения 21. Поэтому для аг будем рассматривать расширенную область, которую

обозначим через 2t.

Таким образом, функции F2, R2 будем рассматривать

и обозначать их через Fs, R3. При этом полагаем, что в области (5.18) они обладают теми же свойствами, что и

-^ r = (t, ф, а, h, е),

=со (et, а) + Рг (t, ф, а, h, в),

иобозначать их в этой области через Р3, S 3, со (т, а) рас­ сматриваем также в расширенной области и обозначаем ее

вэтой области через ац (et, а), причем полагаем, что в расширенной области coj (et, а) обладает теми же свойства­ ми, что и со (т, а) в исходной области, а в исходной — сов­ падает с со (т, а).

142 ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й

Матрица Н (et, а) у нас определена для t £ Ю, L/e]. Вместо матрицы Н (et, а) вводим в рассмотрение матрицу Нг (t, а), определенную на интервале (—оо, оо), при этом полагаем, что на интервале (—оо, оо) она обладает тем

которая в области (5.6) эквивалентна системе (5.3). Доказав существование и единственность решений

г|) (т, t, е), а (т, t, е), h = f (т, Ѳ, if (т, t, е), а (т, t, е), е)

уравнений (5.3) и подставив их значения в формулу (1.65), получим следующее представление точного двупараметри­ ческого семейства решений уравнения (5.1):

X = х° (т, ф (т, t, е), а (т, /, е)) +

+ -у- {Ѳ(т, ф(т, t, е), а (т, t, е)) f (т, Ѳ, г|з (т, /, е), а(т, t,e), e)-f

~= S (T , Ѳ, ф, а, / (т, Ѳ, ф, а, е), е)

как функции времени, зависящие от двух произвольных постоянных.

§ 5. У Р А В Н Е Н И Я С М Е Д Л Е Н Н О М Е Н Я Ю Щ ИМ ИС Я ПАР А МЕ ТР А МИ 143

4. Оценка разности между точным семейством решений и его т-м приближением. Семейство решений (5.20) пред­ ставляет собой совокупность интегральных кривых, за­

полняющих некоторую поверхность в пространстве R'1, которую обозначим через ST.

Параметрическое представление этой поверхности ана­ литически может быть задано либо в виде (5.20), где пара­ метрами являются произвольные постоянные, от которых

+ -гг {Ѳ (т, 1 ]), а) f (т, Ѳ, ф, а, е) + Ѳ (т, я|з, а) / (т, Ѳ, -ф, а, е)} =

= Фт(т, Ѳ, ф, а, е), (5.22)

где ф, а — произвольные параметры, изменяющиеся в той же области: ф £ Q, а £ Ш.

Из существования представления (5.20) с очевидностью вытекает существование представления (5.22).

Аналогичные рассуждения имеют место и относительно приближенного двупараметрического семейства решений (5.15) . Это семейство решений также целиком заполняет

некоторую поверхность в пространстве Rn, которую обо­ значим через Snp. Аналитически эту поверхность можно представить либо в виде (5.15), либо в виде

X = х° (т, ф, а) +

+ -гг {Ѳ (т, ф, а) hm(т, Ѳ, ф, а, е) + Ѳ (т, ф, а) h'n(т, Ѳ, ф, а, е)} = = Фпр (т, Ѳ, ф, а, г), (5.23)

где ф, а — произвольные параметры.

Из такой идентичности представлений (5.20) и (5.22), (5.15) и (5.23) вытекает следующий факт.

Если требуется получить оценку между точным двупа­ раметрическим семейством решений (5.20) и его m-м при­ ближением (5.15), то в аналитических выкладках вместо выражений (5.20), (5.15), представляющих собой функции многообразий (соответственно точного и приближенного), можем пользоваться выражениями (5.22) и (5.23), которые являются параметрическими представлениями соответ­ ствующих многообразий, так как, как кривые, определяе­ мые функциями (5.20) и (5.15), так и кривые, определяемые

144 ГЛ. Ш . М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й

функциями (5.22) и (5.23), лежат на одних и тех же поверх­ ностях и полностью их заполняют.

Таким образом, задача сводится к оценке близости поверхностей 5Т и 5пр, параметрическое представление которых имеет вид (5.22) и соответственно (5.23). Имеем

I Фт (т, Ѳ, ф, а, в) — Фпр (т, Ѳ, ф, а, г) \ = \х° (т, ф, а) +

+ -гг {Ѳ (ч 'Ф. а) / (т, Ѳ, ф, а, е) + Ѳ (т, ф, а)} (т, Ѳ, ф, а, е)} —

— х° (т, ф, а) (Ѳ (т, ф, а) hm(т, Ѳ, ф, о, е) +

+ Ѳ (т, ф, а) hm(т, Ѳ, ф, а, е)} <

< -J- ( I Ѳ (т, ф, а) 11 / (т, Ѳ, ф, а, е) — hm (т, Ѳ, ф, а,е)| +

+ IѲ (т, ф, а) 11 / (т, 0, ф, а, е) — hm(т, 0, ф, а, г) |)

или, принимая во внимание ограниченность матриц Ѳ, Ѳ некоторой константой М\

I Фт (т, 0, ф, а, е) — Фпр (т, 0, ф, а, г) | <

< М ( I / (т, Ѳ, ф, с, е) — hm (т, Ѳ, ф, о, е) | +

(оценка для |/ (т, Ѳ, ф, а, е) — hm (т, 0, ф, а, в)| полу­ чается аналогично).

Чтобы оценить выражение (5.25), необходимо вместо дифференциального уравнения относительно h рассматри­

§5. У Р А В Н Е Н И Я С М Е Д Л Е Н Н О М Е Н Я Ю Щ ИМ ИС Я ПАР А МЕ ТР А МИ 145

Принимая во внимание, что функции R 3 удовлетворяют условию Липшица по ф, а, h с функцией X (е, р) в качестве постоянной Липшица, а также ограниченность матрицы U (z) (I U (z) I С /Се~ѴІг|). можем написать

I / (t, ф, а, г) — hm (t, ф, а, е) | <

I / ((, ф, а, е) — hm (t, ф, а, е) |.

Возвращаясь в системе (5.19) к исходному интервалу времени, мы тем самым совершим переход к исходному интервалу времени и в оценке (5.29) и, таким образом, будем иметь следующую оценку:

I / (т, Ѳ, ф, а, е) — hm(т, Ѳ, ф, а, е) | < sm+1 гт+ Аналогично

I / (т, Ѳ, ф, а, е) — hm(т, Ѳ, ф, а, е) | < em+1 гт+ • —

Возвращаясь к неравенству (5.24), можем написать

- Lem+1. (5.30)

§ 6. СИСТЕМЫ У Р А В Н Е Н И Й , О П И С Ы В А Ю Щ И Е Д В И Ж Е Н И Я 147

St системы (6.1) в окрестности семейства решений (6.4), установим его свойства и сведем рассмотрение исходной системы на многообразии к двум уравнениям относительно

Совершим теперь в полученных уравнениях замену пере­ менных согласно формулам

X — X1,

У = У1+ еУ'олг (0, у0) X-1 (у0) х \

где Xх по-прежнему принадлежит области DA, а относитель­ но у1 предположим, что она принадлежит D-, при этом

о — такое, что а + Л4Д < а, {Уо* (0, у0) X "1 (у0) | < М, и, следовательно, у не выходит из области своего опре­ деления D,J.

В результате такой замены система уравнений (6.1) примет вид