книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
.pdf2 4 0 А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е [Г Л . IX
Аналогично тому, как были получены формулы (3.8), отсюда находим
fctO]
Ь;+1 о—
til]. '
W + l Ö—
Д 2] _ b/+ I о —
,/£[0], |
[OK. |
|
|
|
|
|
|
||
Г'Ь/'о "Г ®/'oblo> |
|
|
|
|
|
|
|||
— |
/ /ь П ] |
, |
„ [ 1 Ы 0 ] |
, [0]j.[i] |
a /a , |
||||
C'b/a |
- p |
« 7 0 6 1 0 |
T - 0 t ;cr§io( |
— |
|
||||
UP[2] |
. |
„ [ 2 Ы 0 ] |
, |
[0 M 2 ] |
Ml |
, |
|
|
|
^ Ь /о |
T ^ O '/o sia |
|
« /o glo |
■aja |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
,# -П |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
U I <J |
|
|
,[0]
(3.20)
(/= 1, ..•, k a , k = 0, 1, ...; |
a = 0). |
Для доказательства теоремы достаточно показать, что при соответствующем выборе членов рядов (3.19) матрич ные соотношения (3.20) выполняются тождественно.
Первое соотношение (3.20) в развернутом виде представ ляется так:
Д °] _ т/pW , „ [о м о ]
5 2 0 — с Д ю + а , о ,
|
|
tl°]_/ |
l^S2o |
_J_ „[0 ]fc[0 ] |
|
||
|
|
S3a — |
I 0-20 |
bio , |
(3.21) |
||
|
|
ДО] |
_/■/tl°: |
i „ [ 0 ] |
|||
|
|
t[0 ] |
|||||
|
|
Cft0o — |
и Ыа-1 оП" a fca-l 0 |
bio > |
|||
|
|
П _ |
//ДО] |
. „roitlO] |
|
||
|
|
u— |
u ^kao “Гa/;aaSia• |
|
|||
Равенства |
(3.21) |
умножим |
слева |
соответственно на |
|||
и ка~\ |
Uko~2, |
|
U, |
Еп |
и сложим. Получим |
||
(£/*« + |
а ^ а - Ц |
- |
■• |
• + 0Cfc“ L io |
U + а Щ , Еп) ^ = 0. (3 .2 2 ) |
Заменив последнее равенство системы (3.21) равенством (3.22), далее вместо системы (3.21) будем рассматривать эквивалентную ей систему
ср о(Д )£І°о] = 0 ,
О = и ф + « Е Ж ( / = 1, k a - 1) ,
где
фо (А.)= A ft°-f ajoA°cf 1+ |
•■• + o40— ioA + сфа- |
§3] |
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫ Й СИСТЕМЫ |
241 |
Тем же путем преобразуем (й + 1)-е соотношение (3.20), которое в развернутом виде выглядит так:
І.Ш _ IIІ.Ш
ъ20 -- и Ъ\а
tW _ IJtW
СЗСГ — Ut,2о
, |
„ШЛО] |
[OWft] |
-- |
,[ft-l] |
> |
+ |
а ІСГЪІСГ+ |
a ia£l0 |
« 1 CT |
||
I |
«[А]е[0] , „[0ЫА] |
— |
j[ft—I] ■ |
||
~r a 2ö èla “T a 2aSlcT |
|
> |
[ft] _ |
///eLE[ft]"J |
j |
|
|
|
6t LUJ[0] |
|
rvLUJ |
swtW |
j [ f t - l1]j |
|
} (3.24) |
|||||
|
a ka- l o |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
^b fta -'o |
"г |
|
Slcr |
-j- «*„-10 t]o — a ka- l а |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
[0] |
|
|
|
|
|
|
|
|||
о |
Iіі.Ш , |
„C*l ECOJ |
, |
|
£0 ] -[ft] |
Ak[ f t-— 1] |
|
|
|
|
|
||||||
u — и Ък„о -Г °4га05Ю |
|
CtACT(jSlcr |
— ak& |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Умножим эти равенства слева соответственно на |
ftfr—i |
||||||||||||||||
Ик°' |
|
||||||||||||||||
Uk°~2, |
.... U, Еп и сложим. Получим |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(£/*»+ сД О іЛ -Ч o$U ll° -2+ |
• • • + |
с 4 % |
и + а $1,Е „)№ = |
||||||||||||||
= — (а[$ика~1+ с $ и ка~2+ |
' ' |
+ |
аЛ0-1а U -f- |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
„[ft] р \ Е[0 ] |
I |
j[ft—I] |
I |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
а кав£-л) Siff |
+ |
“а |
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, вместо системы (3.24) |
можем |
рассмат |
|||||||||||||||
ривать эквивалентную ей систему |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
фд(П ) ^ ] = |
- ( а ^ ]Ч 0 |
- |
+1 |
а [2 а]Ч а- 2+ |
+ |
|
I |
|
|
||||||||
|
|
|
|
+ « v - 1 |
оѴ + |
аікаІЕп) |іа] + Ч “ 1] , |
I ^ |
25^ |
|||||||||
6/4E[ft]-1 а _— ^S/crГ/ttft] “ГI „[*]fc[a ja Sid0 ] |
TI |
[ |
е[* ] |
^ft-!] |
|
|
|
|
|||||||||
а/о„[»]' 0 £ 0а |
П-/СГ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
( / = 1 , 2 , |
|
|
51 |
1). |
|
|
|
|
|
|
||||
Теперь покажем, как, |
|
используя |
полученные соотноше |
||||||||||||||
ния, построить члены рядов (3.19). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Положим |
|
|
|
№ = Ксаа< |
|
|
|
|
(3.26) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где а0 — некоторый ka-мерный вектор (матрица-столбец). Тогда первое равенство (3.23) (используя (1.2) при со ответствующем разбиении собственных значений матрицы U
на группы) можно преобразовать к виду /Сафа(Ла)аа=0. (3.27)
Так как инвариантное подпространство Ra, соответ ствующее группе а собственных значений матрицы С
242 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
[ГЛ . IX |
циклическое, минимальный многочлен этого подпространства является многочленом степени /га, коэффициенты которого определяются по формулам Виета:
Фо(k) — |
+ |
a\a\ |
k<J 1 |
-f- • ■• |
-)- afcJ—iA -j~ ceil, |
|
а Г = |
- ( С |
+ |
••• |
+ Ц " ’>. |
||
„ ( О ) ____о (с О о (e r) . |
• • • |
. Л (О ) |
л (О ) |
|||
а 2 |
— |
А,1 Аг |
+ |
+ |
|А/га , |
|
Примем |
|
|
|
|
tfc’. |
|
|
|
„[0 ] _ |
„[о) |
|
||
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
Ctja |
ОС] |
|
|
|
|
фо ß ) == Фо (Л) |
|
|||
|
|
|
|
|||
и, значит, |
согласно лемме 1 |
. 1 |
|
фо (Л0) — фо (Ла) — 0.
В этих условиях равенство (3.27) выполняется тождест
венно. Допустим, что уже найдены £$, о^У |
(j — |
1, |
2, ... |
|||||
...,k a ',i |
= 0, |
1 ,..., k |
— 1). |
Определим |
£$J, |
o $ ] |
(/ |
= |
= 1 , 2 , |
. . . , |
ko). |
|
|
|
|
|
|
Пользуясь равенствами (1.2) и (3.26), первое равенство |
||||||||
(3.25) представим так: |
|
|
|
|
|
|
||
/Сфо (Л) Л4|У = |
— Ко (cxfa^A*0 |
-j- alo^Akaa |
+ ••• + |
|
|
|||
Отсюда |
|
+ aÄCT—1аЛа + 0£.ftaoffta) aa + cfo |
^ . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
фо (Л) Qik] = - |
MKo (a\ko]Ako° ~ l + 4 k]A kf - 2 + |
■ •• + |
|
|
||||
|
|
+ |
оЛ0 ф- a*aa£*a) йо ф- Md\j |
■*. (3.28) |
Здесь
г
\ f f l j
а QSC] = Ms|i 'a — субматрица типа ks х kq.
§3] |
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ |
НЕСТАЦИ ОНАРНОЙ СИСТЕМЫ |
243 |
|||||||||
Равенство (3.28) распадается на р независимых матрич |
||||||||||||
ных соотношений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
фа (Л5) Qsa] = - |
М,Ка (сДОЛ* |
" |
- +1 а ^ Л * |
" |
" +2 |
■■■ |
+ |
|||||
“Р а А0 — |
1аЛа -)- C^k^oEka) da -р Msda |
^ |
|
(S = |
1, |
. . . , р). |
||||||
При |
s Ф а |
М5Ка = |
О, |
а |
фа(Л8) |
в |
силу |
условия |
||||
(3.16) — невырожденная |
матрица. Поэтому |
|
|
|||||||||
|
|
Qsa] = V ^ (As) Msdlak~U |
(s Ф a). |
|
|
|||||||
При s = |
a |
Ma Ka = Eka, а фа (Ла) = |
0. |
Поэтому |
|
|||||||
(аіа]Л* 0 |
_ 1+ |
о4а]Л * а ~ +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
• • • |
+ |
°4д— |
1а^ а ~"Р akJaEka) da = Macfa ^ , |
||||||
ИЛИ |
|
|
|
(£aCCM = Modi*-", |
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
(3.29) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iac = |
(K a~XaaK a~2a0 ••• |
da), |
|
|
|||||
|
|
|
|
а aft] |
|
afa |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
“ W |
|
|
|
|
|
Так как подпространство /?ст циклическое, то по лемме 1.2 при соответствующем выборе столбцовой матрицы аа столб цы матрицы {£а будут линейно независимы. Пусть а0 вы брана из этого условия и столбцы матрицы линейно не зависимы. Тогда &а , как квадратная матрица с линейно независимыми столбцами,— невырожденная матрица. Учи тывая это, из (3.29) находим
a |
= £ 7 1ЛЫ *-1] |
(£ = |
1 , 2 , |
...). |
Неопределенной осталась лишь субматрица Ql0kJ матри |
||||
цы Qa4 - Из |
вышеизложенного ясно, |
что |
в качестве Qacr |
может быть взята произвольная, нужное число раз диффе
ренцируемая матрица типа |
х |
1. В частности, можно |
принять Qoa = 0 . |
|
|
Зная Qa'1, легко получить |іа |
по формуле |
|
№ = |
Ю Р - |
2 4 4 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
[ГЛ . IX |
|
Остальные |
векторы |
(/ = |
2....... ka) определяются |
|
соответствующими равенствами (3.25). |
|
Итак, указанным путем можно последовательно опре делить члены рядов (3.19), с помощью которых представ ляется формальное решение уравнения (3.1) в форме (3.17), (3.18). Теорема доказана.
3.3. |
Случай простых собственных значений матрицы. Ес |
|
ли на сегменте [О, L] все собственные значения матрицы U |
||
остаются |
простыми, то, оставляя в каждой группе по од |
|
ному собственному значению, будем иметь |
||
| М |
Т) — М Т) І > ° |
(s=£o; s ,с т = 1 , . . . , п). |
В соответствии с теоремой 3.2 решение системы (3.1) может быть представлено равенствами
П~
*= 2 2 £іо(т>е) <?о, о= 1
dq„
|
—ÖT + “ Щ |
(т- е) ЯО= о |
(CF= |
1........../г). |
|||
В формуле (3.26) в данном случае и0 |
— скалярная ве |
||||||
личина. Положим |
аа = |
1 (ст = |
1, ..., /г), |
будем иметь |
|||
|
!іа = К о |
|
(СГ== 1 , . . . , |
П). |
|||
Далее, так как теперь сра (X) — к — Яа, то |
|||||||
|
Qso] = ■xs — ха |
|
[ * — |
11 |
( s i - а] |
k = 1 , 2 , . .. ), |
|
|
МД* |
|
|||||
|
tW _ |
|
K s M s |
|
[k—\ ■ |
KoQ[*] |
|
|
Xs — Xa |
|
|||||
|
|
s+a |
s |
0 |
|
|
|
Наконец, a $ = |
—Аст и, |
поскольку |
t£a = «а = 1 (а = |
||||
= 1 , |
n), |
|
|
|
|
|
|
Легко видеть, что последние соотношения в точности сов падают с соответствующими соотношениями, приведенными в § 6 гл. VIII, и лишь отличаются некоторыми обозначения ми, а именно:
іѴ0 — |
ОЦ0 |
, |
Д0 |
— tlo • |
A |
„ І А ] |
|
/ |
А ] е [ А ] |
Таким образом, в рассматриваемом случае применение обоих методов расщепления, как и следовало ожидать, при водит к одинаковым результатам.
$ -л |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е Н Е О Д Н О Р О Д Н О Й С И С Т Е М Ы |
2 4 5 |
3.4 Приближенное решение системы. Приближенным решением системы (3.1) будем называть вектор xnl (t, е), определенный равенствами
|
Р |
( |
о—* (т) |
I |
|
|
|
.. _ |
V |
( r(m> |
d |
q° |
)■ |
(3.30) |
|
Х т — 2J l<=1<J |
..*0-1 |
+ |
|
||||
|
сг=І \ |
ш |
|
|
|
|
|
dk°o^m) |
+ |
“ іа |
dk° ~ lo[m) |
• |
= 0 (3.31) |
||
кп |
ft |
. + |
Гd t °
|
|
(cr= 1..... |
р ), |
|
^ ( Т , |
е) = |
*=о |
( / = 1 .......... k a ) , |
|
|
|
т |
|
|
a f f i x , |
е)== |
2 е*а|а] (т) |
( / = 1 , . . . . |
k o ) - |
|
|
k=Q |
|
Как увидим далее (§ 5), таким образом определенное ре шение системы (3.1) имеет асимптотический характер.
§ 4. Расщепление неоднородной системы
Если п-мерное векторное пространство R расщепляет ся на подпространства /?х, /?2, R P, инвариантные и цик лические относительно линейного оператора А в /?, то в R имеется базис, в котором этому линейному оператору отве чает квазидиагональная матрица J = diag (Ух, ..., / р) с диагональными блоками, имеющими естественную нормаль ную форму:
0 |
1 |
. 0 |
0 “ |
0 |
0 |
. 0 |
1 |
—akaa |
aka—\ о |
■ * — ССоо |
otic |
|
|
(ff — 1 > . .. |
, р) |
2 4 6 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
||
ИЛИ |
|
|
|
|
— С С [ а |
(Х2а |
. . — а к а — 1 а |
|
1 |
о |
0 |
[ГЛ . I X
1
1 £ Q а
0
Ja = |
(4.2) |
О |
0 |
1 |
0 |
|
(er = 1 , 2.......... |
|
р). |
Матрица А, отвечающая оператору А в произвольном базисе, связана с матрицей J соотношением подобия:
А= КЛ<~\
Всоответствии с этим линейная стационарная система
= Ах |
(А = const) |
при замене переменных
X = Ку
распадается на р независимых подсистем
= |
J<s"a |
(er = |
1 , . . . , р) |
|
(y1.......ур — субматрицы |
столбцовой матрицы у с размера |
|||
ми соответственно |
х |
1 , |
kp х |
1 ). |
Теоремы предыдущего |
параграфа показывают, что, по |
добно стационарной системе, и однородная дифференциаль ная система при известных условиях может быть расщепле на на подсистемы, матрицы коэффициентов которых имеют структуру матриц / ст. Действительно, если, например, ка кое-нибудь уравнение расщепленной системы (3.18) пред ставить в виде системы уравнений первого порядка, то по лучим систему с матрицей типа Ja. Оказывается, что и неоднородная дифференциальная система при довольно об щих предположениях может быть расщеплена на подсистемы с матрицами типа J а■
§ 4] |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е Н Е О Д Н О РО Д Н О ГО С И СТ Е М Ы |
2 4 7 |
|
|
Рассмотрим векторно-матричное уравнение |
|
|
|
А (х’ e)“^ = = ß (T' 8)* + fV ’ т’ е) |
(т==е0 > |
(4 -3) |
где X и / — столбцовые матрицы типа п х 1, а Л и 5 — квадратные матрицы порядка /г, допускающие на сегмен те О С т <; L разложения (сходящиеся или по крайней м:- ре асимптотические) по степеням параметра е:
А (х, е) = 2 |
(т)> В (т>е) = 2 |
&kßb(т)- |
Ь= 0 |
А= |
0 |
Те о р е м а 4.1. Пусть на сегменте [О, L] а) матрицы
Аъ (т), Bk (х) (k = 0, 1,2, ...) имеют производные по х всех
порядков, а |
А0 (т), |
кроме |
того, |
является |
невырожденной |
|||||||
матрицей; |
б) собственные |
|
значения |
матрицы |
I) (т) = |
|||||||
= |
A JX(х ) В0 (т) |
разбиты на |
р |
групп Яі0>, |
?40), |
... , Я*®' |
||||||
о*** 1,2.......... p\ |
2 |
ka = |
n I |
так, что |
|
|
||||||
|
|
|
0 “ |
1 |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ l T ]( x ) - l f (т) I > |
0 |
|
|
(4.4) |
|||||
|
(o ^ s; |
i = |
1 , |
... , |
|
ka; |
j = |
1 , |
.. . , |
ks); |
|
|
в) |
соответствующие этим |
|
группам |
подпространства R lt |
||||||||
Ri, •••> R P являются |
инвариантными и |
циклическими под |
||||||||||
пространствами п-мерного пространства R |
относительно |
|||||||||||
линейного оператора |
U, которому в некотором базисе от |
|||||||||||
вечает матрица U. Тогда формальное решение системы |
||||||||||||
(4.3) может быть представлено равенствами |
|
|||||||||||
|
|
|
х = |
У, Ка (г, е) уа, |
|
|
(4.5) |
|||||
|
|
|
|
<7=г=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Ä<j (т, е) уа + |
Л4С(X, е) R (т, е) f (t, х, е), (4.6) |
|||||||||
где Ко, Л ст, |
Ма, R — матрицы типа соответственно п х |
|||||||||||
X ka, ko X ko, ka X п, |
n X n, |
представленные |
формаль |
|||||||||
ными рядами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ко(х,г)= |
V е Ч ™ |
(X), |
|
Л 0 (Т, |
В) = |
|
V 8 * Л [а :1 ( т ), |
|||||
|
|
ft=0 |
|
|
|
|
|
|
fc=О |
|
|
СО
Мо{Т , е ) = Ѵ е ‘М™(т), |
Я (Т е) = V e 4 fe (т), |
248 |
А С И М П Т О Т И Ч Е С К О Е |
Р А С Щ Е П Л Е Н И Е |
|
[ГЛ . IX |
|
причем Л™ есть матрица типа (4.1), а |
|
|
|||
|
О |
О |
О |
о |
|
А ^ = |
о |
о |
о |
о |
• (4.8) |
, |
<%ка а |
& !{0 — I о |
—— ryLft]и - 2 о — |
а г/і а [ " 1 |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставляя равенства (4.5) и (4.6), определяющие вектор х, в систему (4.3) и отделяя в полученном соотношении коэффициенты при уа (а = = 1 , р) и свободный член, будем иметь
d K „ (т,е) |
~ |
~ |
0 ( т , е ) |
|
|
А (т, е) е - - - - -- - - - - - - -1-- |
|
е ) А |
|
|
|
= 5(т, е)/<0 |
(т, е) |
(а = |
1 , . . . , |
р), |
(4.9) |
Л (т, е) Ѵ Д а (т, е) М0(т, е) Я (т, е) — Еп f(t, Т , |
е) = |
0. (4.10) |
|||
а«і |
|
|
|
|
|
Для того чтобы равенства (4.9), в которых по предполо
жению Ко и Л0 представлены рядами (4.7), выполнялись тождественно относительно е, необходимо и достаточно,
чтобы члены разложений матриц /(а и Л0 были решениями матричных уравнений
|
UK™ = |
K™ A[°\ |
|
|
|
|
(4.11) |
|
|
U K ^ = |
кН' Л[а01 + |
Kla ]A ak]l |
+ |
D ^-11 |
(4.12) |
||
где |
( 0 = 1 ,2 ..........р; k = |
1 , 2 , |
...), |
|
||||
/г-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
D[ok- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= V K[oknA\i] -ь |
|
|
|
|
|
|
||
|
2* \L |
|
|
|
|
/г— V |
|
|
’» |
dT |
в ѵк |
^ |
+ |
£ |
Лѵ/ ^ г~ѵ- лл ^ |
||
|
V=1 |
|
|
|
|
/ = |
0 |
|
В силу условия б) теоремы могут быть построены квад ратные матрицы
( М г\ К = (К1 .. . Кр), А = diag(Лі, . . . . Ар), М =( :
\М П
§ 4] Р А С Щ Е П Л Е Н И Е Н Е О Д Н О Р О Д Н О Й С И СТ Е М Ы 249
с субматрицами Ко, Аа, М0 (а = 1 |
.......р) типа соответст |
||
венно |
п |
X ka, k0 X ka, k0 X и, |
дифференцируемые на |
[О, L] |
по |
т столько же раз, сколько раз дифференцируема |
|
матрица U, и удовлетворяющие соотношениям (1 .2 ). |
|||
Далее, |
поскольку £а-мерное подпространство R G, отве |
||
чающее группе а собственных значений матрицы U, цикли |
ческое, то минимальный аннулирующий многочлен этого подпространства ср0 (X) есть многочлен степени k0, коэффи циенты которого (сию, а2а, ..., akgo) определяются форму лами Виета, а матрица Л0 либо совпадает, либо подобна матрице Jа .
Используя произвол, имеющийся в выборе матриц Ко и М 0, всегда можно сделать так, чтобы Л0 совпадала с Ja в форме (4.1). Учитывая это, далее будем считать, что в раз ложении (1 .2 )
Aa = J0 (<J=1.......... р).
С помощью соотношений (1.2) легко проверить, что при
подстановке вместо /(а0 -1 и Л[ст0] соответственно Ко и Л0 ра венство (4.11) обращается в тождество. Учитывая это, поло жим
К ^ (Т) = Ко (т), Л^ 1(т) = Ла (т) = Jo (т).
Остальные члены разложений матриц Ко (т, е) и Л0 (т, е) последовательно могут быть определены следующим путем.
Допустим, что |
/Со4, Л™, ..., K[ok- '\ Ао^ |
' 1уже |
найде |
|||
ны и, следовательно, в k-м равенстве (4.12) |
D1 * “ |
1-1— из |
||||
вестная |
матрица. |
|
|
|
матрицы K[G\ |
|
Через |іа], .... |
обозначим |
столбцы |
||||
а через с$Гх^, . |
— столбцы матрицы Од-11, |
так что |
||||
|
= ß 1СТ |
А*] \ |
пік—Jj_/jt«- |
|
|
|
|
kao)’ |
и ° |
— (“la |
|
|
|
В том |
случае, когда Л^ |
1(k = 1, |
2, ...) имеют структуру |
(4.8), k-e равенство (4.12) эквивалентно системе уравнений
U—_ |
O'Slaт/fctfe] |
+, |
„[0]a *aaДЮfcaa , |
°^стаё*ааpW] |
“а |
> |
|
|||
П |
|
|
T"I |
„[0] I |
tlfc] |
„ W |
ДО] |
|
|
|
t l4 |
— r / t W |
, |
„С*] |
A k - Ц |
(4.13) |
|||||
|
|
5 |
aE*aa + |
a £a—I °S*aa |
|
|||||
Ela — о'ёга |
|
a ka— |
-O |
|
||||||
CA0 — 1a — Ubkao -f «la ë*öo |
ДЧДО] |
[*—1] |
|
|||||||
ala ё/гса— dkaa |
■ |
|