книги из ГПНТБ / Беккер Р. Теория теплоты

с поршнем моль пара от давления рг до р » , совершая при эхам работу

3. Введем этот моль в паровое пространство сосуда, в котором жидкость с плоской поверхностью находится в равновесии со своим паром. Совершенная работа

Рис. 43. Изотермический обратимый круговой процесс для определе­ ния In pr/ln рк .

4. Наконец, с помощью шприца отберем из последнего сосуда-, один моль жидкости и совершим при этом еще раз работу

(работами расширения и сжатия жидкости мы можем пренебречь). Таким образом наш круговой процесс замкнулся, поскольку все участвующие в процессе системы и устройства вернулись в исходное состояние. Так как процесс происходил изотермически, сумма всех четырех работ должна быть равна нулю. Это опять-таки даст в ито­ ге точно такое же уравнение, как и (22.3).

СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

23.В В Е Д Е Н И Е

Первоочередная задача статистической механики заклю­ чается в том, чтобы на основании существующих в на­ стоящее время представлений об атомарном строении материи сделать понятными выявленные в термодинами­ ке закономерности. Впервые подобная задача была ус­ пешно решена Максвеллом и Больцманом в развитой ими

100

кинетической теории газов. Она кратко изложена в раз­ деле А. Содержащиеся в нем рассуждения и методы слу­ жили прообразом при анализе более общих проблем.

Всякий раз, пытаясь дать учению о теплоте теорети­ ческое обоснование, независимо от специальных моде­ лей мы сталкиваемся с очень примечательной ситуаци­ ей. В термодинамике физическое состояние материаль­ ного тела определяется с помощью немногих численных данных, таких, например, как давление, энергия, плот­ ность, скорость и т. д. С другой стороны, для описания микроскопической картины требуется невероятно боль­ шое количество данных, как, например, положение и скорость всех атомов в классической теории газов (или в квантовой теории функция Шредингера для соответст­ вующей задачи N тел). Только когда для времени 1=0 имеются все эти данные (их общее число имеет по мень­ шей мере порядок 102 3 ), атомарная теория может в принципе предсказать дальнейшее развитие системы. Од­ нако фактически макроскопическая термодинамика представляет в наше распоряжение лишь немногие чи­ сленные данные, поэтому, об атомарной ситуации мы по­ чти ничего не знаем. С другой стороны, этих немногих численных данных достаточно для того, чтобы дать осно­ ву для количественного описания таких макроскопичес­ ких процессов, как диффузия, теплопроводность, течение жидкости и т.д., на основании дифференциальных урав­ нений, которые в макроскопической физике рассматри­ ваются как следствие строгих закономерностей. С точ­ ки зрения атомарных представлений все эти закономер­ ности могут в лучшем случае рассматриваться лишь как вероятностные, так как конечно же невозмож­ но, основываясь на подобном весьма скудном знании атомарной ситуации, делать точные предсказания. По­ этому во главе учения о теплоте стоит ненадежность всех физических выводов, вытекающая из нашего нез­ нания действительной ситуации. В следующих парагра­ фах мы должны подробнее рассмотреть это незнание, в частности, следует попытаться сформировать меру дан­ ного незнания количественно. Это приведет нас к выво­ дам следующего рода: на основании макроскопических исходных данных мы лишь узнаем, что система представ­ ляет собой часть микроканонического или, при задании температуры, канонического ансамбля и что макроскопи­ ческое поведение соответствует значению усреднения по

101

этому ансамблю. При этом в качестве результатов, име­ ющих первостепенное значение, будет получен: пара­ метр, который доминирует во всей термодинамике, а именно энтропия, которая оказывается количественной мерой только что упомянутого незнания. Это, без сомне­ ния, один из самых значительных и глубоких выводов всей физики. Он, естественно, приобретает смысл только после точной формулировки, которая может быть получе­ на лишь после проработки последующих разделов. Основ­ ной особенностью статистической механики является то, что число микроскопических степеней свободы, по суще­ ству определяемое числом N атомов, содержащихся в си­ стеме, чрезвычайно велико. Хотя с ростом N наши знания о микроскопической структуре становятся все меньшими, вышеотмеченные вероятностные предсказания становят­ ся тем надежнее, чем больше N, в том смысле, что в пре­ деле JV-voo мы снова придем к точным результатам.

Эта особенность теории вероятностей настолько ха­ рактерна, что мы поясним ее сразу же на простом при­ мере. Пусть газ состоит из N молекул, которые двигают­

то р и q представляют собой вероятности того, находит­ ся ли выделенная молекула в пределах объема v или вне его. Таким образом, вероятность того, что из N прону­ мерованных молекул молекулы с номерами от 1 до п лежат в пределах и, а молекулы с номерами от пА-l до N— вне его, равна:

Для определения вероятности w(n) нахождения в объеме v любых п молекул последнее выражение сле­ дует умножить на величину

т

n\(N—n)\ '

которая как раз и представляет собой число различ­ ных возможностей выбрать любые п молекул из общего числа N. Следовательно,

102

тельное отклонение с ростом п стремится к нулю. Этот результат в сходной форме будет нам встречаться много­ кратно. Именно потому, что число п при всех макроско­ пических измерениях чрезвычайно велико, мы можем практически говорить об определенной плотности и со­ вершенно абстрагироваться от ее колебаний.

Д л я многих приложений полезно рассчитать фактическую вели­ чину (23.1)

и Nq. Тогда в подкоренном выражении мы можем пренебречь вели­ чинами v. Наоборот, множители перед корнем мы должны разло­ жить в ряд вплоть до членов порядка v2 . По схеме

( 1 + а ) " « Г - —

104

получим, например,

Отсюда, ограничиваясь членами порядка v2 , получим:

Если р<€Л, то, следовательно, <7«1, отсюда, используя соотно­ шение Np — n, имеем:

А . К И Н Е Т И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я Г А З О В

24. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Кинетическая теория газа утверждает, что газ состоит из большого числа молекул, каждая из которых движется в пространстве прямолинейно с постоянной скоростью. Это движение отдельной молекулы прерывается лишь кратко­ временно, благодаря столкновениям со стенкой или с дру­ гими молекулами. Задача теории состоит в том, чтобы, исходя из такой модели, по возможности количественно вывести наблюдаемые свойства газа. В качестве послед­ них в первую очередь представляют интерес уравнение состояния p = p(V, Т), удельная теплоемкость, а затем внутреннее трение, теплопроводность и т. п.

Вначале поэтому мы имеем перед собой чисто меха­ ническую постановку вопроса, которую для случая, когда молекулы идеализированно представлены в виде матери-

105

альных точек, можно было бы сформулировать следую­ щим образом. Пусть х{, ytj Zi — координаты t-й молекулы. Индекс i принимает значения от 1 до N. Пусть между какими-либо двумя молекулами i и k существует потен­ циальная энергия ф, которая зависит только от расстоя­

бесконечности. Кроме того, пусть существует потенциаль­ ная энергия Ф относительно стенки, которая для i-й моле­ кулы зависит от ее расстояния до стенки bi таким обра­ зом, что при bi -> О Ф становится равным плюс бесконеч­ ности, а во всех остальных случаях (внутри объема V) оно равно 0. Следовательно, общая потенциальная энер­ гия U представляла бы собой функцию 3N переменных:

с помощью которых можно было бы произвольно задать положение и скорость всех N молекул в момент времени t=0. Естественно, что эта проблема безнадежно сложна. Нас интересуют только определенные средние величины, как, например, давление, т. е. сила, действующая на не очень малую часть стенки.

Таким образом, кинетическая теория газов представ­ ляет собой начало более общей дисциплины, называе­ мой «статистической механикой».

Начнем с расчета давления, которое оказывают на стенку наши N молекул, заключенных в объеме V. Оп­ ределим упомянутую выше функцию Ф(йг) таким об­ разом, чтобы молекулы отражались от стенки полностью

106

упруго. В этом случае, очевидно, не может быть речи о давлении как о постоянной во времени силе. Для того чтобы яснее представить тебе соответствующие со­ отношения, вернемся к первоначальному определению давления. Представим себе вырезанный в стенке участок площадью /, свободно перемещающийся в образовав­ шемся отверстии как поршень (рис. 44). Теперь для того,

в каждое мгновение для проекции на координатную ось

т. е. «средняя» сила должна быть равна нулю. Измене­ ние во времени силы, действующей на поршень, нагляд­

этой неупорядоченной силы является броуновское дви­ жение всего поршня, которое позднее мы будем рассмат­ ривать более подробно.

Если мы проинтегрируем наше уравнение по времени т, за которое произошло уже большое количество уда­ ров, то получим:

тт

{Мх ) т — [Мх)0 = f Xt dt + • • • + j Xn dt — xpf. (24.1)

о0

Приравнивая это выражение нулю, мы налагаем ус­ ловие, чтобы передаваемый на поршень за время т им-

107

пульс оставался равным нулю. Сила Xi, с которой 1-я молекула действует на поршень, отлична от нуля лишь тогда, когда молекула находится в непосредственной близости от поршня. Если Xi означает х-компоненту ско­ рости г-й молекулы, am — ее массу, то по закону дей­ ствия и противодействия для движения этой молекулы во время ее столкновения со стенкой справедливо

—тх{ =+ X,-.

„км

. p f JL-ftJLtJlA^jLL^iiuA-^u t

Рис. 45. Изменение во времени силы, действующей на поршень согласно рис. 44.

Если мы проинтегрируем это уравнение по всей дли­ тельности удара о стенку и обозначим через ^,i = Xi ско­ рость молекулы перед ударом, то в левой части мы полу­ чим величину 2т£г, в связи с тем что мы приняли силу упругой, а в правой части j Xidt — интеграл по длитель-

удар

ности удара. Тогда импульс, передаваемый в соответ­ ствии с уравнением (24.1) за время т, будет равным ну­ лю в случае выполнения равенства

индекс S' означает суммирование по всем молекулам, соударяющимся с поверхностью / за время т.

Для дальнейшего проведения расчета нам нужно вве­ сти основополагающее понятие распределения состоя­ ний, необходимое и для всех последующих выкладок. Благодаря этому понятию ход наших рассуждений полу­ чает статистический характер. Мы сделаем допущение, что наши N молекул «равномерно» распределены в объ­ еме V. Это должно означать: в любом небольшом выде­ ленном объеме dV должно находиться

N®L = n d V

v

молекул. При этом через n = N/V мы обозначаем «число молекул в единице объема». Это допущение, естествен-

108

точно большое число молекул. В противном случае нам пришлось бы считаться с большими флуктуациями чис­ ла молекул, содержащихся в объеме dV (см. § 23). Теперь рассортируем эти п молекул по их скорости. Для этой цели представим, что для каждой из них мы измерили три компоненты скорости £, т), £. Из составленной таким образом таблицы всех имеющихся скоростей мы выбе­ рем такие, для которых скорости I , ц, £ лежат в опре­

Коэффициент п вводится с той целью, чтобы для ин­ теграла по всем скоростям выполнялось условие

+00

Подобную функцию nF назовем функцией распреде­ ления по скоростям. Мы можем сделать ее еще нагляд­ ней, применив систему координат \, х\, £ («пространство скоростей») и отметив в нем для каждой из п молекул точки, соответствующие их скоростям. Наша функция F(\, г\, £) показывает тогда плотность расположения полученного множества точек. Кинематически подобную картину можно получить, если представить себе все п молекул находящимися в момент времени ^ = 0 в начале координат пространства скоростей и дать им затем воз­ можность разлететься каждой со своей скоростью. Тог­ да положение молекул в момент времени t=\ даст как раз картину распределения скоростей. Если F известна, то мы можем получать различные средние значения, ко­ торые будем отмечать черточкой. Согласно условию

f^F(£,r\,Z)dldi\dZ=l,

поэтому для среднего значения £ 2 = и 2 , например, будет справедливо

109