книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

к одному из стационарных решений (к квазипериодшескому решению в случае иррационального ѵ или к периодическому в случае рационального ѵ).

§ 2. Исследование структуры решений на двупараметрическом локальном интегральном многообразии уравнений, близких

кточно-интегрирующимся. Нерезонансный случай

1.Формулировка задачи. В §2 гл. Ill была доказана теорема о существовании и свойствах двупараметрического

локального интегрального многообразия St уравнения вида

параметр. В частности, было показано, что на многообра­ зии St, параметрическое представление которого имеет вид

ж = х° (ф, а) + -^-{Ѳ (ф, a)f(t, ф, а, е) + Ѳ (ф, a)f(t, ф, а, е)},

( 2 . 2)

исходное я-мерное уравнение эквивалентно двум уравне­

т. е. решений уравнений (2.3). Рассмотрим случай, когда Q[i) (t, ф, а, в), Рф (t, ф, а, е) —аналитические функции г:

и коэффициенты Qi,f) (t, ф, а), Р(,Р (і, ф, а) — целые поли­ номы относительно sin (nt + тф) и cos (nt + тф).

Тогда справедливы разложения

rfl- -m2=kО

правые части которых представляют собой конечные суммы. Вначале рассмотрим нерезонансный случай, то есть случай, когда ни при каких значениях а £ ЭД(St = (а0, ах))

не выполняется соотношение вида

Здесь следует напомнить следующее обстоятельство. Так как р и q, вообще говоря, могут принимать всевозмож­ ные целочисленные значения, то множество {p/q} является плотным и, следовательно, отношение p/q при соответствую­ щем выборе чисел р и q может приблизиться к любому на­ перед заданному числу.

Поэтому может создаться впечатление, что при любых значениях а £ 2 1 будет выполняться соотношение со (а) =

— plq (точный резонанс). В действительности же это н^так, потому что не все возможности, указанные соотношением со (а) = p/q, осуществимы.

Согласно приведенному выше условию разложения (2.5) имеют конечное число членов, и числа р и q вполне опреде­ ляются характером исследуемой колебательной системы, что и эквивалентно отличию от нуля указанных выше двой­ ных интегралов.

после ряда преобразований получим следующие уравнения:

Произведя, таким образом, в уравнениях (2.3) т последова­ тельных замен типа (2.7), (2.10) и т. д., приведем уравнения (2.3) к виду, когда в правых частях переменные t и -ф будут содержаться только в слагаемых, пропорциональных ет+х. Пренебрегая в правых частях уравнений (2.9) слагаемыми, пропорциональными е2, а в уравнениях (2 .1 2 ) — слагаемы­ ми, пропорциональными е3, получим уравнения, правые части которых не будут содержать t и "ф, а будут зависеть только от а. Такие уравнения проинтегрировать значитель­ но проще, чем непосредственно уравнения (2.3), которые в общем случае не интегрируются.

Заметим, что, отбрасывая в первом уравнении системы (2.9) члены, пропорциональные е2, и интегрируя получен­ ное приближенное уравнение на интервале (0 ,f)i где t£

£[0 , L/e], получим значение а с ошибкой уже не порядка

е2 (как в правой части уравнения, из которого мы его опре­

деляем), а порядка е. Подставляя найденное значение а во второе уравнение, определяющее і[з, в правой части этого уравнения совершим ошибку порядка е (так как со = со (а)) и, следовательно, при определении яр на интервале 1 0 , L/e] найдем его значение с конечной ошибкой. Для того чтобы

простые числа, приближенное стационарное решение (2.18) будет периодическим по t с периодом 2 nq.

Согласно условию (2.16), любое решение уравнений (2.13), для которого начальное значение а близко к а0, стремится при t 0 0 к одному из решений (2.17). Отсюда следует, что любое решение вида (2.14), начальное значение которого достаточно близко к начальному значению при­ ближенного стационарного решения вида (2.18), стремится

свойствами квазипериодичности и устойчивости обладают также и точные стационарные решения исходного уравнения на многообразии, и, следовательно, рассмотрение улучшен­ ного первого приближения позволяет установить некоторые качественные свойства точных стационарных решений ис­ ходного уравнения на многообразии.

3. Равномерная ограниченность точных решений исход­ ного уравнения на многообразии. Установим теперь огра­ ниченность произвольных точных решений уравнения (2 . 1 )

на локальном интегральном многообразии St.,

176 ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К ИСС ЛЕ ДО ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Й

Преобразуем для этого уравнения (2.3) к новым перемен­ ным. Введем вместо а и ф новые переменные g и <р согласно формулам

Применяя к уравнениям (2.22) рассуждения, аналогич­ ные изложенным в [78], устанавливаем для решений g (t) этой системы равномерную относительно t ;> 0 ограничен­ ность при достаточно малых g0. Это позволяет установить равномерную относительно t >■ 0 ограниченность точных решений исходного уравнения на многообразии (при со­ ответствующих начальных значениях). Действительно, точ­ ные решения исходного уравнения на многообразии имеют вид

где if (/) и о (f) определяются из уравнений (2.3). Прибли­ женное (улучшенное первое приближение) стационарное решение уравнения (2 .1 ) на многообразии имеет вид (2.18). Принимая во внимание, что g0 == 0 соответствует а0, при­ ходим к выводу, что, когда g0 лежит вблизи 0 , начальное значение решения исходного уравнения на многообразии лежит вблизи соответствующего начального значения при­ ближенного стационарного решения (2.18). В результате условие ограниченности точных решений исходного урав­ нения на многообразии может быть сформулировано сле­ дующим образом.

Существует такое въ что для любых 0 <с £ -< щ все ре­ шения уравнения (2 .1 ) на многообразии, начальные зна­ чения которых лежат достаточно близко к начальным

178 ГЛ. ІѴ. П Р И М Е Н Е Н И Е к И С С Л Е Д О ВА Н ИЮ Р Е Ш Е Н И Й

удовлетворяют соотношению (2.27). Согласно [78], такие решения уравнения (2 .1 ) на многообразии будем называть квазистационарными. В этом случае исследование характе­ ра решений сводится к решению итерационного уравнения

фп-ы = ф„ + 2л К (р (ф„)) + вФ (а0)} +

Итерационное уравнение типа (2.31) рассматривалось Пуан­ каре — Данжуа.

На основании их исследований для уравнения (2.31) справедлив следующий результат.

Существует предел

+ Е (ф) является монотонно возрастающей функцией, не остающейся постоянной ни в каком, сколь угодно малом, интервале.

Любое решение ф„ при неограниченном возрастании п приближается к одному из таких периодических решений.

Из этого результата следует, что в случае иррациональ­ ного о) (а0, в) решения системы (2.25) могут быть представ­ лены в виде:

g { t)= Фі(*. ю(а0, е)/ + ф, в),

(2.33)

Ф (0 = « (flо, в) Н - Ф + Ф 2 (*, © (а0, в) t - f ф , в),

рационального со (Ö0, г) на многообразии существуют ста­

Покажем теперь, что любые решения уравнения (2.1), лежащие на многообразии, для которых начальные значе­ ния могут не удовлетворять условию

So = Р (Фо).

но лежат достаточно близко к начальным значениям при­ ближенного стационарного решения (2.18), приближаются при <->оо к точным стационарным решениям уравнения (2 .1 ) на многообразии: к квазипериодическому — в случае иррационального со («0, е) и к периодическому — в случае рационального со (а0, е).

Для этого, очевидно, нужно показать, что, когда | g01<;

<0 О(т. е. начальное значение g находится в 0 о-окрестнос-

ти приближенного стационарного решения), любое решение уравнения (2.28)3 при п -> со приближается к решению предельного уравнения (2.26)3 в случае иррационального со (а0, е) и к периодическому решению этого уравнения — в случае рационального со (а0, е).

Если правая часть уравнения (2.28)а является монотон­ но возрастающей, этот результат непосредственно следует из лемм, доказанных в [78].