книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

3 6 0 П О С Т А Н О В К А З А Д А Ч И [ГЛ . X IV

в формулировке Г. Н. Дубошина [16] с некоторыми упро­

называется обладающим технической устойчивостью отно­ сительно заданных верхних пределов начальных отклонений

в том и только в том случае, если всякое решение xs — xs (t) системы уравнений (2.9) при всяких начальных значениях Хм — xs (0), удовлетворяющих условиям

для всех t, не превышающих Т.

В приведенном определении устойчивости ps3, ps, ха­ рактеризующие размеры области предельных отклонений, рассматриваются как известные, наперед заданные конкрет­ ные числовые величины (или функции).

К определению устойчивости Н. Д. Моисеева примыкает другое определение [59]:

Невозмущенное движение (или другой процесс) называет­ ся устойчивым относительно заданных г и С на конечном промежутке времени t0 •< t •< Т, если при t = t0 выполняет­ ся неравенство

Иногда вместо знака •< в ограничениях принимается знак строгого неравенства [83].

Здесь е и С, посредством которых вводится ограничение на отклонения xs, также считаются известными, заданными.

В приведенных определениях устойчивости принятый способ задания области предельных отклонений вносит в

§ 2] О Н Е К О Т О Р Ы Х П О С Т А Н О В К А Х З А Д А Ч И 361

понятие устойчивости на конечном промежутке времени элемент произвольности.

В самом деле, как известно, выбор системы обобщенных координат механической системы, относительно которых записываются уравнения возмущенного движения, допус­ кает определенный произвол. Если уѵ уг, ..., уп — другая система обобщенных координат, как и система хѵ х2.......хп, представляющая собой состояние изучаемого объекта, то с тем же успехом можно было бы задать область предель­ ных отклонений неравенствами

( 2. 12)

Но условия устойчивости движения относительно обла­ сти (2.10)— (2.11), как правило,не будут совпадать сусловиями устойчивости движения относительно области (2.12) (совпадение может быть лишь случайное, когда замена в (2.10) — (2.11) координат xs их выражениями через у5 при­ водит к неравенствам (2.12), и обратно). Таким образом, получается, что одна и та же механическая система в одной

итой же постановке задачи может оказаться при одном на­ боре обобщенных координат устойчивой, а при другом — неустойчивой.

Вопределении устойчивости Н. Д. Моисеева область предельных отклонений задана в форме и-мерного парал­ лелепипеда, в последнем определении — в форме п-мерного шара. И в том и в другом случае области предельных откло­ нений выступают с конкретными размерами. Такое предна­ меренное предопределение формы и размеров области предель­ ных отклонений усиливает субъективный характер понятия устойчивости на конечном промежутке.

То, что априорное задание области предельных отклоне­ ний в форме п-мерного параллелепипеда или шара неудач­ но, видно, в частности, из следующего.

Как отмечалось выше, в некоторых случаях характер возмущенного процесса на конечном промежутке времени

ибесконечном взаимосвязаны, и естественно желать в этих случаях согласия между условиями устойчивости процесса на конечном промежутке и условиями устойчивости по Ля­ пунову. В рассматриваемых выше постановках такого со­ гласия нет. Легко построить примеры линейных автономных систем, когда на конечном промежутке времени будет иметь

даже тогда, когда все корни характеристического многочле­ на системы имеют отрицательные вещественные части, т. е. когда выполняются условия асимптотической устойчивости по Ляпунову.

другой подход к задаче устойчивости на конечном промежут­ ке времени. Сохраняя механический смысл понятия устой­ чивости, который вкладывает в него Ляпунов, Г. В. Камен­ ков в работе [18] понятие об устойчивости на конечном про­ межутке времени сформулировал следующим образом:

Если дифференциальное уравнение возмущенного движе­ ния таково, что при достаточно малом положительном числе с величины х{, рассматриваемые как функции времени, удовлетворяют условию

П

то невозмущенное движение будет устойчиво на промежут­ ке времени At\ в противном случае — неустойчиво, т. е.

At = 0.

Здесь, как видим, величина с, посредством которой вво­ дится ограничение на область предельных отклонений, уже не предполагается наперед заданной: для устойчивости тре­ буется лишь выполнение неравенств (2.13), (2.14) при до­ статочно малых с.

Само определение не содержит конкретных рекоменда­ ций по выбору постоянных ац. Но в процессе построения

теории эти величины выбираются так, чтобы А-1 была мат­ рицей, преобразующей матрицу линейной части уравнений возмущенного движения в момент t0 к каноническому виду, а именно к квазидиагональной матрице, каждый диагональ­ ный блок которой отвечает нерасщепляемому циклическому

$2] О НЕКОТОРЫХ П О СТАН ОВ КАХ ЗАДАЧИ 363

подпространству векторного пространства с введенным в

нем линейным оператором (оператором, матрица которого в некотором базисе совпадает с матрицей линейной части уравнений возмущенного движения).

Определение устойчивости Г. В. Каменкова допускает следующую геометрическую интерпретацию.

Пусть в момент времени t0 (рис. 14.2) система получила некоторые отличные от нуля произвольно малые отклоне­

к априорному заданию промежутка времени в определении устойчивости и ослаблению чрезмерно жесткого условия выбора области предельных отклонений. А. А. Лебедев [27] ввел в определение устойчивости заданный промежуток времени, а вместо неизменной области предельных откло­ нений (2.13) — изменяемую во времени область.

После этого определение устойчивости на конечном про­ межутке Г. В. Каменковым и А. А. Лебедевым было пред­ ставлено в следующей формулировке [19]:

Невозмущенное движение устойчиво на конечном интер­ вале времени П0І /0 + АП, если в пространстве (jq, ..., хп) может быть указан цикл V (і, хѵ ..., хп) = с*), обладаю­ щий на этом интервсиіе следующими свойствами:

S 4] Г Е О М Е Т Р И Ч Е С К И Й С М Ы С Л 3 6 5

(столбцовой матрицей типа п х 1), понятие устойчивости процесса на промежутке U0, Т) введем следующим образом.

то невозмущенный процесс устойчив на промежутке U0,T). В противном случае — неустойчив.

Отметим, что в предлагаемом определении устойчивости G (0 не предполагается заданной матрицей и, значит, не является заданной и область (3.2). Для устойчивости про­ цесса на промежутке Д = [t0, Т) требуется лишь существо­

вание в классе K t такой матрицы G (t), что при достаточно малом р условия (3.1), (3.2) соблюдаются.

О п р е д е л е н и е 2. Невозмущенный процесс назовем равномерно устойчивым на промежутке Іа, Т), если он устой­

асимптотически устойчивым на промежутке [а, оо), если

а) он устойчив на [а,оо) (в смысле определения 1) и б) для любого t0 £ [а, оо) существует такое р = р (t0) > 0, что все возмущения х (і) процесса, удовлетворяющие условию

(G~l (t0)x(t0), G - '( g x ( g ) < р2,

обладают свойством

lim|х (01= 0.

/-►со

§ 4. Геометрический смысл понятия устойчивости на заданном промежутке

В левой части неравенства (3.2) стоит эрмитова форма координат хг, х2, ..., хп (элементов столбцовой матрицы х), которая при любом х принимает только вещественное неотрицательное значение. Геометрически соотношение (3.2) в пространстве координат хъ х2, ..., хп при каждом

ресекает поверхность (4.1) один раз при значении парамет­ ра s = р. Действительно,

Р2 = ( ± G“ '' (t) Ga (t) S, ± GT1(t) Ga(t) s) = s2.

Точки пересечения этих лучей с поверхностью (4.1) на­

порожденная какой-нибудь парой столбцов матрицы G, пересекается с поверхностью (4.1) по эллипсу, описываемо­ му уравнениями

X = G(S; -j- GjSj, Si s] = p2. (4.2)

Лучи G£st и GjSj расположены симметрично относитель­ но главных осей эллипса (4.2) и направлены по диагоналям

ее ра-трубкой), каждое сечение которой гиперплоскостью t — і* представляет собой эллипсоид с указанными выше свойствами (рис. 14.3). С течением времени может меняться

5 5] Ф У Н К Ц И И Л Я П У Н О В А ЗѲ 7

меры его полуосей), по при этом строго определенные зна­

которые в момент t0 находились внутри или на поверхности этой трубки. Вели же такой ри-трубки не существует, то процесс неустойчив.

§ 5. Функции Ляпунова

Все способы решения задач устойчивости могут быть раз­ биты на две категории. К первой категории относятся те способы, которые основаны на определении общего или частного решения уравнений возмущенного процесса. Сово­ купность всех способов первой категории Ляпунов назвал первым методом. При исследовании устойчивости по перво­ му методу центральным является вопрос об интегрировании уравнений возмущенного процесса. Если удается проинте­ грировать эти уравнения, то исследование устойчивости да­ лее уже не представляет серьезных трудностей.

Ко второй категории относятся те способы, которые не требуют нахождения частных или общих решений уравнений возмущенного процесса. Совокупность всех способов вто­ рой категории Ляпунов назвал вторым или прямым ме­ тодом.

Прямой метод основан на применении некоторых вспо­ могательных функций, определенных в окрестности начала координат и обладающих специфическими свойствами.

Введем в рассмотрение скалярную функцию V (х), опре­ деленную при

Относительно этих функций будем всегда предполагать, что они однозначны, обращаются в нуль при х = 0 и обла­ дают непрерывными частными производными.

Функция V (а) называется знакоопределенной (положи­ тельно определенной или отрицательно определенной), если она при условии (5.1), где d — достаточно малое положи­ тельное число, может принимать значения только одного определенного знака и обращается в нуль только при а- = 0.

Функция V (а ) называется знакопостоянной (положи­ тельной или отрицательной), если она в области (5.1) может

Рис. 14.4.

принимать значения только одного определенного знака,

При с = 0, как это следует из определения знакоопределен­ ной функции, а = 0, т. е. поверхность V — с при с = 0 вырождается в точку (в начало координат).

Покажем, что при достаточно малом с поверхность (5.3) будет замкнутой поверхностью, содержащей внутри себя начало координат.

На границе области (5.1) функция V, будучи непрерыв­ ной функцией, достигает своей нижней грани а, так что на

Произвольно выбранной непрерывной кривой у соединим начало координат с какой-нибудь точкой границы области (5.1) и проследим за изменением функции V вдоль этой кри­ вой. В начале координат У обращается в нуль, а на границе области (5.1) принимает значение, не меньшее, чем а. Зна­

замкнутой и окружает начало координат.

Если изменить с от нуля до некоторого достаточно мало­ го значения, то получим семейство замкнутых поверхностей, каждое из которых соответствует определенному значению с. На данной замкнутой поверхности V имеет постоянное значение, равное соответствующему значению с. Никакие две замкнутые поверхности не могут пересекаться друг с другом, в противном случае на линии пересечения этих поверхностей функция V должна была бы принять два раз­ ных значения, что невозможно в силу предполагаемой одно­

висящая от ( положительно определенная функция. Функ­ ция V (/, х) называется отрицательно определенной, если она при том же условии удовлетворяет неравенству

V (t, х) < — W (х).

Функция V (t, х) называется знакопостоянной, если в области (5.2) она может принимать значения только одного определенного знака и может обращаться в нуль и при