книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

F <’ pn (ф„) =

2.Т0), [рп

(ф„)]

dH,

,

dH,

dpn

(2.34)

d<fn

др„

d(fn

Мажорируя правую часть (2.34) и принимая во внимание,

что *)

дН1

< G,

дН1

< G ,

дрп

<е0,

I(öl(р(ф))I<

М,

дРп

дфп

д(рп

получаем

(2.35)

I

(фп)I< 2neMG -f е2{G +

eG2}

(G,

М =

const).

Поэтому для

достаточно

малых

значений е,

для

которых

имеем

2neMG +

е2

{G +

eG2}<с 1 ,

1 +

F<Pn(фп) >

0 ,

откуда

следует, что

функция

фп Н- Р (фп) =

Ф« +

2 я {©! (р„ (ф „)) +

еФ (а0)) +

+

е2 ^і(ф ». Ря(Фп), е)

является

монотонно

возрастающей.

и

свойствах

семейства

6.

Теорема

о

существовании

точных стационарных решений на многообразии. Итак,

установлено, что при выполнении соотношения h 0 =

р (ср0)

рассмотрение уравнения (2 .1 ) на многообразии сводится к

рассмотрению итерационных уравнений (2.26)ь (2.26)2, для

которых установлено существование стационарных реше­

ний:

квазипериодических — в

случае

иррационального

to (а0,

е),

и

периодических — в

случае

рационального

to (а0, е); при этом к указанным периодическим решениям

стремятся любые решения уравнений (2.26)!, (2.26)а. Отсюда

*) Неравенства (2.35) устанавливаются исходя из свойств функций

P { t , Ф,

g ,

е), Q( t ,

ф, g ,

е).

182

ГЛ. IV. П Р И М Е Н Е Н И Е

К

И С С Л Е Д О В А Н И Ю Р Е Ш Е Н И И

3°.

Уравнение

имеет изолированное апатическое решение а =

п0,

для ко­

торого F (а0, е) <

0 .

Тогда можно указать такие положительные постоян­

ные Sj, р2, где р2 <

p' (p'

определено в § 2 гл. Ill),

что для

любых

положительных

е •< ех

справедливы

следующие

утверждения.

. 1 имеет)

семейство точных стационар­

1 .

Уравнение ( 2

ных решений, лежащих на многообразии

x(t) =

x°(ty(t), a(t))

+ -L ІѲ(г|;(/), a{t))f{t, гр(1), a(f),e)-{-

+

Ѳ(г[) (t),

a{t))](t, я|і (0) a (f),

e)},

(2.37)

где г|i (t) и a (t) определяются из

уравнений (2.36).

2.

Поведение этих решений характеризуется величиной

к рассмотрению

«резонансного» случая, когда при некото­

рых значениях

а £ % может выполняться

соотношение

сo (a )^p /q ,

(3.1)

§ 3.

Р Е З О Н А Н С Н Ы Й С Л У Ч А Й

183

где р

и

q — целые взаимно простые числа,

определенные

в (2 .6

).

При исследовании резонансного случая уравнение (2.1)

удобно

записать

в виде

= X (х) + гХ* (vt, X, е),

(3.2)

периодом 2я/ѵ. Тогда условие резонанса

примет

вид

а (а )^р ѵ /д ,

(3 .3 )

а система уравнений (2.3) запишется в виде

— —■eQ(f)(vt,

ф, а, е),

j

dt

!

(3.4)

di p

: (о (а) +

еР( ) (vt, ф, а, е).

j

основного

резонанса, т. е. случая, когда р = q =

1 (см.

[1 0 0 ]).

Вводя в рассмотрение фазовую расстройку

Ѳ= ф — vt,

(3.5)

перепишем

уравнения

(3.4) в

виде

da

= eQm (vt,

vt + Ѳ,

а, е),

Ч Г

(3.6)

Q{f)(vt,

vt +

Ѳ,

а,

s) ^

^

enQ(nf) (vt,

v t+Ѳ, а),

п=0

(3.7)

Р<п (vt,

vt +

Ѳ,

а,

е) =

2

&npi^

«

vt + Ѳ> °).

причем

п=О

Qo) (vt,

vt 4 - Ѳ,

а) =

Qof>(а)

+

2

e

m(«)^[m'+ffllV(+e)].

n,m

Po' (vt,

vt +

0 ,

fl) =

(fl) +

2

P t , m (fl)ei[nV<-|-m(vH-0)]

n,m

пг-{-тгф0

где

QoXm (а) 2=л

2 л

=

\

Qof ) ( <

V / + 0 ,

a)e-'[»v/+mv/+e)]Éfv/ flf(v/

_(_ Ѳ),

о

о

Ро .п .т ( а )

2я 2я

iu ®>

а) e-'C'ivz+nuvi+e)] * * d (xt -f Ѳ).

о

0

Вводя

функции

ui «

xt +

n

,

V

< . * ( ‘Ч)‘г[пѵ,+т<ѵ‘+Ѳ,,]

>

Üx, ax) =

2 J

------------

ШСО(öj)J

n,m

І [лѵ +

п2-\-т*ф0

п+тфО

+ uio(ai> ®l)>

» 1 (xt,

xt +

Ѳх, ax) =

V]

Р о! л . т (fll) еІ'С"Ѵ Н ‘"і(ѴІ+Ѳ,)]

} i3 '8)

i [лѵ +

ЛКО (o1)]

ntm

«a(a1 ) < U

( a1)el'['1V<+m<V'+e‘,]

ѳі).

[лѵ + 171(0 (üj)]2

уравнений

(3.6) замену переменных согласно формулам

а = ах4-

(xt, xt + Ѳ1( ax), Ѳ= Ѳх + et't (xt, xt -f Ѳх, ax),

(3.9)

- ь - - » [ * > , )

+

s

<& „ «■,>««■] +

dt

п,т

п*-\-т*ф О

n-|-m= 0

e2RU) (xt,

xt -f Ѳъ

аІУ е),

■Щг-= с о ( a x) —

V +

е {P T ( о х ) + Е

Рокт ( й і )

еітѲ і - f

п,т

n*+m*=5t0

n-j-m= 0

4- Юа (ях) и1(,{о1(

Ѳх)| -f e25<f) (ѵ/, ѵ/+

Ѳх,

ax> е).

§ 3. Р Е З О Н А Н С Н Ы Й С Л УЧ А Й

185

как и

функции Q(f\

Р^}.

случаем функции

Вводя

по аналогии

с

предыдущим

и2 (vt,

vt

+ Ѳ2, й2), ѵ2 (vt,

vt + Ѳ2, а2) и

совершая в систе­

а1= а 2 + еан2

(vt,

vt +

Ѳ2,

а2),

Ѳ, =

02

-f е2 У2

(vt, vt -ф Ѳ2,

а,),

(3.11)

получаем

=

8 IQof>(a2) +

2

QÖ!U (a2)

+

n-fm=0

+ e2

f ^ n (a2) +

2

)

+

I

n.m

п‘+тгф0

n+m=0

-P e3R{3h (vt,

vt -f- Ѳ2,

ß2, e),

-^rr- =

w (a2) — V -f- e fp (oh (a2) +

2

^cu.« (a2) eimd*+

u

1

«,/n

п*-\-тгфО

rc-j-m= 0

-b Од (a2) w1 0 (Ѳ2, й2)| -f-

4 -e2 |S (0f) (a2) +

2

Scu,™ (a2) ешѳ*+ ®â (a2) «2

о(Ѳ2,

a 2)]+

1

n,m

I

п‘~І-тгфО

п+т—О

+ es5j (vt,

vt + 0

2, o2, e).

(3.12)

резонансного случая

по поводу

точности, получаемой

при

интегрировании

приближенных уравнений,

очевид­

но,

что в первом (улучшенном)

приближении

решение

186

гл.

IV. П Р И М Е Н Е Н И Е К

И С С Л Е Д О В А Н И Ю

Р Е Ш Е Н И Й

уравнения (3.2)

на многообразии будет иметь вид

X — х°(ѵ/ + Ѳ,

а) +

(Ѳ (vH- Ѳ, ä)f(vt,

vt -(- Ѳ, а, 0) -f-

+

Ѳ(ѵ* +

Ѳ, а) 1 (vt, vt + Q,

а,

0)}, (3.13)

где а и 0

определяются из системы уравнений

~

= е |Qof) (а) +

2

Qokm (а) е/тѲ| +

п2- -т2фЪ

п- -т—0

+ е2

№

(а) +

У,

Rokm (а) еітЬ\ = гР (а,

Ѳ,

е),

I

п,т

)

п2-{-т2ф0

dQ

п- -т=д

- s

.

_

= С 0 ( а ) - Ѵ

+

+ 8

(

(а) +

п,т

P{J k m (а) еітѲ+ (о'а (а) и10(Ѳ, а)\)=

п2- -т2ф0

п- -т=0

= оз (ах) — V+

еФ (а, Ѳ).

(3.14)

а — а0, Ѳ =

Ѳ0) соответствующее

положению равновесия,

F(a0,

Ѳ0, e )= 0 ,

со (aQ) — v -f еФ (a0,

Ѳ0) = 0, (3.15)

причем корни уравнения

X2— е [Fa (а0, 00, е) — Фѳ(а0, Ѳ0)] X +

eFѳ (а0,

Ѳо-

е) М а 0)+

+ е2 [Ф0 (а0,

0О) FQ(а0,

Ѳ0, е ) — Fa (а0,

Ѳ0, е) Фѳ (а0, Ѳ0, е ) ] = О

(3.16)

имеют отрицательные

действительные части.

Тогда приближенное (улучшенное первое приближение)

стационарное решение

уравнения

(3.2)

на

многообразии,

соответствующее решению а0, Ѳ0,

будет

иметь

вид

X= *° (vt +

Ѳ0, а0) Н—

{в (vt +

Ѳ0, а0) f (vt, vt +

Ѳ0, a0, 0) ф

+ Ѳ(ѵ/ + Ѳ0, a0)f(vt,

vt +

Ѳ0,

a0,

0)}.

(3.17)

§ 3. Р Е З О Н А Н С Н Ы Й С Л У Ч А Й

187

ным уравнениям

(3.14)

являются

периодическими

по /

с периодом 2 я/ѵ,

можем,

применяя

непосредственно

метод

тическое решение а = а„, Ѳ = Ѳ0,

то всегда найдется такое

положительное е0, что при любых

положительных е < е0

на многообразии St существует периодическое стационар­

ное решение дифференциальных уравнений (3.2) с перио­

периодическому решению. Таким образом, в данном

случае

точные решения обладают свойством первых

приближений.

2 .

Исследование

общего случая. Уравнения (3.14), в

которых F (а, Ѳ,е),Ф (а, Ѳ) — 2я-периодические функции Ѳ,

могут

иметь решения

следующих двух типов:

а) с

колеблющейся

фазой,

а = L (ей/ +

ф), Ѳ= A4 (ей/+

ф),

(3.18)

а = L (ей/ -ф- ф),

Ѳ= М (ей/ +

ф) + ей/.

(3.19)

Введем следующие обозначения:

ѵ =

ѵ + ей,

v/ = ß, vt =

a.

(3.20)

Тогда, очевидно,

имеем

L (ей/ -J- ф) == L (а —ß -J- ф);

М (ей/ + ф) = М (а — ß + ф);

(3.21)

X

=

х ° (ß -f- М (ос. — ß "Ь "Ф)>

— ß -j- ф)) -p

+ ~ {Ѳф + М (а — ß + ф),

L (а — ß +

ф)) / (ß. ß +

+

M (а — ß + ф), L (a — ß + Ф),

0) +

Ѳ (ß + A4 (а — ß +

+

^ ),Ь (а —ß + Ф))/ (ß, ß +

M(a — ß +

ф), L (a—ß+^),0)}=i

^ Z . i a ,

ß),

(3.22)

где Zi (а,

ß) — периодическая функция а

и ß с периодом

2 я,

и для случая б) — в виде

X =

х° (а + М (а — ß + ф),

L (а — ß + ф)) +

+ ~2

~ 1

© (а + М (а — ß + ф), L (а — ß + ф)) / (ß,

а -f*

-j-M (а —ß +

ф),

L (а — ß +

Ф),

0) -j-

-ь Ѳ (а -f Af (а — ß + ф), L (a — ß -f- ф)) / (ß,

а +

+

M (a — ß -f ф),

L (a — ß + ф),

0)} =

Z2 (a, ß), (3.23)

где

Z2

(а,

ß) — также

2 я-периодическая

функция

а, ß.

общее решение

вида

а == L (eüt -f- ф, Сег}л),

Ѳ= М (sQt

ф, Сет )

(3.24)

в случае а) и

вида

а — L (еШ -f- ф,

CeeW),

Ѳ= М (гШ + ф,

Сеш ) +

eQt (3.25)

§ 3. Р Е З О Н А Н С Н Ы Й С Л У Ч А Й

189

а)

в виде

..

..

,

X = х° (ß -f- М (а — ß -f-

СегХІ),

L (а — ß -j- ф,

CeeXt))

\-

+

(Ѳ (ß 4

- M (a — ß + ф,

СегХІ),

L (а — ß +

ф,

Сеш )) >4

X /(ß,

ß +

M (a — ß + ф),

L(a — ß + ф),

0) +

+ 0(ß +

M (a — ß -f-ф, СегКІ),

L(<x— ß -f ф,

CeeXt)) X

^/(ß>

ß +

M (a — ß + ф),

L{a — ß +ф),

0 )) =

= Y x(a,

ß,

g ) ,

(3.26)

где Y x (a, ß, g) — периодическая функция а,

ß с периодом

2 л, и в случае б) — в виде

X = х° (а -f- М (а — ß +

ф,

Сеш),

L (а — ß + ф,

СеЕМ)) +

+

-у- {Ѳ (а + М (а — ß -j- ф,

СегХІ),

L{а — ß + ф,

Сеш )) х

X /(ß,

а +

/И(а — ß +

ф),

L(a —ß + ф),

0) +

+ Ѳ ( а + Д 4 ( а — ß +ф, CeeXt),

L(а —ß + ф, Сеш ))

X

X 7 (ß. а +

M (а — P. -L , x

L (а — ß + ф),

0)) =

=

>%(«,

ß. g), (3.27>

где Y2 (а, ß, g)

также

является периодической

функцией

а,

ß с периодом 2 л.

На основании того, что один характеристический пока­