Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Беккер Р. Теория теплоты

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 5118 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

(возможно, и	созданное	искусственно)	значение.	Мы
знаем только, что п лежит на максимуме кривой,				если
его величина	заметно	превышает п.	Следовательно,

наша кривая начинается с монотонного убывания до значения п. Заметных отклонений от п вслед за этим более не происходит. На этот гладкий, подтверждаемый опытом ход кривой n(t) накладывается лишь опреде ленная волнистость, относительная амплитуда которой, однако, никогда заметно не превышает величину 10~9, т. е. практически ход кривой n(t) полностью соответст вует ходу, соответствующему необратимому выравнива нию начальной разности плотностей. Макроскопическое отклонение от среднего значения может иметь место,

лишь в начале кривой n(t)		(в	период времени / — 0).
г) Н-теорема
Выше мы смогли	показать,	что мпкроканоническое		рас
пределение, т. е.	равномерное		заполнение слоя	б£ в

Г-пространстве изображающими точками, с течением времени не изменяется. Следует ли из уравнений Га мильтона, справедливых для любой изображающей точ ки, что распределение, отличающееся от микроканониче

ского, в конце концов		перейдет в	микроканоническое?
Аналогичная	поставка вопроса		нам уже встречалась
в кинетической	теории	газов при обсуждении распреде

ления скоростей Максвелла	(§ 25 и 26). Мы там	смогли
показать, что распределение
f(l,y\,Q =	Ce^+«+v>	(32.9)

для компонент скоростей |, г), £ идеального газа с тече нием времени не изменяется несмотря на взаимные со ударения молекул н, следовательно, является стацио нарным. Более того, по способу Больцмана мы смогли показать, что распределение, отличающееся от максвелловского, переходит в него именно благодаря взаимным соударениям. Это удалось получить, доказав, что вели чина

Н = J/(g,T|, W ( E , r i , t)dUr\dl

(32.10)

имеет свойство уменьшаться под воздействием взаим ных соударений до тех пор, пока не установится распре деление (32.9).

Можно	предположить, что		аналогичная		закономер
ность существует в		значительно более общих				случаях
совокупности систем в Г-пространстве, например:
если к	моменту	времени	t = t\	задана	какая-либо
плотность	р{ри qi)	изображающих		точек	в	слое 8Е

Г-пространства, то можно задать такой параметр Я, ко торый монотонно убывает со временем до тех пор, пока

не установится	микроканоническое	распределение
(т. е. р = ро = const	в пределах 8Е). В связи с успешным
выводом уравнения (32.10) параметр Я		целесообразно
записать в виде
	# = jplnpdT,	(32.11)

где р представляет собой функцию /?,, qi, a dx = dq{..., dqt означает элемент Г-пространства. Действительно, вве денная таким образом величина Я при р = ро принимает наименьшее значение Я 0 = ро1пр0 ( dx. Это можно легко установить, рассчитывая разность

Я — Я 0 = j (р In р — р0 In р0 ) dx.

Естественно, всегда должно выполняться условие

J pdx = J p0dT =	Po J dx.	(32.12)
Отсюда
H0 = Po In Ро j dx =	j p In Po dx

и, следовательно,

Я - Я 0 = j ( p In j - + p 0 - p ) d T ,

где величину po—p мы смогли ввести под знак интег рала потому, что согласно (32.12) интеграл для этой разности равен нулю. Принимая сокращенное обозна чение р/ро=х, имеем:


	Я —-Н0	= Po J (хInх		+	1-х)dx.
Величина хЛпх—(х—1)			становится				равной нулю
при х=\,	для всех	остальных		значений		х	от 0	до бес
конечности она положительная.				(Кривая		х	In х	во всей
области	проходит	над прямой		х—1.)		Следовательно,

любое отличающееся от р—ро распределение дает поло жительное значение Я — Я 0 . Если бы мы смогли пока-

171

зать, что Н действительно уменьшается со временем, то была бы найдена искомая аналогия с кинетической тео рией газов, но мы были бы вынуждены признать тот факт, что определяемый уравнением (32.11) параметр Н не изменяется во времени, поскольку справедливо соотношение

		—	fplnpdT = 0.						(32.13)
		dt	,}
Это	просто	вытекает		из		теоремы	Лиувилля		(§	31),
согласно которой плотность						р наблюдателя, движущего
		ся совместно с системой в Г-простран-
		стве,	не		изменяется		(Dp/Dt =		0).	При
		таком		совместном движении					элемент
		объема dx переходит в другой элемент
		(такой		же		величины), в котором плот
		ность		р	имеет прежнее			значение,		так
Рис 60	Ансамбль	ч т о П	Р И		интегрировании			по всем		эле-
сосредоточен в не-		ментам объема должно получаться то
большой	области	же самое значение. [Тот же результат,
микроканоническо-		естественно, получим, если произведем
го слоя энергии.		,	,			J		г
		дифференцирование,					предусматривае
		мое	в	(32.13), подставив				для	р значе

ние, вытекающее из уравнения Гамильтона].

Чтобы, несмотря на это, понять, как с течением вре мени в слое 6£ может установиться равномерное распре деление, рассмотрим распределение, при котором ко вре

мени t = 0 лишь		небольшая		часть	слоя	б£	заполнена
с плотностью	р = рь например			небольшая 2/-мерная ка
пелька (рис.	60).	Пусть	за	пределами		этой	капельки
р = 0. Тогда	для	любого	времени		плотность		в том ме

сте, в котором находится хоть какая-либр часть суб станции капельки, имеет начальное значение рь Для

любой точки Г-пространства мы	всегда	имеем	лишь
два возможных случая р = 0 или	p = pi.	Если	прак

тически все же должно наступить равномерное рас пределение, то это может произойти лишь таким об разом, что из капельки в конце концов образуется по добие мыльной пены, которая заполнит весь слой 8Е, причем отдельные ячейки этой пены будут иметь неиз менную плотность рь

Подобную ситуацию можно было бы проиллюстрировать совсем простым примером (рис. 61). Рассмотрим в качестве «системы» ма териальную точку, которая движется взад и вперед в направлении оси х между двумя отражающими стенками (например, от х = 0 до

172

х = а),

Г-пространство

имеет лишь две координаты, х

и р.

Функция

Гамильтона

имеет вид

( р 2 / 2 т ) + 1 Г с т е

н н и .

При

этом

^стенки

равно

нулю

для 0 < х < а

и бесконечности

за

пределами этого диа

пазона.

«Плоскость»

Ш =Е

представляет

собой

прямоугольник

с длинами сторон а и 2 V 1тЕ.

Слой б £ заключен между

двумя та

кими прямоугольниками

имеет

толщину

Ьр —

&Е. Пусть

ко времени t = 0 задано

2Ё"

большое число материальных

точек,

которые

равномерно

заполняют

сечение

слоя, лежащее

между х

и х + А х .

"Подобная «капля» с

течением

времени

деформируется

вслед-

р*3р ,.Pt--Ot--t,

t'-ti

T = t3

t=t.

ЫР

\ &

J x

Лх

а I f

-р-бр	\8р
-р-бр
	Лх

Рис. 61. Примитивная модель //-теоремы (материальная точка между двумя стенками). Переход от концентриро ванного распределения (г = 0) к пластинчатой структуре

ствие того, что частицы, расположенные вблизи р+6р, двигаются несколько быстрее, чем расположенные вблизи р (так как справед

ливо	bv = bpjm). Наша капелька с течением	времени будет менять
свою	первоначально прямоугольную форму	на параллелограмм со

все более наклонными сторонами при остающихся неизменными ос новании и высоте. Отражение от стенок не приведет к принципиаль

ным изменениям в этом процессе. В конце			концов горизонтальная
сторона этого параллелограмма станет настолько длинной,						что она
частично разместится в верхнем, а частично			в	нижнем	слое.
На рис. 61 для наглядности изображено			изменение		распределе
ния плотности во времени:	^ = 0,	t = tu t = t2		определяют		первую
стадию. К моменту времени	f = r3	достигается		разделение		на два
слоя — вверху и внизу. К моменту		времени	t=t4 вверху и			внизу

находится уже большое количество полос, расстояние между кото рыми с течением времени становится все меньшим, в то время как альтернатива p = pi или р = 0 сохраняет свою силу.

О равномерном распределении, очевидно, можно го ворить, только отказываясь от определения точного зна чения локальной плотности и вводя вместо нее значение плотности, усредненное по конечной ячейке Г-простран- ства.

Переходя снова к общему случаю, разделим Г-прост ранство на ячейки, которые мы отметим с помощью ин-

173

декса / ( / = 1 , 2, 3). Объемы g отдельных ячеек в целях упрощения принимаем одинаковыми. Тогда усредненная по ячейке / плотность р , определяется с помощью вы ражения

Р / = —	f	•••\p(Pt,4i)dpidgl,	(32.14)
	ячейка	/

причем интегрирование следует выполнять по ячейке номер /.

Теперь вместо (32.11) запишем новый параметр:

Н= J ... J P l n P d t ,	(32.15)
где Р — функция ри Ци задаваемая тем, что она	имеет

в пределах ячейки / постоянное, определяемое выраже нием (32.14) значение. В этом смысле Р прерывно посто янна. Следовательно, выражение (32.15) идентично вы ражению

	#	= g £ P / l n P y .	(32.15 а)
Так	как в (32.15)	подынтегральное выражение пре
рывно	постоянно, то	вследствие (32.14)	справедливо
также	Я	= \| р 1 п Р ^ т .	(32.156;
	Я	= \| р 1 п Р ^ т .	(32.156;
//-теорема классической статистической механики
может теперь выражаться как
		— < 0 ,	(32.16)
		dt

причем знак равенства справедлив только тогда, когда все Pj равны между собой1 . Удовлетворительное дока зательство этой гипотезы в рамках классической стати стики, по-видимому, отсутствует, хотя она считается соответствующей действительности во всех разработках. Во всяком случае можно показать следующее.

Если к начальному периоду времени t'=tv описать распределение только с помощью значений Pj, прини-


1 Производную (32.16) следует понимать				как отношение			конеч
ных разностей. К	началу каждого	промежутка		времени	(tv	,	)
микроскопические	плотности р в	соответствии		с (32.14)	заменяются
на Р (необратимо!). Процесс движения			в пределах каждого			интерва
ла времени происходит по уравнениям			Гамильтона.

174


мая, что в пределах	каждой ячейки		действительно уста
навливается постоянная		плотность	pv — Р , то	можно
показать, что в этом	случае для значения ffv+iB			более
позднее время tv+l должно		выполняться
	Hv — Hv+i>0,			(32.17)

т.е. что Н уменьшается, ибо при наших допущениях о р

ивследствие уравнения (32.13) будем иметь место ра венство

Hv = j		Р In Pdr = j			P v In pv dx = j p v			+ i In p v + I		dx.
Следовательно,
# v -		# v + l = J ( P v +			1 l n P v + l -		P v + I 1 1 1 P v + 1 ) D X -
Вследствие			(32.156)		и J	(P v + 1 — P v		+ 1 )	= 0	имеем
также
К = Й П 1 = j(Pv+1					l n - ^ i + P v + 1 - P v + 1 ) dx = 0,
т. е., используя			сокращенное			обозначение			p v + 1 p v + 1 = у,
получаем:				=ftv+l(y\ny			+	\-y)dy.
	^ v - ^ v + i									для лю
Подынтегральное				выражение			положительно
бого у. Только если к моменту времени								f v + 1	повсеместно
У=\, т. е. p v + 1 = P V + 1 ,				то Hv = # v + 1			. Если	мы и доказали
условие	(32.17), то значительно						более	далеко		идущая
гипотеза	о том, что И действительно достигает									миниму

ма, к сожалению, еще не доказана.

В данном случае возникает несколько странная ситуа ция. С одной стороны, для идеального газа с помощью

теоремы о числе	столкновений	мы можем		доказать
Я-теорему. С другой стороны, позднее			(§ 45)	в кванто
вой статистике, где дано весьма		общее	доказательство
такой же теоремы,	для И будет	получено выражение,

формально идентичное (32.15а). Вместо g там будет ис пользован определенный диапазон квантовых чисел. Мы покажем, что в квантовой теории изменение Pj во време

ни	может описываться с помощью выражения Pj =
=	EA,ift (Рл—Pj) при Kjh — Xhj-

Эти уравнения оказываются вполне пригодными, чтобы доказать уменьшение параметра Н со временем. По-видимому, в области классической физики до сих пор

не удалось получить в общем	случае		подобный		закон
для изменения Pj во времени из уравнений				Гамильтона.
При обсуждении описанного затруднения нужно учитывать сле
дующее.
В основной теореме о числе столкновений			(26.3) относительно
«элементарного объема dv» пространства		скоростей		предполагалось,
что число /(v)rfv содержащихся в объеме		атомов		газа велико по
сравнению с единицей. Данные о f(\)dv		не дают,		следовательно,
вообще никаких сведений о скоростях	V i , v 2 ... отдельных				атомов.

Напротив, можно составить чрезвычайно большое число различных

комбинаций чисел V i , v	2 ,	которые все давали	бы одну	и ту же
функцию распределения		f(x)dv. Следовательно,	и теорема	о числе

столкновений также содержит в себе лишь сведения о среднем по

ведении очень многих экземпляров газа, которые

все имеют

одина

ковую функцию

/(v)rfv.

В соответствии

этим

мы доказываем

Я-теорему ценой отказа от точного описания

отдельного

экземпляра

газа. К этому добавляется, что полученное

выше

выражение для

изменения

f(\)

от времени, т. е. выражение

(26.6)

для df(v,

t)/dt.

собственно

говоря, не

является

производной

строгом смысле,

а, как вытекает

из § 26, представляет

собой

отношение

конечных

разностей

[f(v,

t-\-x)—f(v,

t)]/r,

причем

должно

быть

настолько

велико, чтобы в его пределах

еще произошли

многие

столкновения.

Соответствующая ситуация

характерна

для квантовой

теории при

выводе только что упоминавшегося уравнения

для изменения

Pj во

времени. Во-первых, Pj означает

здесь не число

систем

в точно

опре

деленном квантовом состоянии /, а лишь среднее значение из очень

многих подобных состояний. Кроме того, в данном случае									изменение
Pj во времени			также	рассматривается лишь как отношение					конечных
разностей		за	конечное время		т,	причем	нижний	предел	т связан
с неопределенностью				энергии	в квантовой теории.
Наконец,			укажем	еще на связь определенного				с помощью		урав
нения	(32.15а) параметра Н с					вероятностью. Если мы будем				рас
сматривать Р,- как целые числа при 2Pj = P, то мы можем									поставить
						/
следующий вопрос. Пусть будут						заданы	ячейки / = 1 , 2, 3... Г-прост-
ранства и Р систем. Как велика						тогда вероятность		того, что при чи
сто статистическом распределении Р систем по различным									ячейкам
получится		распределение, задаваемое последовательностью							чисел Pi,
Р 2 ,	Pj	Для ответа нам нужно определить число различных								воз

можностей реализации данного распределения. Число перестановок расположенных в ряд систем равно Р.' Из этих перестановок не даю г

нового распределения	такие,	которые	отличаются	друг от друга
лишь перестановкой систем в		пределах	отдельной	ячейки.	Вероят
ность некоторого распределения с точностью до постоянного					сомно
жителя С равна числу	возможностей реализации. Поэтому
	W = C	Р !	.
	W = C		.

1 У Г 2 ! . . . Г / !

176

Таким образом, используя		формулу	Стирлинга, получаем	In № =
= ln С + 1 ' l n Р - Е Р , - In Pj.
/'				С, не
Следовательно, согласно		(32.15а),	используя постоянную	С, не
зависящую от Pj, получаем:
77	=	С — g i n	W.

Теперь мы знаем, что Н имеет свое наименьшее значение, когда все Р,- имеют одно и то же значение. Следовательно, в этом смысле микроканоническое распределение является распределением с наи большей вероятностью. Таким образом, наша гипотеза (32.16) озна чает, что с течением времени распределение действительно перехо дит в наиболее вероятное распределение. Это не является удовлет ворительным доказательством, хотя и выглядит довольно убеди тельно.

33. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ

а) Закон

равнораспределения

Имеется случай, для которого мы действительно можем строго вычислить микроканоническое среднее (32.5), а именно для величины р\дШ\йр\. Сначала, используя вве денные с помощью выражений (31.9) и (31.10) функции Ф* и и*, вместо (32.5) мы можем записать:

		d	Е
		d	('
		-jjT	\ f (<7i> • • • - Pf) dqi-• -dPf
	f=		'-			.		(33.1)
	ля \=p\	с	CD* ( £ )						'
	ля \=p\	с	помощью	частного		интегрирования
по pi		dp
по pi	(при постоянстве всех			остальных		2/—1		перемен
ных)	получим:
	\pi^dp1		=		^(p1^)dp1-^mPl.
Интеграл		(при постоянных значениях р2,					Рз, • • •, qi)
следует брать		вдоль	прямой, параллельной оси р\, на
участке, пока эта прямая проходит в пределах								объема,
ограниченного поверхностью Ж=Е					(рис. 62). Если				р ^ ' и
Pi<n>— значения р\ в точках пересечения						указанной			пря
мой с данной		поверхностью, то Ж			в обеих		точках		имеет
значение, равное Е.
Тем самым будет выполняться					равенство
	P l ^ d P l	. . . dqf	= Е Г (р<<> -		р{">) dp,		...dq-
	OPl		J
			— jЖdp1...	dqf.

12480

177

Далее выражение		(р{1)—p[U))dp2..			,dq	f	представля
ет собой объем «трубки» длиной р\1)—р[1!)							и попереч
ным сечением dp2...		dqt,	вырезанной из			фазового объе
ма. Следовательно,					Е
					Е
i\p1^dp1...dq!			= EO*~			,ffldp1...dq!.
J	dp!				J
				.	о
	I	I — Р и с .		62.	Фазовый		объ-
	\	/	ем	Ф*,	определяемый

-p\"))dp2...dqr

Это выражение в уравнении (33.1) нужно продиф ференцировать по Е. При этом получим

Е Е+ЬЕ

~ ^ m d P l . . . d q i = - ~	[	Ztdp1...dqL=E(**(E),
О	Е

следовательно,

JL{Pl^dPl...dq,			=	<I>+ Ей		(Е) -	£СО* ( £ ) .
dE J	dpi
Согласно	(33.1) мы имеем:
		Л dp2	~	со*	d 1пФ*
Подобные		соображения		справедливы			для каждого
Pj и Q'j. Таким		образом,	мы		имеем	неожиданно общий
результат:

Pi	= q,	=
' dpj	7 / dqj	d i n Ф*
		dE

для любого /.	(33.2)
i	\	1

Все 2f средних значений (33.2) оказываются одина ковыми. Это п есть закон равнораспределения.

Если кинетическая энергия зависит от pj в форме

%В.р2. (где В. могут быть произвольными функциями

17§

c/i,..., c/j, а потенциальная энергия от импульсов пё за висит), то

p . J ^ =	2В.р>..
р> ,iPj	' 1 >

Следовательно, согласно (33.2)

В.р°-. = - 33.3

равно средней кинетической энергии, приходящейся на одну степень свободы. Теперь допустим, что наша систе ма содержит также один свободный атом газа. Из ки нетической теории газов мы знаем, что для него средняя кинетическая энергия, приходящаяся на каждую степень свободы, имеет значение kT/2. Согласно (33.2) любая другая степень свободы должна обладать тем же свой ством. Следовательно, мы предварительно имеем право приписать нашей системе температуру, определяемую соотношением

		dE	=	J L .		(33.4)
		dE		kT		'
Несколько	более общий		вывод мы можем получить
из выражения	(33.2). Если		в	соотношении		Ж=Шк»п +
Ч-с^нот кинетическая		энергия			является	однородной
квадратичной	функцией от ри			...,	/?/, то
	i
	S	Pi —— =		2еЙ?Кин-
	S	dpj
	/ = 1
Следовательно, согласно (33.2) и (33.4) среднее зна
чение кинетической энергии			равно:
		^ к п н = / ^ .				(33.5>

Это выражение представляет собой частную форму закона равнораспределения для системы с / степенями свободы.

Другим следствием выражения (33.2) является тео рема о вириале. Вначале из (33.2) совместно с (33.4) следует:

= f k T -

12*

179

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 5118 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202313.69 Mб28Бек М. Химия равновесий реакций комплексообразования.pdf
#
22.10.202316.22 Mб15Бекенский, Б. В. Практические расчеты мореходных качеств судна.pdf
#
29.10.20232.08 Mб7Бекерман Р.Е. Машинист трактора на строительстве.pdf
#
29.10.20235.26 Mб11Бекерман Р.Е. Монтажник строительных конструкций.pdf
#
19.10.20236.92 Mб17Бекин, Н. Г. Станки для сборки автомобильных покрышек конструкция и расчет.pdf
#
25.10.202315.46 Mб15Беккер Р. Теория теплоты.pdf
#
19.10.20236.47 Mб7Беккер, И. Г. Зарубежные машины для транспортирования древесины обзор.pdf
#
25.10.202314.39 Mб49Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf
#
24.10.202311.66 Mб1Бектемиров А.И. Структурные условия формирования карбонатно-киноварных рудных тел (Южная Фергана).pdf
#
23.10.20236.7 Mб13Беление, окрашивание и ситцепечатание..pdf
#
23.10.202335.59 Mб10Беленький, Е. Ф. Химия и технология пигментов учебное пособие.pdf