книги из ГПНТБ / Беккер Р. Теория теплоты

становится чрезвычайно малой. Следовательно, макси­ мум F(x) будет очень острым (рис. 48). Для очень боль­ ших п F практически превращается в нуль, как только х станет сколько-нибудь отличаться от 1. Поведение функции вблизи х= \ станет еще яснее, если мы подста­ вим х— 1+ е и разложим функцию в ряд по е:

2

2

функцию распределения энергий v молекул.

Таким образом, вблизи х=\

Следовательно, F(x) снижается до значения 1/е уже

Ьч(Е) = С'е

3v

очевиден. Применяя сокращенное обозначение — 1=п , мы можем записать функцию bv (Е) в форме

120

3v

сколько ниже, чем среднее значение Ё —— kT, что, од­ нако, не удивительно, если учесть несимметричный отно­ сительно х= 1 ход кривой е~хх. Острота максимума функ­ ции bv (Е) имеет основополагающее значение для всего учения о теплоте. Ведь термодинамика начинается с ут­ верждения, что энергия газа является функцией V я Т. Однако если мы рассмотрим только одну молекулу газа при температуре Т, то ее энергия может описываться весьма широкой кривой распределения Ь(Е) по урав­ нению (25.4). Следовательно, не может быть и речи, что задание температуры определяет энергию. Схожая кар­ тина будет и для газа, состоящего лишь из нескольких молекул и помещенного в сосуд, в котором поддержи­ вается температура Т. Если же мы перейдем к очень большому числу молекул, например v = 1020, то на осно­ вании хода кривой bv (Е) мы можем сказать, что прак-

3v

тически достоверно энергия имеет значение £ =

Различие между Е и £М акс уже не играет роли. Следова­ тельно, даже простейшее положение о том, что энергия

26.ОБОСНОВАНИЕ БОЛЬЦМАНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ МАКСВЕЛЛА И //ТЕОРЕМА

Вначале кратко изложим идею рассуждений Больцмана. Пусть ко времени ^ = 0 задано произвольное отклоняю­ щееся от условия (25.2а) распределение скоростей /(£> % £)» которое мы представим в пространстве скоро-

1 Ширина функции распределения bv (Е) возрастает пропорцио­ нально V^v и, следовательно, по абсолютному значению становится очень большой. Все высказывания об остроте максимума соответству­ ют относительным флуктуациям (отнесенным к величине Е), как это и представлено на рис. 48.

121

стей в виде поля точек. Это поле точек с течением вре­ мени изменяется. Если две молекулы сталкиваются, то после столкновения они будут иметь другие скорости, чем прежде. Следовательно, соответствующие им точки в мо­ мент столкновения исчезают, а в другом месте простран­ ства скоростей возникают две новые точки. Распреде­ ление точек в пространстве изменяется во времени. Та­ ким образом, распределение /(£, т), £) зависит не только от |, т), £, но и от t:

/ = /(*, S, л, £)•

Для установления временной зависимости выберем в пространстве скоростей малый объем d%, dr\, dt, и вы­ ясним следующее.

межуток времени т такие столкновения, что по истече­ нии времени т они уже не будут находиться в данном объеме (число А).

Во-вторых, какое количество молекул, размещенных вне объема d^dr\dt„ испытает за время т столкновения, в результате которых они попадут в выбранный объем

стационарное распределение. Все сводится к тому, что­ бы детально исследовать влияние столкновений на рас­

сталкиваются так, что после столкновения они имеют скорости v,' и v2 . Все силы, кроме сил взаимодействия между обеими молекулами, будем считать во время столкновения несущественными. Тогда при заданных значениях Vi и v2 могут возникнуть лишь такие значения

122

Vj и v2 , которые удовлетворяют законам сохранения импульса и энергии, т. е. должно выполняться:

Для наблюдателя, который движется со скоростью g"=(vi+v 2 )/2 центра тяжести обеих частиц, возникает вообще очень простая картина. Если мы обозначим че­ рез w b w 2 и т. д. наблюдаемые им скорости, то

В системе центра тяжести каждое столкновение вы­ глядит таким образом, как будто обе частицы с одина­ ковой скоростью прямолинейно движутся навстречу друг другу, а затем с той же скоростью разлетаются в противоположном направлении. На рис. 49 представ­ лено, как из этой простой картины путем наложения какой-либо скорости центра тяжести g возникает слож­ ная картина столкновения.

З а к о н о ч и с л е с т о л к н о в е н и й . Пусть в началь­ ный момент в единице объема имеется Ni молекул со скоростями V ; и N2 молекул со скоростями v 2 . За не­ которое время т некоторые из них столкнутся. Промежу­ ток времени х выбирается достаточно малым для того,

'23

а скорость вторых — в пределах v2 и v 2 + d v 2 . Пусть чис­

Этот подход может показаться странным, так как вследствие условия (26.2) величины Vj и \'2 не могут выбираться произвольным образом, например, согласно (26.2) \ 2 равно V i + v 2 — v i , так что величина интервала d\2 независимая от dvi, не имеет смысла. Для уяснения

Рис. 49. Столкновение между двумя одинаковыми молекулами.

а — наблюдаемое в системе центра тяжести; б — наблюдаемое в системе, дви­ жущейся со скоростью —g; в — схема перехода от а к в, АА — биссектриса угла.

этого затруднения рассмотрим более простую задачу. Пусть на оси х в точке х = а находится материальная точка с массой т. Пусть мы захотели бы описать этот вид распределения материальных точек с помощью плотно­ сти распределения р(х) таким образом, чтобы p(x)dx соответствовала массе на отрезке dx. Вначале это ка­ жется совершенно безнадежным, однако цель удается достигнуть с помощью следующего искусственного прие­ ма. Заменим массу мысленно сконцентрированную в точ­ ке а, массой, непрерывно распределенной в окрестно-

ния массы мы можем выбрать меньшей любого наперед заданного, сколь угодно малого отрезка. Если затем dx

124

мало по сравнению с этой шириной распределения мас­ сы, то величина p(x)dx действительно имеет желаемое значение. Так как по правилам интегрального исчисле­ ния впоследствии переходят к пределу dx ~> 0, то введен­ ная здесь как искусственное понятие рассредоточенность

Введенная уравнением (26.3) функция удовлетворяет двум условиям, которые имеют определяющее значение для всех дальнейших рассуждений. Первое условие:

v2 и vj на v 2 . Это вытекает непосредственно из опреде­ ления, так как при подобной замене мы изменили бы только нумерацию частиц. Значительно труднее доказать второе условие:

Для доказательства условия (26.5) представим, вопервых, наблюдателя, который, двигаясь со скоростью g", подсчитывает столкновения (26.3). Естественно, он дол­ жен получить то же самое их число. Но для него все

dv'2 сохраняют для него свое значение. Таким образом,

Во-вторых, представим наблюдателя, оси координат которого каким-либо образом повернуты относительно первоначальных. Например, вместо Vj он измеряет ско­ рость а У ь где а символически обозначает угол поворота

125

вектора. Для него величины интервалов dv'v dv'2 и число столкновений также не претерпевают изменений. Следо­ вательно, также будет выполняться.

выражения (26.5) путем трехкратного преобразования s.

где w имеют простую конфигурацию согласно рис. 49, а. Затем повернем систему координат вокруг прямой А—А (биссектриса угла W[ и w 2 ) на угол 180°. При этом W[ перейдет в w b w 2 в w 2 и т. д., так что в результате по­ ворота будет:

a W j = W j , a w 2 = w 2 , a w J = W j , a w 2 = w 2 .

Отсюда

ной системе координат, то в результате получим соотно­ шение (26.5), которое таким образом будет доказано.

Р а с ч е т ч и с е л с т о л к н о в е н и й А и В в с о о т ­

Обозначим через В число столкновений за промежу­ ток времени т, в результате которых хотя бы одна из сталкивающихся молекул попадает в интервал V b rfvi. Ч И С Л О столкновений, при котором сталкивающиеся мо­ лекулы из интервалов \\, dv[ и соответственно М'2, dv2

126

переходят в интервалы v b dv{ и соответственно v2 , dv2, определяется с помощью выражения

ряющих требованиям сохранения энергии и импульса (для любых других значений четырех скоростей подын­ тегральное выражение обращается в нуль из-за функ­ ции s). Далее покажем, что условие (26.7) необходимо и для равновесия. Вначале используем выражение (26.7) для определения f(v) . Согласно (26.2) имеются инва­ рианты

£ = Е? + л? + £? + ^ + п! + ^ ,

т. е. четыре комбинации из Vi и v 2 , которые не изменя­ ются при переходе к параметрам со штрихами. Условие (26.7), следовательно, будет выполнено непременно,'если

127

Однако параметр, который не может быть выражен через указанные четыре инварианта, не может нахо­ диться также под знаком функции F, так как согласно (26.7) этот новый параметр при столкновении должен был бы остаться постоянным. Но это означало бы на­ личие пятого, несуществующего инварианта, так как все

проблема разрешена. Если ввести пять произвольных

Физическое значение этих пяти постоянных следую­ щее. Параметры и, v, w представляют собой компоненты средней скорости, поскольку из уравнения (26.9) следует:

%=и, T) = U , X=w.

Для наблюдателя, движущегося с такой скоростью, газ, рассматриваемый как одно целое, находится в по­ кое. Для него u = 0, w = 0, ПУ = 0 И

очень остроумное доказательство Больцмана, показы­ вающее, что уравнение (26.7) действительно должно

128

выполняться при равновесии. Для этого рассмотрим Из­ менение во времени величины

W = JdvJ(v 1 )ln/(v 1 ) .

Для подынтегрального выражения оно дает

^ - [ / ( v ) I n / ( v ) ] = - | l n / + | f .

Поскольку общее число частиц постоянно, то

Отсюда

обозначениями переменных интегрирования, а именно заменяя:

При этом согласно (26.4) и (26.5) функция s не из­ меняется, в то время как в случаях 2 и 3 выражение в фигурных скобках меняет свой знак. Если мы теперь сложим все четыре уравнения, то получим:

Сущность этого своеобразного расчета состоит в том, что подынтегральное выражение в правой части никогда не может стать отрицательным, ибо для двух любых дей­