Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

22.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

120 г л . III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й

§ 3. Интегральные многообразия систем нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка

1. Приближенное представление двупараметрического интегрального многообразия. Рассмотрим колебательную систему с N степенями свободы, для которой невозмущенная система соответствует обычной схеме теории малых колеба ний и, как известно, полностью характеризуется кинети ческой энергией

		I	"	arsqrqs		(3.1)
		Т =	2	arsqrqs		(3.1)
		z	r,s==1
и потенциальной			N
		I	N			(3-2>
		^ = у	2 crSq/7s.			(3-2>
где	qs (s =	1, ..., N) — обобщенные			координаты	и ars, crs
(г,	s = 1, ..., N) — соответственно				инерционные	и ква-
зиупругие		коэффициенты, причем		ars = asr, crs =		csr.
	Подставляя значения (3.1) и (3.2) в уравнения Лагран

жа, получаем дифференциальные уравнения невозмущен ного движения

2	(<W7S+	crsqs) =		0.	(3.3)
S = 1
Предполагая, что	возмущение		определяется малыми
обобщенными силами
eQ,(<7i, • • • . qN , q 1 ,	• • • , qN,	<0	(r	= l ,	, N ) , (3.4)

приходим к задаче исследования следующей системы диф

ференциальных	уравнений второго	порядка:
N		.	.
2 [artqt + crsqs) = eQr (qu ... ,		qN,q lt ...	, qN,e)
	( r = 1............ N),		(3.5)
которые при e =	0 вырождаются в	уравнения (3.3).

С помощью специальной замены переменных система уравнений (3.5) может быть приведена к уравнениям в стандартной форме, для которых в главе II подробно изло жена теория интегральных многообразий и рассмотрены их свойства.

Однако в ряде случаев целесообразно построить ин тегральное многообразие непосредственно для системы

[ § 3. М Н О Г О О Б Р А З И Я СИСТЕМ ВТОРОГО П О Р Я Д К А

121

уравнений (3.5), не приводя ее предварительно к стандарт ной форме.

Напомним некоторые известные факты из теории ли нейных дифференциальных уравнений.

Как известно, частные решения невозмущенной системы уравнений (3.3), соответствующие нормальным колебаниям, представляются выражениями

qs •■=qps7) а cos (со/ +

Ѳ)

(s, /

1, . . . , N),

(3.6)

где

со/

(j =

1, ..., N) — собственные

частоты,

определяе

мые характеристическим

уравнением

det I — arscö2 +

crs | = 0,

(3.7)

<p‘;)

(s,

/ =

1, ..., N) — нормальные

функции,

являющие

ся нетривиальными решениями системы однородных

ал

гебраических уравнений

{ -

ars(02j+ cys}Ф<Л = 0

(/-,/=

і, . . . ,

(3.8)

S = 1

и обладающие свойством ортогональности

= 0

;

= 0

(}ф І),

r,s~\

/-,s=!

а а и Ѳ — вещественные произвольные постоянные.

Заметим далее, что колебания, возбуждаемые в невозму

щенной системе (3.3) гармоническими силами

Qr =

Егcos (at -f О)

(г — 1,

... ,

N),

(3.9)

определяются выражениями

qs =

uscos (at -f- 0

(s =

. . . ,

N).

(3.10)

Для амплитуд us после

ряда выкладок получаем формулу

(и

_______ ,

(S =

1 , .

АД

(3.11)

m/ Ц - а 3)

+ C(ps

/ =

где с — произвольная

постоянная, тj — 2

^Ф^Ф^*

1, ..., N).

r,s=l

Предположим теперь, что для рассматриваемой системы

(3.3) выполняются следующие условия.

122 гл. 111. МНОГООБРАЗИЯ ВБЛИЗИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ

Г. В невозмущенной системе возможны незатухающие гармонические колебания с частотой сси, зависящие только от двух произвольных постоянных.

2°. Единственным решением, соответствующим равно весию в невозмущенной системе, является трививальное решение

Qi = Я2 = * * • = Яп = 0.

3°. Ни частота ©і, а также ни один из ее обертонов 2alf 3o)t, ..., k(Oi,... не равны какой-либо собственной частоте

ы2, Юз, •••> невозмущенной системы.

При этих условиях мы можем построить двупараметри ческое интегральное многообразие для системы (3.3) в виде

qs = фі!) а cos ((Ojt + ft)	(s = 1..........N),	(3.12)
где а и # — постоянные. На	многообразии (3.12)	система
(3.3) эквивалентна двум уравнениям

Т Г = 0’	-зг = "ь	<3J3>
интегрируя которые, находим
а = а0 = const,	ф — coj -f- Ѳ,	(3.14)
где а0 и Ѳ — произвольные постоянные.		(3.12), полу
Подставляя выражения (3.14) в формулы		(3.12), полу

чаем семейство интегральных кривых системы (3.3), зави сящее от двух произвольных постоянных а и Ѳ и лежащих на многообразии (3.12). Это семейство соответствует коле баниям в системе, совершающимся с первой основной ча стотой (i)t. Приведенные выше три условия, которым удов летворяет система уравнений (3.3), обеспечивают сущест вование такого двупараметрического семейства, но не гарантируют его устойчивости. При ряде ограничений на функции (3.4) можно доказать существование интегрального многообразия для возмущенных уравнений (3.5) и устано вить его свойства. Это можно сделать так же, как и в гла ве II при рассмотрении уравнений в стандартной форме, или как в § 2 этой главы при рассмотрении уравнений, близких к точно-интегрирующимся.

Здесь мы остановимся на иной задаче — построим при ближенное выражение для интегрального многообразия системы (3.5), зависящее от двух параметров, близкое к двупараметрическому многообразию невозмущенной систе мы (3.3).

I § 3. М Н О Г О О Б Р А З И Я СИСТЕМ ВТОРОГО П О Р Я Д К А			123
Многообразие для системы (3.5),	близкое к многообра
зию (3.1 2 ), ищем в виде
qs = фа1’ a cos ф + ем^ (а, ф) +	e2	« f’ (а, -ф) + е3...
(s= 1..........N).			(3.15)
Для определения функций и[1) (а,		ф), u(s2 )(a, ф),...,	стоя

щих при степенях малого параметра е, поступаем следую щим образом. Подставляем ряд (3.15) в систему уравнений (3.5) и приравниваем в полученном выражении слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях е. В ре

зультате для определения функций (а, ф), u f] (а, ф),...

получаем ряд систем дифференциальных уравнений второго порядка, в правых частях которых стоят функции, перио дические по ф. Принимая во внимание сделанное нами выше замечание о свойствах систем вида (3.3), определя

ем из полученных систем уравнений функции иі1) (а, ф),

т4 2) (я, ф),..- как вынужденные колебания (как частные ре шения, соответствующие внешним возмущающим периоди ческим силам). После ряда элементарных алгебраических

выкладок получаем для					(а,	ф)	следующее выражение:
				N		(!)
иі1)(а, ф)= 2		N		2 t f ° W		(!)
иі1)(а, ф)= 2			Ф<7)	'= ‘		+
	/■=і
			N
	N		2	{$l> (а)cos t			(а)sin ф) фЯ
+	S	^	Г= 1	________________________					+
+	S	^			т/ (соj — (іф				+
					N
			N	(!)	2 uik) (a)cos &ф +			(°)sin
			"	(!)	r=1		___________________
				(S=	1..........N),				(3.16)
где введены обозначения
	2	JI
frk>(a) =	JQr(Ф(і°а cos ф .......... —						ф^асс»! э іп ф ,		. . . . 0) х
	о							К	cos &ф йф,
								К	cos &ф йф,

124 ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й

q?\a) =	j Qr (фі^а cos гр,	...	, — ф^ас^ sin ф, ...	, 0 ) X
X stnfoficty (r = 1,		. . .	, ІѴ; k — 1, 2, .. .).	(3.17)

Рассматривая следующую систему уравнений, получим

выражение для uf* (а, ф) и т. д.

В результате можем построить приближенное представ ление интегрального многообразия системы (3.5) с точно стью до величин порядка ет . На этом интегральном много образии система (3.5) эквивалентна двум дифференциальным уравнениям относительно а и ф (приближенным)

~ = еЛі {а, е),

-^ - = (о1 + е51 (а, е)

Впервом приближении для величин еЛ4 (а, 0) и еВі (а, 0) после ряда выкладок (заметим, что эти выкладки являют ся совершенно элементарными) получаем

еАу (а, 0 ) =			2 я	до
еАу (а, 0 ) =	1 ^ 4		\	2	/ 4	^ COS ф , . . . ,
		—	Ф і ^ а ю ^ т ф ,			. . . ,	0 ) s i n ip dip,
еВ1 (а, 0) =			2л	pj
еВ1 (а, 0) =	2 ~	^	і	Е ф ^ Д ф ^ С О З ф ..........
	і.	1	П	/»1
		— Фі1 ,асо1			sin ф,	... ,	0) cos ф dtp.

(3.19)

Сопоставляя теперь выражение для представления ин тегрального многообразия возмущенной системы (3 .5 ) в первом приближении

qs --■=ф^а cos ф + £u[l) (а, ф)

(3 .2 0 )

с выражением для интегрального многообразия невозму щенной системы (3.12), видим, что уже в первом прибли жении интегральное многообразие, рассматриваемое как

§ 3. М Н О Г О О Б Р А З И Я СИСТЕМ ВТОРОГО П О Р Я Д К А

125

некоторая двупараметрическая поверхность, деформиру ется благодаря наличию малых поправочных сла^емых

ги[1) (а, ф).

Двупараметрическое семейство интегральных кривых си стемы (3.5), определяемых выражениями (3.20), в которые подставлены значения а и ф, определенные из системы урав

нений (3.18), по сравнению с кривыми
qs = cps'^oCos (co^ + Ѳ)	(3.21>

претерпевает деформацию не только за счет того, что кри вые лежат на многообразии (3.20), но и за счет того, что они определяются из более сложной системы уравнений (3.18), чем система (3.13).

Можно было бы рассмотреть и более общий случай внешней возмущающей силы, когда она зависит также и от

времени (периодически)
zQr М	Яѵ • • •	. ЯN, Яі..........Фѵ, е)	(г = 1, . . . . N).	(3.22)
В этом случае приходим к рассмотрению системы
N	iarsQs +	Сг$Яа) = е<З.К Яъ	4N,(h..........ЯЫ, 8)
2	iarsQs +	Сг$Яа) = е<З.К Яъ	4N,(h..........ЯЫ, 8)
		(Г= 1, ... ,	N).	(3.23)

Для системы уравнений (3.23) приближенное представ ление для двупараметрического интегрального многообра зия, близкого к интегральному многообразию невозмущен ной системы (3.3), ищем в виде

qs = ф^а cos ф e«slf(а, ѵ£, ф) -f- е2		м^2’ (а, vt, ф) -(- е3 ...
( s = l ..........	N).	(3.24)

Производя аналогичные рассуждения и выкладки, на ходим функции и[1) (а, vt, ф), uf* (а, vt, ф), ...

Так, для и[1*(a, vt, ф) получаем следующее выражение:

		N	(а)еп+тѴ
N			(а)еп+тѴ
ul'*(a, vt, ф) = Yi Yi	ф(к) Г ~ \ _________
п,т k—		mk	— (лѵ + mcOif]
(s= 1	,	N ) ,	(3.25>

126 ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я			В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х		Р Е Ш Е Н И Й
где введено обозначение
	2	я Ія
Qro (а) =	J	QrJ «	COSФ і -1ф)...............а
	о о		dtdq	(г = 1	N).
— ф(1 и ао»! sin ф..........		0)

Не входя в детали дальнейшего исследования свойства многообразия для системы (3.5), сопоставления приближен ного многообразия (3.15) с точным и т. д., заметим, что ос новной целью настоящего параграфа являлась иллюстрация того, как для достаточно сложной системы уравнений (3.5) или (3.23) может быть легко построено приближенное пред ставление для двупараметрического интегрального много образия.

Ниже мьь исследуем устойчивость двупараметрического интегрального многообразия системы уравнений типа (3.23).

2. Теорема о «сильной» устойчивости двупараметриче ского интегрального многообразия. Рассмотрим частный случай системы (3.23), имеющий большое значение для при ложений.

Пусть возмущающие силы, находящиеся в правой части системы (3.23), имеют следующий вид:

Q/Ы , Чх.......... Ян, Ях............ Ям) =

= Qi (Я...........	Ям.Ях, • • • , ям) + Е, cos vt (/ = 1 , . . . ,	N).
Тогда, переходя с помощью замены переменных		(3.26)
Тогда, переходя с помощью замены переменных
	N
	Яі г= 2 фу*Ч	(3.27)
	k—\

к квазинормальным координатам, получим систему диффе ренциальных уравнений


	= & x k (x i ..........		x N , x t ............		X N )	+ eUk cos vt
		(k = 1, ...		, N).		(3.28)
Для упрощения будем рассматривать основной резонанс,
т. е. предположим, что ѵ »			ю.	функции Х		к ( х и ..., X s ,
Предположим		также,	что
Х и .... X N )	удовлетворяют условию				Липшица сшостоянны-
ми Kk и,	кроме	того, для	любых		Т >> Т0	выполняются

§ 3. М Н О Г О О Б Р А З И Я СИСТЕМ ВТОРОГО П О Р Я Д К А

127

неравенства
,	J. N	V /ДО)			. . . . *55>, а
1	1 VI	V /ДО)				'0)і .......... x7)xTdt <
	2	x k {X?,				'0)і .......... x7)xTdt <
	о 4=1							N
						<	—	N	(3.29)
						<	—	4=1	(3.29)
где	ß >	0	, x(k	=	ak cos (cofe/	+ cpft) (k =	1 ,	.... N), а посто
янные ak,			tpft определяются			выражениями
	«А					1 §<Ра=		Ч	(tn)
	«А					1 §<Ра=		Щ Ч (t0)
					(k= 1, . . . , N).				(3.30)
	При этих			условиях нетрудно показать				(см.,	например,

[136], стр. 390—396), что существуют такие положитель ные постоянные е0, Mk, Nk и Т*, для которых выполняют ся неравенства

		\xk (t)\< N k (k=*l	(3.31)
при всех / >	Г*,	где xk (t), xk (t) — любое	решение систе
мы уравнений	(3.28).		ограниченность
Неравенства		(3.31), устанавливающие	ограниченность

любых решений системы дифференциальных уравнений (3.28) , могут выполняться и при условиях, отличных от (3.29). Однако на этом вопросе мы останавливаться не бу дем, заметим только, что условия (3.29) являются наиболее естественными с физической точки зрения.

■ Сформулируем теперь теорему обустойчивости интегрального многообразия системы (3.23) (двупараметрического семей ства частных решений), определяемого выражением (3.24).

Т е о р е м а		3.1. Пусть для системы, дифференциальных
уравнений (3.28) выполняются следующие условия:
1°. Существует положительная постоянная а такая, что
	\|ѵ —- сі)й\| > а		(k = 2,		(3.32)
2°. Для любых положительных Ak (k = 1, ...,					N) можно
найти такое ß > 0 , что
lim 4	- \ 2	( 4 \ . . . .	X {N\ х \°\	xjP) xi0>dt <
T-*oo 1	4=2
				< - ß 2 f l *	(3.33)
				A=2

при Ak.

128	ГЛ. III. М Н О Г О О Б Р А З И Я В Б Л И З И П Е Р И О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Я
	Тогда существуют такие положительные постоянные е0,
Ки	К<>, что неравенства
І^ (0 І< К е /С і, \|* * ( 0 \|< К е /( 2 (е <ео, & =2.........N)
	(3.34)

будут удовлетворяться для любого решения уравнения (3.28), начиная с некоторого t — Т*.

Д о к а з а т е л ь с т в о . При выполнении первого ус ловия теоремы для любых T u e справедливо неравенство

		t+T
	Т	(3.35)
	Т
где	= с)й = const. Кроме того, для любых Т и г всег

да можно найти такое положительное постоянное М0, для которого выполняется неравенство

t+T

-|г-

j ukcos vt sin i[)dt

(3.36)

Умножим теперь уравнения (3.28) (кроме первого, k —

1) соответственно на xk (k =

2, ..., N) и проинтегриру

ем в пределах от t до t +

Т. Суммируя полученный резуль

тат по k, находим

4 -[al(t + T ) - a l( t) } =

Dk '

8 J

ß=2

Xk (X?, . . .

x$>, xj0’..........xW) xi0) dt +

k—2

t+T

-f e

2 ukcos vtx{k

dt, (3.37)

*=2

где Dk (k — 2...... N) удовлетворяют неравенствам

t+T

. . . , XNJO),

I Dk I <

euk

I xk

Xfe0) I dt -f- e

I Xk(xl0),

t+ T

*iü\

... , x $ ) I xk — Xk

\dt ~\-e

|х Г |^

| ^ .

(0)|4

S {

t + T

m=t\

Xm\}dt+

\xk — x f ]\Я* 2

{|XS>-

m = l

XmI + I — xmI) (3.38)

§ 4. СИСТЕМЫ С П Е Р Е М Е Н Н Ы М И К О Э Ф Ф ИЦ ИЕ Н ТА МИ

129

Суммируя эти неравенства, убеждаемся, что при е •< ео бу дет справедливо неравенство

N		N	2	N
2 1	Dk \ < г Ѵ е	Sx 2	a,	52 2 ah S3\T, (3.39)
ft—2		ft=2		φχ= 2

где S it S2, S3 — некоторые положительные постоянные. Мажорируя теперь правую часть выражения (3.37), на

основании неравенства (3.38) и (3.39), второго условия тео ремы и неравенств (3.35) и (3.36), полагая t = пТ, Т — L/г, получим для всех t > Т*, с точностью до величин первого порядка малости, неравенство

2 at (пТ) < К ( 1 - РеГ)" +	еСх (1 - РеТ)п~' +
ft—2
+	eC1( l - i i L j ' 1_1 + eC2, (3.40)

в котором К, Сі, С2 — некоторые положительные постоян ные. При п —V оо первые три члена правой части неравен ства (3.40) стремятся к нулю, следовательно,

2 а\(пТ) -< еС2.	(3.41)
ft=2

Принимая теперь во внимание обозначения (3.30), полу чаем неравенства (3.34), что и требовалось доказать.

Учитывая замену переменных (3.27), нетрудно видеть, что, согласно доказанной теореме, любое решение системы дифференциальных уравнений (3.28), начиная с некоторого момента времени, становится близким к рассматриваемо му двупараметрическому многообразию, представимому

в виде (3.24).

§4. Интегральные многообразия систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

В этом параграфе сформулируем основные результаты, относящие ся к распространению теорем главы II и теорем §2 настоящей главы на системы нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

5 Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ