книги из ГПНТБ / Беккер Р. Теория теплоты

того, расположена ли нулевая точка в пределах интервала от а до Ь или нет.

180

Используя вышеприведенное выражение для р, получаем:

стве объем шара радиусом г пропорционален величине г*~1, объем «шарового слоя» dr равен Gr>-2dr. Если мы обозначим временно

181

Поясним ситуацию на одном специальном примере (рис. 63).

Возьмем цилиндр с поршнем, имеющий единичное поперечное сече­

может, например, иметь форму

Рис. 63. Позиция I

поршня как «пара­ метр» В еЖ-фуНКЦИИ.

с положительными коэффициентами с и А. Если А очень велико, то эта энергия при X j < l практически равна нулю, а при X j > l бесконеч­ но велика. Мы можем тогда в функции <Я? сумму

считать потенциальной энергией. Используя такую функцию W, можно получить силу Ki, обусловливаемую действием всех молекул на стенку:

Она, естественно, равна по величине и противоположна по знаку сумме всех сил Ki, которые испытывают отдельные молекулы со сто­ роны стенки:

N N

/=1 s=l

Приведенную в (34.2), усредненную во времени силу мы ощу­ щаем как давление. В каждое мгновение суммирование производит­ ся лишь для тех атомов, которые находятся вблизи стенки (XJ почти равно / ) .

б) Адиабатная инвариантность Ф *

Одновременно с Жот а будет зависеть и фазовый объем Ф*. Ф* становится тем самым функцией двух перемен­ ных Е и а и определяется с помощью выражения

m

Выясним теперь значения частных производных этой функции. Производную дФ*/дЕ — (д* (Е, а) мы уже про­ анализировали в (31.10). Для расчета дФ*1да учтем, что выражение

^ 1 б а = Ф* (Е,а+ 8а) — Ф* (Е,а)

да

определяет ограниченный двумя гиперповерхностями

Если мы, как и ранее, обозначим через dO элемент поверхности Ж=Е и через 6s расстояние по нормали между двумя поверхностями, то будем иметь:

-^8a=[8sdO. (34.4)

да J

Величина 6s следует из условия, что 6s должно иметь направление grad Ж и что при удалении на расстояние

8эЖ также должна уменьшаться на дда$€ 6а. Следовательно,

(32.3а) и (32.4) для микроканонического среднего спра­ ведливо

№

Тем самым дли любого изменения ( t) : , : (£) будет иметь

Из (34.1) мы знаем, что связанные с медленным из­ менением а затраты работы увеличивают энергию на ве-

личину (дЖ1да) da. Назовем такое воздействие на систе­ му «адиабатным» процессом.

Из (34.4) следует, что при адиабатном1 изменении параметра (или нескольких параметров) фазовый объем Ф* остается неизменным. Это и есть адиабатная инва­ риантность фазового объема.

в) k In Ф* как энтропия

Способ записи уравнения (34.4)

ш* да

дает нам сведения о возможностях увеличения энергии нашей системы: второй член представляет собой работу, совершенную над системой при изменении параметра. Вследствие этого остается истолковать первое слагаемое как подведенное тепло 6Q:

со*

Оба способа увеличения энергии различаются весьма характерным образом. Во время совершения работы 6А мы изменяем механическое состояние системы, харак­ теризуемое изменением а, при этом движение, описывае­ мое уравнениями (31.1), не нарушается. В противопо­ ложность этому при подводе тепла 6Q механическое сос-

1 Адиабатный здесь имеет значение бесконечно медленного, од­ новременно данный процесс является адиабатным в том смысле, что согласно (34.6) он не сопровождается переносом тепла.

185

тояние не изменяется; вместо этого мы произвольно воз­ мущаем характер хода движения, изменяя, например, значения отдельных импульсов pi не предусмотренным уравнениями (31.1) образом. Если наша система вообще

Здесь S0 означает вначале неизвестную, независимую от Е и а величину. Таким образом, введенный уравнением (31.9) фазовый объем оказывается параметром, опреде­ ляющим термическое поведение нашей системы.

Поясним адиабатную инвариантность Ф* на очень простом при­ мере (рис. 65). Рассмотрим маятник на нити массой т, длиной / с координатой а и энергией

1

•£кин = — ml2 а 2 ; ЕП0Т =— mgl cosa. m

186

Следовательно,

При небольшом изменении £ и / будет выполняться

Рассмотрим далее длину нити / как параметр, который мы изме­ няем адиабатно. С этой целью, как показано на рисунке, нить введе-

Рис. 65. Маятник с длиной нити / в качестве «пара­ метра». Пример адиабатной инва­ риантности Ф*.

на в начальной точке О через небольшое отверстие и медленно под­ тягивается вверх. Требуемая для этой цели сила К в каждое мгно­ вение имеет значение

При адиабатном изменении / работа, совершенная над системой, равна —Kdl (при укорочении нити dl отрицательно). Таким образом,

d £ = ~ K d / = - ^ £ ' d / .

187

Следовательно, согласно (34.10) при адиабатном изменении / действительно ЙФ* = 0.

Применительно к квантовой теории внесем некоторые дополне­

v

т. е. отношение энергии к частоте при адиабатном изменении остает­ ся постоянным.

а) Расчет Ф * для идеального газа

Начнем с расчета Ф* для газа, состоящего из N молекул и заключенного в объеме V. Функция Гамильтона для него имеет вид:

3N

2

/ I ~7Г Г- ^ с т е н к и -

2m

i=l

В интеграле

Ф* = f... \dxv..dx3Ndpr..dp3N

интегрирование для любой тройки координат dxjdtjjdzj дает значение V. В целом, следовательно, появляется множитель VN. Интеграл по импульсам распространяет­ ся на ту часть ЗЛ^-мерного пространства импульсов, для которой

ЗЛ/

£р2<2шЕ.

/-==1

188

От E и К зависят только два первых слагаемых. Ес­ ли мы предварительно заменим S = £lrU'D*, то для одно­ атомного газа будем иметь уже известный результат

dS

от числа частиц мы уже обсуждали в § 10, руководству­ ясь тем фактом, что энтропия газа, заполняющего объ­ ем V, не изменяется, если с помощью ввода разделитель­ ной стенки разделить этот объем на два других, напри­ мер V\ и V2. Этот факт обусловил то требование, что в

Рассмотрим теперь изменение, которое претерпевает фазовый объем Ф* после удаления упомянутой стенки.

ных возможностей выбрать из N атомов Ni, то величина Ф* увеличивается точно в такое же число раз. Это неже­ лательное увеличение вызывается тем, что мы получаем в Г-пространстве новую точку в каждом случае, когда мы меняем координаты и импульсы каких-либо двух оди­ наковых Частиц. Следовательно, если мы хотим избе­ жать раЗдуйания фазового объема при устранении раз­ делительной стенки, то нужно договориться приписывать одному и тому же состоянию все то точки, которые обус­ ловлены взаимной переменой места двух одинаковых ато­ мов. Но за счет произвольной перестановки N атомов

189