книги из ГПНТБ / Беккер Р. Теория теплоты

из любого распределения, столкновения в конце концов должны привести к установлению распределения (26.9). Только тогда величина Я станет постоянной и только тогда состояние будет стационарным. Это и есть содер­ жание Я-теоремы Больцмана.

З н а к в р е м е н и . Оказывается, что Я-теорема со­ держит в себе крайне примечательный парадокс, кото­ рый давал повод для многих противоречивых суждений. Молекулы газа представляют собой механическую систе­ му, конфигурация которой изменяется во времени сог­ ласно уравнениям

mxi =—JLu(xdxi lt *„.••).

Эти уравнения включают лишь вторую, а не первую про­ изводную по времени. Следовательно, если Xi(t) пред­ ставляет собой решение уравнений, т. е. соответствует возможному движению всей системы, то Xi(—t) также будет являться решением. В действительности это озна­ чает: если бы в определенный момент скорости всех мо­ лекул изменились бы на обратные (по команде «кругом марш»), то система стала бы пробегать все более ранние состояния в строго обратной последовательности. Если бы, например, произвести кинематографическую съемку процесса, то полученная таким образом пленка отобра­ жала бы процесс, допустимый по основным законам ме­ ханики как при ее прямом, так и при обратном просмот­ ре. Таким образом, если рассматриваются два какихлибо произведенных в различное время моментальных снимка системы, то принципиально невозможно решить, какой из них ранний, а какой более поздний. И вдруг, исходя из простых, чисто механических уравнений столк­ новения двух материальных точек, мы получили в Я-тео- реме параметр, который со временем изменяется только в одном направлении. Измеряя величину Я, мы можем однозначно различить прошедшее и будущее. Разреше­ ние этого парадокса состоит в том, что при выводе Я-теоремы мы опирались не только на механику, но, кро­ ме того, положили в его основу закон о числе столкнове­ ний (26.3), происходящих за время т. При неупорядочен­ ности движения молекул в промежуток времени т может

130

исходить и намного большее, и намного меньшее коли­ чество столкновений. Благодаря условию (26.3) мы фак­ тически ввели в расчет статистический элемент. Точнее

го раз, то как среднее всех подсчетов получается резуль­ тат (26.3). И в этом смысле Я-теорема справедлива только для средних значений. В статистической меха­ нике подробно будет показано, что величина Н умень­ шается в подавляющем большинстве случаев.

27. БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Эта формула описывает снижение давления воздуха р в зависимости от высоты х над земной поверхностью. Различные методы ее вывода наглядно иллюстрируют соответствующие физические отправные положения.

Рассмотрим воздушный столб, заключенный в верти­ кальном цилиндре. Пусть в нем существует термическое равновесие, т. е. повсюду одна и та же температура. Най­

силы со стороны ниже и вышележащих слоев газа. На

ная вниз. Разность этих давлений и дает силу, поддер-* живающую слой. Следовательно,

р (дг) — р (х + s) = pgs.

Если теперь перейти к пределу s-> 0, то в левой ча-

dx

Если р известно в виде функции р, то это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение для р(х). К тому же самому уравнению можно прийти, если принять во внимание, что давление в любом сечении рав­ но весу всего расположенного над этим сечением столба газа. Если обозначить через х' какое-либо сечение, рас» положенное выше х, то должно выполняться условие

ния над земной поверхностью? Для этой высоты должно выполняться условие

Mgh __ j

RT *

следовательно,

h = RT

Mg .

Подставляя численные значения (^ = 981 см/сек2,

132

В показателе степени числитель представляет собой теперь потенциальную энергию mgx в поле тяжести Зем­ ли, знаменатель — термическую энергию kT. Этот спо­ соб записи можно истолковать следующим образом. Благодаря потенциальной энергии mgx молекулы «хо­ тели бы» опуститься на землю. Однако термическая энер­ гия движения kT препятствует этому. Две противобор­ ствующие тенденции приводят к компромиссу, выражае­ мому формулой (27.3). Подобное толкование еще будет уточняться.

одна и та же. Введем теперь усложняющее условие, что плотность зависит дополнительно от положения. Благо­ даря этому возникает общая постановка вопроса. Вы­ делим в пространственной системе координат вокруг точ­ ки х, у, г элементарный объем dx dy dz, а в пространстве

кул и действующие на них силы не изменяется. К сча­ стью, в случае распределения по высоте с самого начала

133

вследствие влияния силы тяжести. Тогда рассмотрение ограничится функцией f(x, £), смысл которой еще раз проиллюстрируем в плоскости х, £ (рис. 51). Каждая

Ч { t ' T )

Рис. 51. Картина потока в плоскости х, g для случая постоянного поля тяжести в на­ правлении х.

В стационарном состоянии плотность точек вдоль штриховой параболы неизменна.

общем случае не является стационарным, ибо в поле тя­

имела значение f(x—£т, g+gfOКроме того, площадь заполненного молекулами элемента dx d% при подобном «потоке» не изменяется. Следовательно, если плотность точек в окрестности х, £, должна оставаться неизменной, то должно выполняться условие

134

Таким образом, в пределе т -> 0 должно быть

dl дх

При решении этого уравнения учтем, что если для функции ф(«, v) двух переменных и и v выполняется условие дц>/ди = д(р/ди, то ф может быть функцией лишь одной переменной u-\-v, т. е. (р = ц>(и-\-и). Этот результат применим к уравнению (27.6), если заменить перемен­ ные на

и = gx и и = - | - ? .

Тогда из уравнения (27.6) следует, что

/ (*,D = + у

должно быть функцией только одной переменной gx-{- + ~тр£2- Однако зависимость функции распределения от

| нам уже известна — она определяется формулой Мак­ свелла. Тем самым получаем:

Наоборот, если принять, что известна барометриче­ ская формула, то из наших рассуждений следует рас­ пределение скоростей Максвелла.

Возвращаясь теперь к более общей функции (27.4), имеем функцию распределения в поле тяжести:

Этот результат можно сформулировать очень просто. В числителе показателя степени стоит сумма потенци­ альной и кинетической энергии, соответствующая эле­ менту dx dl, dr[ dt,. Естественно, из уравнения (27.7) мож­ но вновь получить барометрическую формулу. При этом

—00

135

с помощью суммирования (или интегрирования) по всем скоростям. Мы можем избежать действительного выпол-

но это и есть наш старый результат.

с позиций термодинамики. Пусть одинаковая температу­ ра в столбе поддерживается с помощью соответствую­ щего термостата. Тогда в пределах столба установится некоторое распределение давления, например, в нижней части давление ро, а на высоте h — давление р\. Если теперь в нижнюю часть подвести газ, то за счет энергии термостата он будет перенесен в верхнюю часть. Это наводит на мысль использовать этот факт для получе­

грамм. Теперь обратимо и без усилий можно медленно опустить сосуд с газом и одновременно поднять груз М на высоту h см. Таким образом, совершенную работу Mgh можно действительно получить в виде поднятого груза. Далее снова вводим газ в цилиндр, помещаем в находящийся внизу сосуд новый груз, в то время как груз, вынутый из старого сосуда, передвигаем в сторону на расположенную на высоте h полку. Тем самым был бы изготовлен перпетуум мобиле второго рода, так как в описанном цикле не происходит ничего другого, кроме получения работы Mgh и отнятия от теплового источ­ ника равного количества тепла. Но в действительности при обратимом изотермическом круговом процессе не мо­ жет совершаться никакой работы. Для разрешения это­ го противоречия разберем детальнее процессы отбора газа (при x=h) и ввода газа (при х=0). Д л я отбора моля газа при давлении р\ присоединим к вертикально­ му столбу газа сбоку закрытый поршнем цилиндр, а за­ тем откроем в нем вентиль так, что давление pi будет

136

теперь действовать на поршень. Затем медленно выдви­ нем поршень до тех пор, пока не отберем один моль га­ за объемом V\, получив работу p\V\. Опустим далее опи­ санным выше способом закрытый вспомогательный ци­ линдр вниз, получив работу Mgh. Следовательно, до сих пор мы получали работу piVi+Mgh. Наконец, встает важнейшая задача вновь ввести газ в вертикальный столб в месте, где давление в нем равно ро- Для этой цели мы должны сначала изотермически сжать находя­ щийся в нашем вспомогательном цилиндре газ до дав­

Vc V.

Только после того, как это произойдет, снова можно ввести моль газа в нижнюю часть вертикального столба с давлением ро- Этот процесс представляет собой про­ стое повторение вышеописанного отбора газа и требуют работы poVo. Совершенная в целом работа теперь равна:

т.е. в точности старую барометрическую формулу. Тре­ буемое по второму закону равенство работы подъема

Mgh и работы сжатия RTln— на деле идентично старо-

Pi

му результату.

28. ТЕОРЕМА О ВИРИАЛЕ

Рассмотрим систему /V материальных точек, прост­ ранственные координаты которых заданы в виде г ь ...

г,, Гдг. Если Kj означает силу, действующую на мате­ риальную точку, то из уравнения движения системы следует, что:

т г = К/; / = 1,2,

Умножение на Г; с учетом тождества

гг = — (гг) — г2

(it '

137

$](К/Г;) назовем по Клаузиусу вириалом действующих

/=1

на частицы сил. При подобном суммировании и усред­ нении по времени (см. 32) первое слагаемое в уравне­ нии (28.1) как производная по времени обращается в нуль. Далее в соответствии с законом равнораспределе­

вначале произвольными. Представим, что наши части­ цы заключены в заданном объеме V и оказывают на его стенки давление р. Но это означает, что со стороны элементарного участка поверхности df на частицы, рас­

лы притяжения или отталкивания. Их долю мы назовем

мент df его поверхности. Вследствие давления р со сто-

138

роны элемента df на находящиеся в его непосредствен­ ной близости частицы действует суммарная сила pdf, нормальная к df. Вектор г3- для всех этих частиц имеет практически одно и то же значение г, где г означает вектор, направленный от О к df. Если мы отметим штри­ хом у знака суммы вклад df во внешнем вириале, то бу­ дем иметь:

от расстояния между ними. В Wi будем учитывать толь­ ко эти силы. Кроме того, подобная сила пусть имеет на­ правление, совпадающее с соединяющей частицы лини­ ей. Договоримся считать отталкивающую силу положи­ тельной, а силу притяжения — отрицательной.

139