книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике
.pdf190 |
ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К И С С ЛЕ ДО ВА Н ИЮ |
Р Е Ш Е Н И Й |
|
||
Представим уравнения (3.6) в виде |
|
|
|||
~ |
= |
гР(а, Ѳ, е) + е2 Я(П (vt, |
vt + Ѳ, а, |
е), |
j |
~ - |
= |
о)(а) — ѵ + еФ(а, Ѳ) + |
e2 S (f) (W, vt -f- Ѳ, а, е) |
| |
|
at |
|
|
|
|
j |
(3.28)
и введем вместо а и Ѳ новые переменные & и g с помощью формул
a = L(ft, g), |
Ѳ~ М (ft, g) |
(3.29) |
в случае а), или с помощью формул |
|
|
a = L(ft, g), |
9 = M(f t , g) + ft |
(3.30) |
в случае б). Подставляя выражения (3.29) в уравнения
(3.28), |
получаем |
|
|
|
|
|
|
= |
|
{Mg[&F(M, |
L, е) + е*/?шК |
vt + М, |
L, e ) J - |
||
|
|
— LR [со(L) —• V+ еФ (М, |
L) -f- |
|
|||
|
|
|
|
H-e2 S,n« |
vt + M, L, |
е)]}, |
|
JjL = |
±[M bleF(M, |
L, г) + e*R{i)(vt, |
v t + M, |
L, e)j - |
|||
— L $ [со (L) — V -[- еФ (/Vf, L) + e2 |
S(f) (vt, vt -f- M,L, e)]} |
||||||
(Д = |
— Mi)Lè). |
|
|
) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(3.31) |
С другой стороны, принимая во внимание, что любое |
|||||||
решение приближенной системы |
|
|
|
||||
|
|
da |
= |
e.F(a, 0 , e), |
|
1 |
|
|
|
dt |
|
|
(3.32) |
||
|
|
d0 |
= |
со (а) — V-f- еФ (а, |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
в случае |
а) имеет вид (3.24), имеем тождественно |
||||||
|
|
L{,eQ -f- Ьяг\Сеш — EF(M, |
L, |
е), |
|
||
|
|
А40еЙ |
A'lgElCe*1' — еФ (М, |
L) ф- со (L) — ѵ, |
|||
§ 3. Р Е З О Н А Н С Н Ы Й С Л УЧ А Й |
191 |
откуда находим |
|
ей = ~ - {MHEF(M, L, е) — Lg [еФ(М, |
L) + ® (L) — ѵ]}, |
еІСеш = -^-{M$eF(M, L, e) — £*[еФ (M, |
L) + со (L) —v]}. |
|
(3.33) |
Принимая во внимание выражения (3.33), из уравнений
(3.31) |
получаем |
|
|
|
|
|
~ = |
eQ + |
- ^ { M Äe2£ (n ( < |
v^ + |
M ( # , g), |
L(f*,g),B)-~ |
|
|
|
— Lg£?S{i)(vt, |
vt + |
M(&, |
g), |
L(0 , g), e)}, |
= ebg + |
~ {M’^ R U) (vt, |
vt + M (&, |
g), |
L (d, g), e) - |
||
|
|
— L'üS,2SU)(vt, |
vt |
M (ft, |
g), |
L (й, g), s)) I |
или, вводя соответствующие обозначения, имеем следую щую систему уравнений:
= |
ей + |
е2/?і (vt, |
vt + |
О, g, |
г), |
j |
|
|||
J[L = |
eXg + e2S1(vt, |
vt + |
|
g, |
|
!, |
(3 .34) |
|||
Ф, |
e). |
j |
|
|||||||
Аналогично в случае б) найдем |
|
|
|
|
|
|||||
= |
eQ + |
e2R2 (vt, |
vt + |
G, |
g, |
8 ), |
I |
|
||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
(3.35> |
-£ - = e^S + |
e2 |
S2 |
(v/, |
+ |
|
g, |
e). |
j |
|
|
Введем обозначение vt |
+ |
Ф = cp. Тогда системы уравне |
||||||||
ний (3.34) и (3.35) примут |
вид |
|
|
|
|
|
|
|||
= V+ |
eQ + |
e2R (vt, |
cp, g, |
г), |
j |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.36) |
^ - = e \g + e2S ( v t , cp, g , e).
192 |
г л . IV. П Р И М Е Н Е Н И Е к И С С Л Е Д О ВА Н ИЮ |
Р Е Ш Е Н И Й |
||
|
Таким образом, видим, что, как в случае а), |
так и в |
||
случае |
б) система уравнений (3.28) может |
быть |
записана |
|
в виде |
(3.36). |
|
|
|
|
Система уравнений (3.36) аналогична системе уравнений |
|||
(2.24). Следовательно, произведя рассуждения, аналогич ные тем, которые мы проводили при рассмотрении уравне ний (2.24), приходим к выводу, что стационарные решения системы уравнений (3.36) могут быть представлены в виде
<Р(0 = V (е) t + |
Ф + |
Fx (vt, |
v(e)Z + ф, |
e), |
g(0 = |
^ 2 « |
v(e)Z |
ф, e), |
(3.37) |
где Z7! (p, Ѳ) и F2 (p, Ѳ) — непрерывные периодические функ
ции p, Ѳ с периодом 2я, при этом Ѳ = ѵ (e)t + ф, v (е) — непрерывная функция е.
При иррациональных значениях v (е) F±и F2непрерывно зависят от постоянной ф; в случае рационального ѵ (е)
эти функции образуют относительно ф дискретное множе ство.
Так как один характеристический показатель уравнений в вариациях, соответствующих системе (3.14), является отрицательным (другой равен нулю), то, следовательно, всегда найдется такое положительное е0, что для любых положительных е < е0 любое решение системы уравнений (3.36), начальное значение которого достаточно мало, с течением времени будет приближаться к решению (3.37).
Принимая во внимание выражение для точного решения исходного уравнения на многообразии
л = х°(ф, а) Н— (Ѳ(ф, a)f{t, ф, о, е) + Ѳ(ф, а) X
К f(t, Ф, а, е)},
учитывая при этом формулы перехода от а, ф к g, tp — (3.29) в случае а) или (3.30) в случае б), а также выражения (3.5), (3.37), видим, что точное стационарное решение урав нения (3.2) на многообразии S может быть представлено в случае а) в виде
x = Z1(vt, |
v(e)t, |
е) |
(3.38) |
и в случае б) в виде |
|
|
|
X — Z2(vZ, |
V(е) t, |
е), |
(3.39) |
§ 3. Р Е З О Н А Н С Н Ы Й С ЛУЧ АЙ |
193 |
где Zx (а, ß, е), Z2 (а, ß, е) — непрерывные периодические функции а, ß с периодом 2л,, структура которых, так же, как и структура приближенных решений (3.22) и (3.23), зависит от того, какой из случаев а), б) мы рассматриваем.
Резюмируя изложенное, можем сформулировать теоре му, обобщающую соответствующую теорему Крылова — Боголюбова [78] на дифференциальные уравнения вида (3.2).
Т е о р е м а 3.1. Пусть для уравнения
- ^ - = X(x) + sX*(vt, |
X, |
г), |
|
|
кроме условий |
теоремы 2.1 гл. |
Ill |
(в |
данном случае |
X* (ѵ/, X, е) есть |
2л/ѵ-периодическая функция |
t), выполняют |
||
ся условия:
а) правые части уравнений (3.4) являются аналитическими функциями е;
б) при некоторых значениях а £ Ш выполняется соот ношение
Тогда справедливы следующие утверждения.
1.Если уравнения (3.14) имеют устойчивое статиче ское решение а — а0, Ѳ = Ѳ0, то всегда можно найти такие положительные постоянные е0, Oj (ох ■< р '), что при любом положительном е < е0 на многообразии St существует стационарное периодическое решение уравнения (3.2) с периодом 2я/ѵ относительно t, аналитически зависящее от г. Любые решения уравнения (3.2), начальные значения кото рых лежат в а^окрестности начальных значений этого стационарного решения, приближаются к нему при t ->■ со.
2.Если уравнения (3.14) имеют периодическое решение
сколеблющейся фазой (3.18), причем характеристический показатель уравнений в вариациях, составленных для этого решения,— отрицательный (один равен нулю), то
всегда |
найдутся такие |
положительные |
постоянные е0, |
|||||
о3 (а2 <1 р'), |
что для |
любого положительного е < |
е0 урав |
|||||
нение |
(3.2) |
имеет |
на |
многообразии |
семейство |
точных |
||
стационарных решений |
вида |
(3.38); |
начальные |
значения |
||||
этих |
стационарных |
решений |
лежат |
в |
а^-окрестности |
|||
начальных значений приближенных стационарных реше ний (3.22).
7 Ю А. Митропольский, О. Б. Лыкопа
194 |
г л . IV. П Р И М Е Н Е Н И Е к И С 6 Л Е Д О В А Н И Ю Р Е Ш Е Н И Й |
Любое решение уравнения (3.2), начальное значение ко торого лежит в указанной о%-окрестности, при t — оо стре мится к одному из точных стационарных решений вида
(3.38).
3. Если уравнения (3.14) имеют периодическое решение в вращающейся фазой вида (3.19) и соответствующий харак теристический показатель — отрицательный, то верно утверждение предыдущего пункта, причем соответствующее стационарное решение будет иметь вид (3.39).
§ 4. Влияние малого возмущения на релаксационную систему [129]
1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение
-2Г = *<*>. « •»
где X, X — «-векторы.
Пусть для уравнения (4.1) известно устойчивое перио
дическое решение |
(4.2) |
X -= х° (at + ф) |
|
с периодом 2я относительно ф = a t + |
ср, зависящее от |
одной произвольной постоянной ф. Пусть это периодиче ское решение соответствует релаксационному колебанию системы в невозмущенном состоянии.
Под релаксационными колебаниями мы здесь подразу меваем колебания, сильно отличающиеся от синусоидаль ных, в которых скорость в моменты достижения величи ной X максимального и минимального значения меняет свой знак почти мгновенно. Если в системе (4.1) существу ет устойчивый релаксационный режим (4.2), то п — 1 со ответствующих характеристических показателей а 1( а 2 , . . .
..., а„_і имеют отрицательные действительные части. Если эти отрицательные действительные части достаточно боль шие по абсолютной величине, то в этом случае в системе (4.1) будет достаточно быстро устанавливаться одноча стотный релаксационный колебательный режим (4.2).
Предположим теперь, что на рассматриваемую релак сационную систему воздействуют малые возмущающие силы, характеризующиеся функциями еХ * (vt, х, е), 2л-периоди- ческими по vt и достаточное число раз дифференцируемыми
§ 4. В Л И Я Н И Е МАЛОГО В О З М У ЩЕ Н ИЯ |
195 |
по X и е в области |
|
R X ßp„ X ^е0, |
(4-3) |
где DРо — р0-окрестность |
решения (4.2). |
|
|
В результате придем |
к рассмотрению уравнения вида |
||
|
*L = X (x)+ eX *(vt, X, е), |
(4.4) |
|
где |
X, X, X* — гс-векторы, е — малый |
положительный |
|
параметр. |
|
|
|
Исследование частных решений уравнения (4.4) в окрест |
|||
ности |
решения (4.2) значительно облегчается и может быть |
||
проведено достаточно подробно, если мы найдем для урав нения (4.4) интегральное многообразие St и исследуем
решения на |
этом многообразии. |
|
|
Для дифференциальных уравнений (4.4) при выполнении |
|||
условий, приведенных в гл. Ill (стр. 99—100), |
существует |
||
устойчивое |
однопараметрическое |
интегральное многооб |
|
разие S t, представимое в виде |
|
|
|
X = *°(Ф) + -J- (Ѳ ( Ф ) /« Ф\ е) + |
Ѳ (Ф )/« |
Ф, е)}, (4.5) |
|
где / (vt, ф, в), / (vt, ф, е) — комплексно сопряжены, Q (ф) —
— ln X (« — 1)]-матрица, элементы которой являются 2лпериодическими функциями ф.
На многообразии S, исследование уравнения (4.4) сво дится к исследованию уравнения относительно скалярной переменной ф:
~ = а>+ Р (vt, ф, f (vt, ф, в), е) = со -f &F (vt, ф, е), (4.6)
где F (vt, ф, е) — периодическая функция vt и ф с перио дом 2л.
Применим для исследования уравнения (4.6) метод усреднения.
2. Первое приближение. Исследуем уравнение (4.6)
в резонансном случае, т. е. в предположении, что о близко к ~ ѵ , где р и q — целые, вообще говоря, небольшие, взаимно простые числа.
Тогда, полагая |
|
|
со = |
V ф- еД |
(4.7) |
Т
196 ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К ИСС ЛЕД ОВАН ИЮ Р Е Ш Е Н И Й
и вводя новую |
переменную |
|
|
|
|
= |
|
|
( 4 -8 > |
можем записать |
уравнение (4.6) |
в стандартной |
форме |
|
7 Г = е{л + F [vt, # + - £ - < |
в і| - |
(4.9) |
||
Согласно принципу усреднения, первым приближением |
||||
к решению уравнения (4.9) будет |
|
|
|
|
|
Ф = Ф , |
|
|
( 4 . 1 0 ) |
где О определяется из уравнения |
|
|
|
|
= |
гД + М jeF (vt,О + |
|
(4.1 і> |
|
(здесь символом |
tМ, как и обычно,обозначаем |
операцию |
||
усреднения по явно содержащемуся времени). |
|
|||
Запишем уравнение (4.11) в явном |
виде. Для этого |
|||
разложим функцию F [vt, О + |
е| |
в ряд |
Фурье: |
|
Очевидно, что выражение М j/71'vt, О -J- |
ѵ/, ejj бу- |
дет отлично от нуля только в том случае, если выполняется соотношение
— т 4 - п = 0, |
т. е. -j- = |
— |
(п, т = |
± |
1, ± |
2, ...). |
|
В этом случае имеем |
|
|
|
|
|
||
М [FIvt, |
# + Ч |
vt, 8)1 = F ^ e r W + |
F -P,qeW ] |
||||
M V |
q |
|
11 |
|
|
|
|(4.13) |
(p — n, |
q = — m; |
p ~ — n, q = m) |
|
|
|||
или, переходя к действительным функциям, |
|
|
|||||
М If [vt, |
vt, e )I = |
Apacos (qb + |
Ър„), |
(4.14) |
|||
где 'дрд — постоянная. |
|
|
|
|
|
|
|
§ 4. В Л И Я Н И Е МАЛОГО В ОЗ М УЩ Е НИ Я |
197 |
Таким образом, |
если |
|
то уравнение (4.6) |
вырождается в следующее: |
|
|
|
|
~ |
= еД, |
(4.15) |
откуда |
|
(ф = |
const), |
Ф = eAt + ф |
|||
или, согласно (4.7) |
и (4.8), |
|
|
|
тр = |
at + ф. |
(4.16) |
Подставляя значение ф из (4.16) в выражение (4.5), имеем
X = х° (at + ф) +
+ -і- (Ѳ (at + ф) f (vt, at + ф, e) + Ѳ (at + ф) / (vt, at + Ф, e)}.
(4.17)
Замечая, что / (vt, a t + ф. e), вообще говоря, величина малая (порядка е), можем резюмировать следующее.
Если |
то |
в первом приближении |
решение |
уравнения |
(4.4) будет иметь вид |
|
|
|
X = |
х° (at 4~ ф), |
(4.18) |
т. е. будет таким же, как если бы на систему не воздейст вовали внешние возмущающие силы еХ* (vt, х,г). Воздей ствие этих сил мы можем обнаружить при рассмотрении улучшенного первого приближения
X = х° (at + ф) +
+ ~2 іѲ |
+ Ф) /і « |
+ |
ф) + |
Ѳ И + ф) /і « |
+ Ф)}- |
|
|
|
|
|
(4.19) |
Здесь влияние внешнего возмущения сказывается в |
|||||
появлении |
слагаемого |
|
|
|
|
~2 ~{® (°^ + ф) /х (vt, |
+ |
ф) + |
Ѳ (at -f- ф) /х (vt, at 4- ф)|, |
||
|
|
|
|
|
(4.20) |
характеризующего наличие гармоник с частотами возму щающей силы, а также высших и комбинационных гармоник.
Рассмотрим теперь случай, когда
Р________ п_
ц |
т |
' |
198 |
ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е |
К |
ИСС Л ЕД О ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Й |
|
||
и, следовательно, |
уравнение |
(4.6) принимает вид |
|
|||
|
|
— |
= еД + |
sApq cos (q® + $РЧ) |
(4.21) |
|
или, |
учитывая |
(4.7), |
|
|
|
|
|
_ ^ |
= |
ю _ -£ -ѵ + |
еЛ„со8(<7Ф + Фи ). |
(4.22) |
|
Уравнение (4.22) интегрируется в квадратурах, однако характер его решений можно обнаружить и не прибегая
кинтегрированию.
Пусть
со — |
Р_ |
< \гА PQ |
(4.23) |
|
я |
|
|
Тогда, как известно, существуют постоянные решения уравнения (4.22) й = üt-, являющиеся корнями уравнения
F{p) — со---- V -f- гАрЧcos (дЪ ЪРЧ) — 0. |
(4.24) |
Для исследования устойчивости этих решений составля ем уравнение в вариациях
= — eqApg sin (q&{ + &pq) б#£, |
(4.25) |
согласно которому устойчивыми будут те корни Ф<( для ко торых
АРдsin (qfti + |
f)'pg) > |
0, |
(4.26) |
и неустойчивыми — те, для которых |
|
|
|
Ардsin (qft( + |
Ърд) < |
0. |
(4.27) |
Итак, если выполняется условие (4.23), решения урав нения (4.4) с течением времени приближаются к установив шимся решениям вида
X = X ° [ - ^ - v t -\г |
+ |
|
|
+ 4 - (ѳ ( т v t + |
f (vt - T |
v t + ^ e) + |
|
+ Ѳ (у |
vt + |
j f [vt, |
~ v t + $ h ej}, (4.28) |
где dt- — один из устойчивых корней уравнения (4.24).
§ 4. В Л И Я Н И Е МАЛОГО В ОЗ М У ЩЕ Н И Я |
199 |
Такое явление квазисинхронизации (мы добавляем при- • ставку «квази», так как здесь синхронизация может быть только приближенная, если пренебречь слагаемыми поряд ка е) будет наблюдаться только при выполнении условия (4.23), т. е. в случае, если частота внешней силы ѵ лежит Внутри резонансной полосы
|
-t-(ü — eAMq < v < -l-ü > + eApqq. |
(4.29) |
|||||
Пусть теперь условие (4.23) не выполняется. Тогда, |
|||||||
интегрируя уравнение |
(4.22), получаем |
|
|||||
|
/==-Ür + |
4 - f W |
+ |
#0’ |
(4-30) |
||
где / (0) — периодическая |
функция |
Ф с периодом 2л, |
|||||
|
|
р |
|
|
|
о2Д2 |
|
|
а = ко |
|
|
|
6 А РЧ |
(4.31) |
|
|
q |
! V |
4 |
(со —pv/q)2 |
|||
|
|
|
|||||
Из |
(4.30) находим |
|
|
|
|
|
|
|
б = а (t — Ф0) -Ь F (а {t — Ф0)), |
(4.32) |
|||||
где F (ß) — периодическая функция |
ß с периодом 2л. |
||||||
Учитывая введенное обозначение (4.8) и пренебрегая |
|||||||
величинами второго порядка малости, находим |
|
||||||
ф = |
и (е) t -f F |
|
|
|
|
|
(4.33) |
причем |
со (е) = со, |
ѵ (е) = |
ѵ при |
е = 0. |
когда не |
||
Таким образом, |
в |
рассматриваемом случае, |
|||||
выполняется условие (4.23), решение уравнения (4.4) будет
иметь |
следующий |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
х = х |
со (е) t -j- |
F w (g) — ~ |
V(£)) * + |
- у |
Ф о ) + |
4>o| + |
|||
+ |
|
со (в) t + |
F ((и (в) — |
у ѵ ( е ) ) і / + у ф |
0) + Фо^ |
X |
|||
|
|
X f(vt, со{г)1 + |
F |
(•*■) + ф0, е) + |
|
|
|||
+ |
Ѳ |
со(е) t + F Цсо(е)---- £-v(e)Jf + -^-ф0) + ф 0| X |
|||||||
|
|
|
X / « |
со(е)t |
+ F (• • •) |
+ ф 0, е)|. (4.34) |
|||