книги из ГПНТБ / Беккер Р. Теория теплоты

производные; р}

и Ц) следует понимать как функции

Р-, и Qj.

Используя

(30.24)

и обозначения

Wq

=dW/dqj

и т. д.,

полу­

чаем:

dQr

I*

qiqk

3Qr

k

(30.27)

dPr

Zj

"i"" dPr

'

i

Вычисляя частные производные от второго

из уравнений

(30.24)

но Qi или Pi, получаем:

it.

dqk

(30.28)

k

'• "k дР{ '

Если теперь в определителе

dgt

dgj

dqj

dq±

3Qt "'

dQf

dPi

dPf

A =

dq/

aQi

dp/

dpf

d Q i d P

f

умножить k-ю строку на Wq.4j-

Для k=l,...,f

и вычесть сумму

пере­

множенных таким

образом

строк

из (f+/ ) строки, то, если эти опе­

рации проведены

для всех

/ = 1 , л е в ы й нижний

квадрант в А

вследствие (30.27)

будет равен

нулю. Остается

I <5<7i

dqt

W

•W.qxPf

dQi

dQf

dqf_

dqf_

W«P1

w.4fPf

dQi

dQf

В заключение

рассмотрим

преобразование (30.24)

для случая, когда

разница между новыми и старыми ко­

ординатами и импульсами

&it = Qt — qi и 8Pi

= p i — Pi

W=2qiPt

+

bw(q,P),

(30.29)

где Я бесконечно

мало. Тем самым в соответствии с

(30.24) будут иметь место соотношения

с

л

dw

s

,

дю

В предельном

случае Я->0 мы можем

в w заменить

Pi на pj, в результате чего получим:

'8qi\

dw(q,p)

fbpi\

dw{q,p)

И

Если

заменить

здесь X на 6/. и

выбрать

в

качестве

w(q, р)

функцию

Гамильтона Ж (q, р),

то

последние

уравнения станут

идентичными

уравнениям

движения.

Таким

образом,

действительное

изменение

координат и

импульсов за время Ы описано с

помощью

бесконечно

малого

канонического

преобразования,

для

которого

преобразующей является

функция

Гамильтона. Так как

последовательность канонических

преобразований

так­

же дает каноническое

преобразование,

то значения

qf и

Pf в какой-либо момент времени связаны с

начальными

значениями (t=t0)

через

канонические

преобразования.

Теорема (30.26)

о детерминанте

функционала

оказыва­

а) Определение

Т-прост ранет ва

Пусть заданная

система имеет f степеней свободы, т. е.

венных координат от хи

у\, z{ до xN, yN,

zN.

Тогда

/ рав­

но 3N.

Пусть каждой координате соответствует

импульс

Pi такого рода, что закон движения во

времени

может

описываться

функцией

Гамильтона Ж (<7ь

р/)

2/

пере­

менных

<7Ь

pi с помощью уравнений

(30.11):

dp

dqi

пространство 2f

измерений, декартовы координаты

кото­

рого обозначим

2/ величинами qu

qf, pi,

pf.

Такое

пространство называется Г-пространством

Тогда каждо­

му состоянию системы соответствует точка

в Г-простран-

стве и каждому

заданному с помощью уравнений

(31.1)

чение

Ж при движении не изменяется,

т. е. траектория

лежит

в гиперплоскости Ж{Яи

pf)=E.

Здесь Е озна­

Если

мы обозначим через

v = (qu

pf)

2/-мерный

вектор

скорости в Г-пространстве и будем

считать

grad<^= —

—

{ dqi

dpf J

тоже вектором, то уравнения (31.1) и

(30.12)

дают све­

дения как о величине, так и о направлении v:

|v| = |grad I I и (v, grad Ж) = 0.

(31.3)

Таким образом, векторы v и grad Ж повсеместно оди­

наковы по величине и взаимно

перпендикулярны.

Для

изложения статистической механики

необходи­

мы две теоремы, касающиеся

упомянутой

траектории,

Кроме того,

нам нужно ввести еще одно понятие, а имен­

но фазовый объем.

б) Теорема

Лиувилля

ной гидродинамикой уравнение неразрывности

i £ + div(pv) = 0,

(31.4)

at

—

= — + v grad р

Dt

dt

&

+ р div v = 0.

(31.4а)

divv = 0.

(31.5)

гласно (31.4а) всегда Dp/Dt=0,

т. е. движущийся сов­

местно с системой наблюдатель

наблюдал бы

возле се­

бя всегда одну и ту же плотность.

При div v = 0 из выражения

(31.4) для измерения р в

определенном месте получим:

- ^ + (gradp,v) = 0.

(31.6)

ности dp/dt равно нулю. Из (31.3) известно, что

векто­

ры graded и v ортогональны. Если р есть функция

одной

только Ж, следовательно,

одной

только энергии, то

grad р и v также ортогональны. Таким образом,

О- = 0, если р -

р {Ж).

(31.7)

at

Уравнение (31.6) можно

записать

еще одним

спосо­

бом, если мы в выражение

(gradp.v)^ ^ [

щ

< 1 ,

+

-щР,

1

dt

S

i dp ше

dp

дЗР

ар

Таким образом,

используя

введенные

в

(30.12а)

скобки Пуассона, имеем:

(31.7a)

Уравнения (31.5), (31.7) и (31.7а)

представляют со­

бой различные формы теоремы Лиувилля.

в) Эргодическая

гипотеза

Снова рассмотрим

отдельную систему и ее

траекторию,

расположенную

в плоскости Ж = Е, и зададимся

вопро­

течением времени. Вместо ответа на этот

вопрос эргодическая

гипотеза

постулирует

|

^ i

(Л. Больцман, 1887):

траектория

прохо-

Н

дит через каждую точку плоскости

Ж = Е.

'

——'

Позднее было установлено, что эта фор-

р и с 5

5

мулировка математически не строга ', вме-

пример

сто нее П. и Т. Эренфест

(1911) предложили

неэргодиче-

квазиэргодическую

гипотезу:

с течением

ской

системы,

времени траектория проходит как угодно

близко от любой точки плоскости Ж

=Е.

Несколько более

точная формулировка: если

окру­

ет сказать, что это утверждение,

безусловно, справедли­

во не для каждой

системы. Простейший

примгр нару­

шения гипотезы

представляет

собой

прямоугольный

до бесконечности двигаться взад и

вперед, не

мешая

друг другу и не изменяя абсолютного значения

своей

скорости. Сразу же видно, что это в

высшей

степени

г) Фазовый объем

Ф *

Фазовый объем,

соответствующий

определенной

энер­

гии Е, определяется с помощью выражения

(31.8)

Звездочка при Ф*(Е)

введена в

связи

с

тем,

что

позднее для окончательного определения Ф

(£)

(без звез­

дочки) будет добавляться

еще один

множитель,

кото­

вие, для координат это означает ограничение

простран­

ства, в котором заключена

система. В

примере

^ - ф у н к ­

ции, приведенной в (31.2),

член WCTeHK11

нужен

для того,

ния безвозвратно в бесконечность. Далее

потребуется

еще производная а>*(Е) от Ф* по Е, т. е.

d<$* (Е) = со* ( £ ) .

(31.9)

dE

Таким образом, со*(£) 6Е представляет

собой объем

«слоя» SE в Г-пространстве.

V(r)

=

Cr\

Величину постоянной С мы укажем позднее

(§ 35, г ) .

В настоящий момент она

не

имеет значения.

Следова­

Если

теперь

(s/r)<Cl,

a v весьма велико, то

S

Vs

=

V(r)[\-e~~'

Таким

образом,

если

толщина слоя s

существенно

больше величины

r/v, то объем Vs уже практически

ра­

вен объему всего

шара. Следовательно, при

v =^ 1020

фа­

ческого

тела. Микроскопическое поведение

системы нас

в общем

случае не будет интересовать. Так, например, си­

ла, с которой газ за счет ударов молекул

воздействует

Если f(qi,

pf) представляет собой

какую-либо ин­

тересующую нас

функцию (например,

кинетическую

цы), то средняя во времени величина за период

от /;=0

до t—x определяется с помощью выражения

/ = ^ | / ( < 7 1 . - . Р / ) Л .

(32.1)

о

а) Микроканонический

ансамбль

деления р справедливо р(Е)

= 1 в слое между Е

и

Е-\-ЬЕ

и

р (Е) = 0

(32.2)

за пределами этого слоя.

Совокупность

выбранных

та­

ким

образом

систем

называется

«микроканоническим»

ансамб­

Рис. 56.

dO

представляет

лем. При

этом

б £ следует

пони­

собой

элемент гиперпо­

мать как

бесконечно

малую

ве­

верхности &6 (р,

q)

=£;

личину. При таком

определении

бг — расстояние

между

число всех

входящих

в

микрока­

двумя

гиперповерхностя­

ми &е=Е

и

ё%=Е+8Е.

ноническое

распределение

систем

численно

равно

объему

«слоя»

8Е, т. е. равно «в*

(Е)8Е.

Равнозначное

(32.2)

определение

микроканоническо­

го ансамбля можно получить при более

детальном

рас­

смотрении

двух

гиперповерхностей Ж=Е

и Ж =

Е-\-ЬЕ

(рис.

56). Если

dO — это

(2f—1)-мерный

элемент

по­

верхности Ж—Е

и бг — расстояние, перпендикулярное к

представить себе

объем ы*(Е)8Е

состоящим из элемен­

тарных объемов

8rdO. При этом

бг как

нормаль к

по­

верхности Ж = const имеет направление

grad Ж. Следо­

вательно, 8r\gvad

Ж \ представляет собой изменение

Ж

при смещении

на бг. Но это изменение должно как раз

равняться 8Е.

Поэтому

для выделенного

элементарного

объема справедливо

ШО -

б£ — ^ —

\

.

(32.3)

'

Igrad

к

d 0

со* (£).

(32.3а)

а =

8 Е

,

_

(32.4)

| grad

ж\

раз odO точек системы. Согласно (31.3)

I g r a d ^ l

равен

| v | = \Ъ(р\Л-Я2)]112 • Следовательно,

уравнение

(32.4)

убедительно свидетельствует о том, что

поверхностная

плотность а и тем самым вероятность

встретить

систему

в dO обратно пропорциональны

значению ее

скорости

в этом месте. Согласно (31.7) такое распределение

плот­

ностей стационарно. Оно не изменяется во

времени,

если каждая система движется

в соответствии

с

(31.1).

£ < § К < Е + 6 Е

(32.5)

по микроканоническому ансамблю».

(32.6)

Доказательство (32.6)

производится так:

Ж—Е

Согласно эргодической

гипотезе поверхность