книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

Аналогичное соотношение справедливо для комплексно-со­

где b u b комплексно сопряжены, при этом выберем такое 8 0, чтобы при (b, Ъ) £ Uб„ переменная х, определяемая выра­ жением (1.17), не выходила из области своего определе­ ния DPo.

Заметим, что матрица Q (ф) в общем случае является ком­ плексной; она может быть действительной, если в представ­ лении Флоке (1.9) воспользоваться матрицей 5 (ют) с удво­ енным периодом. Поэтому, чтобы не вводить в уравнениях удвоенный период, оставив при этом х вещественным, за­ мену переменных х -> {ф, b} можно выбрать в виде (1.17).

Подставляя выражение (1.17) в уравнение (1.6), полу­ чаем

+ Q(Ф) Щ + eXx [t, x° (ф) + -L(Q (\p)b + Q (ф) b)j =

= e-X0 (x° (ф)) 4— Л (гр) (Q (ф) b + Q(ф) b) +

+ e^o (*° (Ф) + ~Y (Q (Ф) b + Q(Ф) b)) — eX0 (x° (ф)) —

— -j- A (ф) (Q (i|))& + Q(»Wb) -f

или, учитывая тождество (1.4), а также соотношения (1.16)! и (1.16)2,

второго порядков; спектр матриц Я, Я не пересекается с мнимой осью и в общем случае расположен в левой и пра­ вой полуплоскостях.

В качестве разрешающего условия примем Z = Z, заметив при этом, что могут быть выбраны и другие условия разре­ шимости.

74 ГЛ. П. М Н О Г О О Б Р А З И Я У Р А В Н Е Н И Й В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОР МЕ

5. Спектр постоянной матрицы Н не пересекается с мни­ мой осью и в общем случае расположен как в левой, так и в правой полуплоскостях *).

6 . Если условие 3° об ограниченности и равномерной не­ прерывности частных производных функций X (t, х), X (х) по X до второго порядка включительно усилить требова­ нием ограниченности и равномерной непрерывности частных производных по X до т-го порядка включительно, то функ­ ции^ (t, g, h, е), R (t, g, h, e) также будут обладать огра­ ниченными и равномерно-непрерывными частными произ­ водными по g, h до т-го порядка включительно (см. [17], формулы (27.66), (27.69), (27.73), (27.89)).

За м е ч а н и е 1.1. Рассмотрения, аналогичные при­ веденным выше, можно провести также для случая, когда g является r-вектором (g = glt ..., gr).

За м е ч а н и е 1.2. В специальном случае, когда пере­ менная t входит в функции W я В посредством комбина­ ции ф + vt, т. е.

правые части которых не содержат независимой перемен­ ной і:

- Hh + R (ft, h, e).

но упростить, использовав аппарат проекционных опе­ раторов.

*) В дальнейшем, для простоты записи, функцию f (t, g, h, г), обладающую свойствами 2—4, будем полагать принадлежащей классу

(ёѴ- м (е) 1/г=0’ х (е. ö)g,ft)-

частоты могут быть выбраны независимо от е.

Для каждой почти-периодической функции существует среднее значение

Н-г

f F (/, x)dt = F(x),

T~+oo * I

причем сходимость к пределу будет равномерной по отноше­ нию к t, X.

Введя понятие среднего значения, можно охарактери­ зовать спектр {Хѵ} функции F (t, х) следующим образом.

Для почти-периодических функций существует счетное множество частот {Хѵ}, не зависящих от х, такое, что для всякого X, не принадлежащего к нему, выполняется соот­

ношение

т

W m ~ \ F{t, х)е~ш dt = 0. Т^оо 1 Q

Сформулируем теперь следующую лемму.

Л е м м а 2.2. Пусть функции, стоящие в правой части уравнений (1.5), обладают указанными на стр. 73—74 свойствами 1—5. Пусть, кроме того, существует последо­

а множество {юа} является ее частотным базисом, то тог­ да вектор-функция F (t, g, е) в правой части уравнения (2.4) также является почти-периодической равномерно относи­ тельно g и с тем же частотным базисом.

78 гл . И. М Н О Г О О Б Р А З И Я У Р А В Н Е Н И Й В С Т А Н Д А Р Т Н О Й ФОРМЕ

3.Лемма об устойчивости интегрального многообразия.

Ле м м а 2.3. Пусть правые части уравнений (1.5) обладают приведенными на стр. 73—74 свойствами 1—5. Тогда всегда можно указать такие положительные постоян­

ные г, е*, б, б*, у, С (е < е* < е'; б < б* < б2), что, если s точек спектра матрицы Н расположены слева от мни­ мой оси, а остальные п — 1 — s — справа, то для каждого

ствует s-мерное многообразие 311 (?0, g0, е) точек {h} со свой­ ствами:

1 ) если для t = t0

где (g0, К) представляет (gu ht) при t — (0;

3)если все точки спектра матрицы Н расположены спра­ ва от мнимой оси ($ — 0), то многообразие ЭЛ (t0, g0, е) вы­ рождается в точку h = f (tQ, go, 8 );

4)если все точки спектра матрицы Н расположены сле­ ва от мнимой оси, то многообразие ЭЛ ({0, g0, е) совпадает со

всей окрестностью IJ^.

З а м е ч а н и е 2.2. Из леммы 2.3 следует, что в ок­ рестности Uj может находиться лишь одно единственное

интегральное многообразие уравнений (1.5), а именно, многообразие ЭЛ,, представимое соотношением (2.1).

В самом деле, это утверждение очевидно в случае s = = 0. Случай s — п — 1 переходит в первый, если в уравне­ ниях заменить t на —t.