книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

из неравенства (3.74), учитывая, что Гх < Н/2, получим

превратим Rn в метрическое пространство, причем это про­ странство будет полное. Покажем теперь, что отображение Sy (t) является сжатием.

Для у (t), z (t) £ Rn можем написать

с о

Sy (/) = j G(t — т)/(т, у (т)) dx,

Отсюда, используя условие 4° теоремы, получаем

Из этого неравенства находим

Р (Sy, Sz) < qp (у, г),

где

Таким образом, выполнены все условия принципа сжа­ тых отображений, и следовательно, существует непрерыв­ ное, ограниченное на оси R решение у* (t) интегрального уравнения (3.71), а значит, и дифференциальной системы уравнений (3.68), причем

sup|j,y*(0l<

§ 3. СВЕДЕНИЯ и з ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 61

Это решение может быть найдено методом последователь­ ных приближений

00

Для доказательства последнего утверждения теоремы положим

9(f) = f ( t ) + x.

Легко видеть, что система (3.76) удовлетворяет условиям теоремы 3.10 об условной устойчивости и, следовательно,

будут существовать точечные многообразия 9Й и Ш^-т, обладающие, соответственно, свойствами (3.69) и (3.70).

€2 ГЛ. I. В В Е Д Е Н И Е

откуда

с о

Ц ^ + Л - у Ч О К 1' l | G ( < - T ) i l / ( T , ^ ( T + D ) -

—с о

— / ( Т , у* ( Т ) ) 1 dx < N s u p I у* (t + т ) — у* ( О I X,

t

где

о о

5.Системы уравнений в стандартной форме.

Оп р е д е л е н и е 3.5. Системой уравнений в стан­ дартной форме называется система обыкновенных диффе­ ренциальных уравнений вида

где X, X — л-векторы, t — время, е — малый положитель­ ный параметр.

Система уравнений

где

т

В Д = lim ~ \ X { t , l ) d t ,

7 -*со 1 Q

называется усредненной системой относительно системы (3.78) по явно содержащемуся времени.

Заметим, что указанный способ определения среднего от вектор-функции X (t, х) не является единственным. См., например, [141], [24].

Для исследования нелинейных дифференциальных урав­ нений широко применяется метод усреднения, использую­ щий идею усреднения в указанном выше смысле. Его сущ­ ность заключается в замене точного (исходного) уравнения,

§ 3. С В Е Д Е Н И Я ИЗ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й 6 $

описывающего какой-либо процесс, приближенным (усред­ ненным), более удобным для дальнейшего исследования. При этом должно удовлетворяться одно важное условие: усредненное уравнение должно описывать главные черты исследуемого процесса. Метод усреднения, возникший под влиянием задач небесной механики, впоследствии полу­ чил существенное развитие и применение для решения за­ дач теории колебаний.

Создание строгой теории метода усреднения принадле­ жит Н. Н. Боголюбову. Он показал, что метод усреднения связан с некоторой заменой переменных, позволяющей ис­ ключить время t из правых частей рассматриваемых урав­ нений с произвольной степенью точности относительно ма­ лого параметра е, и указал способ построения приближен­ ных систем уравнений, решения которых аппроксимируют решения исходной системы с произвольной наперед заданной точностью.

Н. Н. Боголюбов сформулировал и доказал две класси­ ческие теоремы, дающие обоснование метода усреднения в общем виде применительно к уравнениям в стандартной фор­ ме. Первая теорема Н. Н. Боголюбова при достаточно об­ щих ограничениях на правые части системы (3.78) устанав­ ливает оценку разности | х (t) — | (і) | между точным ре­ шением системы (3.78) и его первым приближением на сколь угодно большом, но конечном временном интервале.

Эта теорема позволила существенно расширить об­ ласть применения метода усреднения и в дальнейшем полу­ чила развитие и обобщение в работах многих авторов.

Вторая теорема Н. Н. Боголюбова устанавливает соот­ ветствие между такими свойствами решений точных уравне­ ний и соответствующих им приближенных, которые зависят от поведения этих решений на бесконечном временном ин­ тервале.

Имеется еще третья теорема Н. Н. Боголюбова, устанав­ ливающая соответствие между интегральным многообра­ зием точных уравнений в стандартной форме и интеграль­ ными многообразиями соответствующих им усредненных. Эта теорема послужила отправной точкой для создания тео­ рии интегральных многообразий.

В этом параграфе мы приведем вторую теорему Н. Н. Бо­ голюбова, которая будет нами существенно использовать­ ся в дальнейшем.

нений в стандартной форме (3.78) выполняются следующие условия:

Г. усредненная система уравнений (3.79) имеет квазиста­ тическое решение g = с„;

2 °. вещественные части всех п корней характеристическо­

шенияgo, в которой X (t, х) и ее частные производные по х до второго порядка включительно ограничены и равномерно не­ прерывны относительно х для х £ DPo, і £ R\

Е< е ' справедливы следующие утверждения.

1.Система уравнений (3.78) имеет единственное решение X = X* (і), определенное на всем интервале R, для которого

4. Пусть X (/) — любое решение системы (3.78), отлич­ ное от X* (/), удовлетворяющее при некотором t — t0 условию

И0 — ËJ <

Тогда, если вещественные части всех корней характери­ стического уравнения (3.80) положительны, то можно най­ ти такое tx 7> t0, для которого

Доказательство этой леммы мы приводить не будем, по­ скольку в дальнейшем будет излагаться более общая схема приведения исходных уравнений (в частности, уравнений в стандартной форме) к специальному виду, из которой сфор­ мулированный в лемме результат может быть получен как частный случай.

По тем же соображениям мы ограничимся лишь форму­ лировкой результата, устанавливающего существование и

обладают указанными выше свойствами. Тогда всегда можно указать такие положительные постоянные еь рх, р2 (sx С

<8 0; р2 •< Рі -< Po). чт0 для всех г С ех уравнения (3.85)

допускают в р2-окрестности существование единственного решения h = / (t), почти-периодического по t с частотным базисом вектор-функции Q (/, h, г).

Если вещественные части всех корней уравнения (3.88) отрицательны, то это решение обладает свойством при­ тяжения любых решений ht уравнений (3.85), выходящих в

жительные, то к решению f (t) будут притягиваться лишь те решения, начальные значения которых принадлежат осо­ бому s-мерному многообразию точек f (t„). Остальные реше­ ния ht будут отталкиваться от решения f (і0).

З а м е ч а н и е 3.6. Если Q (t, h, е) — Т-периодиче- ская функция /, то / (t) — также Т-периодическая функ­ ция t.

Результат, сформулированный в теореме 3.12, непосред­ ственно вытекает из лемм 3.1 и 3.2.

Глава II

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СТАНДАРТНОЙ ФОРМЕ

В настоящей главе кратко изложим основные результаты Н. Н. Бо­ голюбова, относящиеся к вопросам существования и свойств интеграль­ ных многообразий уравнений в стандартной форме. Подробное доказа­ тельство приводимых здесь лемм и теорем можно найти в известных мо­ нографиях [13], [17].

§ 1. Приведение уравнения в стандартной форме к специальному виду

Пусть выполняются следующие условия:

Г. вектор-функция X (t, х) определена и непрерывна

допускает существование среднего

равномерно для всех х £ D\ 2°. усредненное уравнение

Иу

р0-окрестность орбиты периодического решения (1.3), при­

надлежащая области D;

4°. X (t, х) — почти-периодическая функция t равно­

мерно относительно х £ DPo.

При этих предположениях исходное уравнение (1.1)

но малыми при малых h, г.

Изложим кратко схему приведения уравнения (1.1) к специальному виду (1.5).

где

еХх (t, х) = гХ (/, х) — еХ0 (х).

Возьмем комплексную оболочку пространства Rn и рассмотрим комплексное евклидово пространство Сп, эле­

где матрица А (ф) — периодическая по ф с периодом 2я. Легко видеть, что из существования 2л-периодического по-

*) В дальнейшем всюду, не делая специальных оговорок, при рас­ смотрениях, связанных с исследованиями спектра матриц, будем пере­

ходить к комплексному расширению евклидова пространства R n .