Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Беккер Р. Теория теплоты

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 512 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Таким образом, для	того чтобы	при	нагревании -на
1 °С сохранить обем	постоянным,	необходимо		увели
чить давление на 34,3	KZCJCM2.
Выскажем в связи с уравнением		(2.1)	общее	заме
чание. Пусть F=F(x,	у) —функция	переменных		х и у,

вначале заданная в дифференциальной форме, т. е. сле дующим образом:

dF = А (х, у) dx + В (х, у) dy.

(2.4)

{ху)

<хо,Уо>

Рис.

1. К

расчету

Рис.

Два пути

(а)

F(x+dx,y+dy)

—

(Ь)

\dF.

-Пх,

У)

для расчета

С другой стороны

(рис. 1),

F(x

- f dx,

у +

dy) — F (x,

у)

dF dx +

dy.

Таким образом,

для того чтобы

функции

А(х,

у) и

В(х,

у)

действительно

определяли функцию

(т. е. что

бы dF было полным дифференциалом

от F),

они не мо

гут быть произвольными, посколькудолжно быть А =

=dF/dx и B = dF/dy. Отсюда должно быть		справедливо
-М. =	- * * .	(2.5)
dy	дх

Соотношения (2.5) называют условиями интегрируе мости дифференциального уравнения (2.4). Можно вы вести важные соотношения (2.5) с помощью других рассуждений. Пусть функция F в точке (х0, уо) имеет произвольно выбираемое значение FQ. Для того чтобы согласно (2.4) получить ее значение F\ в точке {х\, у\), мы должны проинтегрировать это выражение по любо му пути из точки 0 до точки / в плоскости х, у (напри мер, пути а на рис. 2):

F0 = dF = \{Adx + Bdy).

Мы должны

поставить

условие,

чтобы значение это

го интеграла

было

независимо от пути.

Следовательно,

если мы

выберем

второй

путь

(Ь)

то )'

(Adx-\-Bdy)

также должен давать значение F—F0.

(Ь)

Если, в частности,

возвратиться назад к точке (х0 ,

г/о), то

всегда

должно

иметь место

равенство

§ {Adx

I Bdy) = 0,

(2.6)

где знак

§ означает «интеграл по замкнутому

контуру»,

например, от

по

пути (а)

до

/ и обратно

по пути

b к 0.

Необходимо убедиться, что ус

ловия (2.5)

(2.6)

математиче

ски идентичны.

Для

этой

цели

рассмотрим

представленную

на

рис. 3 замкнутую кривую

на

правлении,

указанном

стрелкой.

Для расчета

§Bdy

вырежем

из

кривой обозначенные

цифрами /

и / / отрезки

с помощью двух па

Рис. 3. К

расчету

раллельных оси х прямых на рас

dx+B

dy).

стоянии

dy друг

от друга. Вклад

этих отрезков

значение

§ Bdy

составит

(Вп

— B{)dy.

Ви

В,

относятся

одному

и тому же значению у,

следовательно.

дВ

dx.

дх

Отсюда имеем:

Bdy

дВ

dxdy,

дх

где двойной интеграл теперь распространяется на всю ограниченную кривой площадь. При аналогичной интер претации <§Adx (при этом следует учитывать направле ние движения!), получим равенство

j) (Adx -h Bdy) = Jj* ( - ^ - 4 ^ ) dxdy,	(2.7)
dx

Следовательно, для того чтобы уравнение (2.6) было справедливо для любого замкнутого контура, должно обязательно выполняться условие (2.5).

Впоследствии мы будем иметь дело с такими физи ческими величинами, как подведенное количество тепла и совершенная работа, для которых уравнение (2.4) яв ляется только дифференциальным соотношением. Обоз начим бесконечно малое приращение такой величины G через б, т. е.

8G = C(x,y)dx^D(x,y)dy,

(2.8)

где С и D теперь не обязательно должны удовлетворять условиям интегрируемости (2.5). В этом случае уравне ние (2.8) не определяет некой функции G(x, у). Хотя приращение G вдоль определенного пути, например а,

J 6 G = ^(Cdx + Ddy)

аа

имеет вполне определенное значение, тем не менее оно отлично от приращения, полученного при интегрирова

нии по другому пути		{Ь) и поэтому не может		определять
некую функцию G(x,		у). Тогда	j>6G по замкнутому кон
туру, как правило, окажется отличным от нуля.
Разница	между	рассмотренными здесь		понятиями
dF (полный	дифференциал)		и 6F (только	бесконечно

малая величина, а не полный дифференциал) имеет фун даментальное значение для следующих разделов.

3. П Е Р В Ы Й О С Н О В Н О Й З А К О Н

Первый основной закон термодинамики представляет собой специфическую формулировку закона сохранения энергии. Назовем систему изолированной, если она не находится во взаимодействии с другими системами. Тог да она обладает определенной, не изменяющейся во времени энергией U. Это значит, что энергия является функцией состояния. Она может измениться только вследствие того, что к системе подводится энергия извне. Учение о теплоте, собственно говоря, и рассматривает вопрос о разделении подведенной энергии на подведен ное тепло и совершенную над системой работу. Следо вательно, при бесконечно малом подводе тепла (6Q) и бесконечно малой совершенной над системой работе (бЛ) было бы справедливо

dU = 6Q+8A;

(3.1)

при этом тепло 6Q отбирается от окружающей среды, кроме того, уменьшается запас ее энергии на величину

bA. Термодинамика — это наука о технически выполни мых операциях. Для понимания всех рассуждений су щественно также аппаратурное оформление манипуля ций, относящихся к bU и 6Л.

а) Изменение объема

Пусть цилиндрический сосуд с поперечным сечением /


содержит в себе газ или жидкость, которые							ограничены
поршнем на высоте		h	(рис. 4). К			поршню	приложена
нагрузка Р. Он находится в равновесии,
если давление	р вещества			уравновешивает
внешнюю нагрузку,		т. е. когда pf = P. При					гптгтт
бесконечно малом смещении поршня вверх
на величину dh потенциальная энергия на
грузки Р повышается			на	величину		Pdh —
= pfdh = pdV,	где dV=fdh			означает		связан-	Р и с 4
ное с dh увеличение объема					V = fh.	Следо-	Давление
вательно, pdV	представляет				собой	совер-	газа р урав-
шенную жидкостью		над		поршнем		работу.	новешивает
В соответствии с законом сохранения энер-							нТгпузкойСр
гии ее энергия должна			уменьшиться			на та

кую же величину. В уравнении (3.1) вели чина 6Л считалась положительной, если работа соверша ется над системой, следовательно,

6Л=—pdV;	(3.2а)
(при уменьшении объема, т. е. при	отрицательном

значении dV, Р теряет потенциальную энергию. За счет этого энергия системы возрастает).

Если мы хотим получить сведения о совершенной над


системой работе при конечном сжатии,		например от VQ
до Vu то мы должны знать, как изменяется			р в зависи
мости от У. Если известно, что p — p(V),		то искомая ра
бота А определяется из выражения
Л = — ^p(V)dV=	j p(V)dV.		(3.26)

При этих рассуждениях предполагалось, что прило женная к поршню нагрузка Р в любой момент имеет равновесное значение p(V)=fp(V). Это идеализирую щее допущение нам следует рассмотреть несколько по дробнее. Пусть сплошная кривая на рис. 5 является функцией p=p(V). В соответствии с (3.26) площадь между Vi и VQ равна работе, затраченной на сжатие от

V0 Д О VI. При практическом выполнении сжатия, даже если пренебречь потерями на трение, всегда затрачива ется несколько большая работа. Действительно, для того чтобы заставить поршень двигаться вниз, его па-

грузка

должна

несколько превышать

равновесную

на

грузку

(РЦ>р).

Если

процесс сжатия осуществить

до

статочно медленно, то можно принять

избыток

(Plf)-p

сколько

угодно

малым. Если, как это сделано

уравне

нии (3.2в), принять его равным ну

лю, то мы тем самым вводим пред

положение о том, что сжатие совер

шается «бесконечно»

медленно.

Со

вершенно аналогично при

расшире

\ \ \

нии величина P/f должна быть

меньшей р, если

поршень

действи

тельно должен

двигаться

вверх. Ес

, \ \

\ \

\ .

ли мы произведем сжатие от V0 до

ill

V\,

а затем

обратное

расширение,

Рис.

Нагрузка

то

функция

P/f

проходит

вначале

по отмеченной па рис. 5 пунктиром

при

расширении

дол

жна

быть

несколько

кривой /, а затем

(при

расширении)

меньшей,

при

сжа

по

лежащей

ниже

кривой

кри

тии

несколько

боль

вой //. Только

в предельном случае

шей

нагрузки,

соот

бесконечно

медленного

сжатия

ветствующей

равно

весному

давлению

р.

расширения

обе кривые

совпадают

рят об обратимом

с кривой p(V).

В этом

случае

гово

сжатии. Только при таком сжатии за

траченная

на

него

работа имеет

ту

же

величину,

что

и работа, производимая при расширении. При всех при менениях уравнений (3.2а) и (3.26) предполагается, что изменение объема в этом смысле происходит обратимо. В других случаях (при конечной скорости) нужно было бы учитывать дополнительно кинетическую энергию поршня Р и прилегающей к поршню массы газа, что при


вело бы к большим усложнениям (см. § 24).
б)	Намагничивание
Д л я	определения	энергии намагничиваемого тела			как	функции
состояния, например как функции температуры Т, объема						V и	маг
нитного момента М, т. е. U=U{T,			V, М),	необходимо	вначале		неко
торое	пояснение.	Для намагничивания		используют	магнитное по

ле Н . В какой мере нужно учитывать это магнитное поле при под счете энергии? Этот вопрос можно разрешить только путем догово ренности. Общепринято, что внешнее магнитное поле, которое ис пользуется только для намагничивания, не следует включать

в расчет при определении энергии тела. Поэтому при расчете энергии U намагниченного тела мы будем предполагать следующую физи ческую ситуацию. Вначале тело намагничивают с помощью магнит ного поля до требуемого значения М. Затем полагают, что достиг нутое таким образом намагничивание фиксируется, например, с по мощью закрепления отдельных элементарных магнитов так, чтобы намагничивание при уменьшении поля более не изменялось. Правда, практически это выполнить невозможно. Однако введение подобного

«торможения

реакции»

не

находится

в противоречии ни с каким

известным

законом

природы. Пусть затем

маг

н = о

нитное поле удаляют. Только после

этого мы имеем перед собой «состоя

ние М» без внешнего магнитного по

ля. Энергия этого состояния будет

впредь

обозначаться

U=U(M).

dH,

Для

введенного таким

образом

определения

энергии

докажем

сле

дующее.

Если

AT — магнитный

мо

Рис.

Сила

воздейст

мент тела

Н — магнитное

поле,

не

вия

магнитного

полюса на

обходимое

для

создания

этого

мо

гело

уравновешивается

мента,

то

работа,

которую

необходи

нагрузкой

К.

мо

осуществить

при

увеличении М

на

dM,

составляет

6А =

HdM.

(3.3)

Если

известно

в виде

функции

от

М, то

М'

Л =

Н dM.

(3.3а)

дает прирост энергии нашего тела, связанный с совершением рабо ты (3.3). Наряду с этим для полноты данных об изменении энергии

следовало бы включить в расчет	в соответствии	с (3.1)	дополнитель
но подведенное количество тепла	6Q, которое	нужно	учитывать, ес

ли, например, намагничивание происходит при постоянной темпера туре, т. е. в термостате.

Для аппаратурного	обоснования уравнения	(3.3) рассмотрим
два различных способа	намагничивания, а именно,	намагничивание

с помощью приближения к постоянному магниту или с помощью со

леноида.
	Первош способ изображен в виде схемы на рис								6.	Пусть	S —
южный полюс постоянного				магнита, F — намагничиваемое						тело,	Н —
компонента х		магнитного		поля,	возникшего	от	5	в	точке х		тела.
Н	растет при	приближении		F к	магнитному	полюсу		S.	Действующая
			М в направлении х сила				К—М		dH
на	магнитный	момент	М в направлении х сила				К—М			. Следо-
									dx
вательно, тело		будет	находиться		в равновесии,		если	мы,		как указа

но на рис. 6, с помощью нити и блока приложим к телу равную по

величине противоположно направленную	силу. При	приближении
к 5 на расстояние dx совершается работа	Kdx=MdH	(груз К под

нимается). Следовательно, совершенная над системой F плюс S ра бота составляет:

8At = — Md Н .

При	передвижении	от	Н = 0	до	конечного значения	Н'
				Я'
			At = —	j	Md Н,
т. е. получим выражение, вначале совершенно отличное						от (3.3а).
Для того	чтобы прийти	к	выражению (3.3а), мы должны			проделать

еще один шаг. Он состоит в том, что мы «закрепляем» или «фикси руем» достигнутое при Н' намагничивание М'. Теперь снова отодви

нем тело		с фиксированным таким	образом магнитным			моментом		М'
из области полюса S. При этом мы должны преодолеть силу М								dW
из области полюса S. При этом мы должны преодолеть силу М
			и, следовательно,		в	целом	затра
			тить работу
			Л 2	=	ЛГ Н .
			Таким образом, общая затра
			ченная работа	составит
					ЛГ
			Л + Л	=	\	HdM,
					о
			это и есть значение, приведенное в
Рис.	7.	Сравнение величин	(3.3а). После совершения работы
Рис.	7.	Сравнение величин	Л , + Л г испытуемое			тело	вновь
Н'		м'	расположено	за	пределами			воз
j М	dH	и J Н dM,	действия полюса		5,	как и	прежде,
			когда его момент был равен нулю.
			Потенциальная			энергия — ЛШ
			намагниченного тела относительно

полюса S в соответствии с вышеприведенной договоренностью не входит в энергию системы. В расчет принимается только «внутрен няя» энергия, например, при микроскопическом рассмотрении взаим ная энергия элементарных диполей, результирующий магнитный мо

мент которых	равен	М.
Рисунок 7 иллюстрирует сказанное выше. На нем изображена
кривая намагничивания М(Н). Видно, что			две площади J" Н dM
И'			0
и J Md Н в	сумме	равны прямоугольнику	М'Н'.

Если намагничивание производится с помощью соленоида, то расчет 6Л производится следующим образом. Пусть намагничивае мое тело имеет форму длинного цилиндра длиной / и поперечным сечением q. На него намотано N витков проволоки, у которой от сутствует сопротивление и по которой проходит электрический ток I (рис. 8). Тогда внутри соленоида возникает гомогенное магнитное поле

		Н = -	^ / .
		с	/
Если	М0—магнитный	момент	единицы объема нашего тела, то
индукция	В = Н + 4 л М о	и эффективный поток индукции Ф = дВМ.

\ J = V- dt

Изменение Ф во времени по закону индукции приводит к возникно вению напряжения

1	. 1
V = —	Ф = — NqB.
с	с

С этим напряжением связана мощность, равная V/ . Вследствие

того	что
	J	=	H-±-		с
	J	=	H-±-		Ал
				N	Ал
	VJ	=	—1		qlHB.
			4л
где	ql = V — объем			тела, и		следователь
но,	qlM0=M	— его		магнитный момент,
поэтому
				1		dM
					Н 2	L н

||!Ц|-1г

Рис. 8. Намагничивание с помощью катушки с то ком.

Таким образом,	8я	dt		работа \Jdt за	вре
Таким образом,	совершаемая	над системой		работа \Jdt за	вре
мя dt определяется	выражением
	8A3 = Vd(^-	H » j+	HdM.
Д л я того чтобы получить значение			(3.3а),	по достижении	на

магниченности М' опять зафиксируем ее и после этого удалим поле

Н'. При этом мы снова возвратим энергию поля V ——Н'2. В конце

OJX

концов будем иметь намагниченное до М' тело без внешнего магнит ного поля и в соответствии с уравнением (3.3а) затраченная в целом работа будет равна:

М'

HdM.

Л 3

— — Н'

8л

в) Энергия

идеального

газа

Если в качестве параметров состояния

рассматриваются

температура

объем

то U=U(V,

Т),

т. е.

dU \

/ ди

(3.4)

дТ

l v

\dV

Если в частном случае dV равно нулю, то согласно

уравнению

(3.2а)

над

системой

не

производится

работа.

Следовательно,

прирост

энергии

(dU/dT)vdT

соответ

ствии с уравнением

(3.1)

равен

подведенному теплу

6Q.

Поэтому величину

(dU/dT)v

= Cv

называют

«теплоемко

стью». Если

мы

разделим

эту

величину

на

массу

или

2—480

число молей тела, то получится «удельная теплоемкость»

или «мольная теплоемкость» cv.

Смысл

производной

(dU/dV)T

мы еще неоднократно

будем

выяснять. В дан

ном

случае

ограничимся

основополагающим

опытом

Гей-Люссака

для

измерения этой величины в газах

(рис. 9). Пусть сосуд объемом V2 разделен

на две части

А п В с помощью перегородки S. Часть А первоначально

заполнена газом (объем Vu

температура

Т\),

часть

В,

напротив,

вакуумирована.

Уберем теперь

перегород-

ку. Газ мгновенно

расширится

бла

годаря

вакууму

В.

После

это

го — теперь уже в объеме

— ког

да газ придет в стационарное состо

; 1

яние, вновь измерим его температу

ру (Г2 ). Так как

вся

система

во

время этого процесса была изолиро-

Рис.

. _

_ . „

ванной,

ее энергия

не могла

изме-

9. Опыт Геи-Люс-

сака

(расширение без

ниться,

следовательно,

должно

совершения

работы).

быть

U(yuTJ

U<y»TJ.

экспериментально

было установлено, что Г2 =

= Т\, т. е. что газ при таком

расширении не меняет

свою

температуру. В пределах

точности эксперимента отсюда

вытекает, что для газов энергия

U не зависит от объема,

а является функцией одной лишь температуры. Следова тельно, для идеальных газов

( 3 - 5 >

мы добавили слово «идеальных», поскольку для реаль ных газов при расширении все же происходит небольшое, однако не улавливаемое в пределах точности экспери ментов Гей-Люссака изменение Т. Позднее мы к этому еще вернемся (§ 13 и 14).

Если принять	энергию идеального	газа при Г = 0 так
же равной нулю	и обозначить через	Су мольную тепло

емкость этого газа, то его уравнения		состояния будут
иметь вид:	т
	т
им=1	ov{T)dT;	(3.6а)
	о
PVM	= RT.	(3.66)

Уравнение (3.6а) называют калорическим, а (3.66) — термическим уравнением состояния.

4. У Д Е Л Ь Н А Я Т Е П Л О Е М К О С Т Ь
а) Нагрев	при постоянном	давлении
Уравнения	(3.1) и (3.2а)	дают 8Q = dU-\-pdV. Если вме

сто dU подставить выражение (3.4), то в общем случае вначале имеем:

8Q = CvdT +	dU \	+ p]dV.	(4.1)
	dV )т

Кроме требуемой для нагрева при постоянном объеме V теплоты CvdT, при увеличении V расходуется дополни тельная теплота, во-первых, для того чтобы совершить работу pdV (подъем груза), и, во-вторых, для того что-

бы увеличить внутреннюю энергию				I	dV
Если	в частном	случае	подвод	тепла	производится
при постоянном давлении,			то dV= (•—•']		dT, откуда
				дТ
	6Q		dU
	dT		dV
Для	идеального	газа
	(du;dV)T	= о и	(dvM/dT)p	= -R

следовательно, для разницы между мольными теплоемкостями при постоянном давлении (ср) и постоянном объеме (cv) справедливо

Ср — Си	=	(4.26)
Общее выражение (4.2а) только тогда приобретет
удобную форму, когда мы	используем вытекающее из
I I основного закона [см. (12.4)]		соотношение
dV		E L
dV		дТ
Тогда
V дТ		/у дТ
2*		19

<<< < Предыдущая 12 / 512 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202313.69 Mб28Бек М. Химия равновесий реакций комплексообразования.pdf
#
22.10.202316.22 Mб15Бекенский, Б. В. Практические расчеты мореходных качеств судна.pdf
#
29.10.20232.08 Mб7Бекерман Р.Е. Машинист трактора на строительстве.pdf
#
29.10.20235.26 Mб11Бекерман Р.Е. Монтажник строительных конструкций.pdf
#
19.10.20236.92 Mб17Бекин, Н. Г. Станки для сборки автомобильных покрышек конструкция и расчет.pdf
#
25.10.202315.46 Mб15Беккер Р. Теория теплоты.pdf
#
19.10.20236.47 Mб7Беккер, И. Г. Зарубежные машины для транспортирования древесины обзор.pdf
#
25.10.202314.39 Mб49Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf
#
24.10.202311.66 Mб1Бектемиров А.И. Структурные условия формирования карбонатно-киноварных рудных тел (Южная Фергана).pdf
#
23.10.20236.7 Mб13Беление, окрашивание и ситцепечатание..pdf
#
23.10.202335.59 Mб10Беленький, Е. Ф. Химия и технология пигментов учебное пособие.pdf