Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Беккер Р. Теория теплоты

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 5115 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

С И Л У ,

При таких допущениях вклад в вириал №,-ft от действующей между частицами / и k, легко определяет

ся в соответствии			с рис. 53: Wjh = TjKj-\-rhKh-				Поскольку
Kj = — Kft, то		Wjk=Kh(rh—г,).		Но в соответствии с допу
щением векторы			КЙ. и rk—rj имеют одно и то же направ
ление. Если		обозначить расстояние			между		частицами
i > =	\rk—г А,	то	Wjh = K(rjk)rjh.	Отсюда		Wi	получается
путем	суммирования по всем			парам	/, k,	следовательно,

Рис. 53. Вклад силы оттал кивания К, действующей между двумя атомами / и k, внутренний вириал равен

'• Ч Ё М -

/к


(Без	коэффициента		мы бы
сосчитали		каждый член		r ; K j
дважды) .		В среднем	каждый
из N атомов окружен соседни
ми атомами одинаковым				обра
зом.	Поэтому суммирование
по / можно заменить			умноже
нием	на N:

Поделим теперь пространство вокруг выделенной та

ким	образом частицы	/ на	концентрические сферичес
кие	слои и обозначим	среднюю во		времени концентра
цию	частиц (число частиц в		1 см3)	на расстоянии г от

выделенной частицы через п(г).					После этого			мы	можем
заменить £	на	интеграл по г и получить:
k
				во
	Wt	= у	N	j' К (г) п (г)		АшЧг.
				'о
В качестве верхнего предела интегрирования мы мо
жем записать со, так			как при		больших г		К{г)		быстро
уменьшается	до	нуля.
Допустим,	что сила			связана	с	неким	потенциалом
ф(г) (К=—d(p/dr),		тогда		ср(г)	представляет			собой по

тенциальную энергию двух частиц на расстоянии г. При мем, что ф(г) имеет вид, изображенный на рис. 54. Пусть ф(г) будет положительна при r<.d и уже при малом от-

140

клонении от d устремляется в бесконечность						(«жесткое»
отталкивание). При r>d				ц>(г) отрицательна		и с	ростом
г стремится к			нулю	(примерно как	г - 6 ) .	Плотность
п(г)	для	больших значений г равна N/V. Для					неболь
ших	значений		[в области заметного воздействия силы
К (г)]	следует		учитывать обобщенную		барометрическую
формулу		(см.	§ 27 и 37, с) и,
следовательно,			подставлять

r(n)=—e	Ф И	.
	k T
У '	V
Тем самым	мы принимаем,

что частица, находящаяся вбли зи частицы /, испытывает только ее воздействие. Однако это мо жет иметь место лишь в случае небольших плотностей. Этот слу

чай и	будет	рассмотрен	ниже.
С	принятым значением		п(г)
будет	иметь	место соотношение

U-d-

Рис. 54. Потенциальная энергия двух частиц как функция расстояния между ними (схематич но).

	K ( r ) n ( r ) = - f ^ e			kT
		V dr
или же			Ф И
„ ,	ч , .	NkT д	Ф И
„ ,	ч , .	NkT д	kT	1
			kT	1

Введение—1 в выражение в скобках является рас четным приемом. Он обеспечивает обращение этой скоб ки в нуль при больших г. Теперь искомый внутренний вириал равен:

	N4T	Ф И
	N4T	kT
		kT
	2V	1 j 4nr3dr.

После	интегрирования			по частям имеем:
				Ф И	\
				' k T	\Anr4r.
	3	'	2V	У	I
				о
В этой формуле, справедливой пока для любой фун
кции	Ф( Г ),	превращающейся в нуль			при г, стремящемся

141

к бесконечности, используем зависимость ф(г) согласно

рис. 54. Кроме того, выберем температуру								настолько
высокой, что \| ф(г) \| при r~i>d будет						мало по сравнению
с kT. Тогда:
	для г < d			1 — е	кТ
	для г < d			1 — е
	для г > d			1 — е	* г	, ф ( г )
						со	rf	оо '
После	этого,	разлагая		интеграл		J	на J +	J ,	полу
чаем:		1	4я
		1	4я	d3
		— N'—		d3
^ W t	= NkT 2 у		3	+ у	[ Ф ( Л ) - ^ - 4 ^ Л				(29.1)
					if
Здесь оба слагаемых имеют простой смысл.
Обозначая радиус отдельной частицы гй=									п Р е "
образуем	первое	слагаемое:
	-LN—&=4N			— A		= Ь,
	2	3		3	0

где b означает, следовательно, учетверенный собствен ный объем всех находящихся в объеме V частиц.

Во	втором		слагаемом член •—• 4nr2dr			приближенно
равен	числу		частиц,	находящихся в сферическом слое
						оо
толщиной		dr.	Таким	образом,	выражение J ф (г)-^-Х
X 4nr2dr						о
		является потенциальной			энергией	выделенной
(/-й) частицы			относительно всех		остальных	частиц. Сле

довательно, второе слагаемое представляет собой всю содержащуюся в системе потенциальную энергию взаи модействия всех частиц.

Если мы обозначим ее, как принято в теории Ван-

дер-Ваальса, через — a/V	[нужно учесть,	что при	r>d
ф(г) отрицательно], то из выражений (28.5)		и (29.1)	мы
получим уравнение состояния:
pV = NkT(l	+ ±>j—f.	(29.2)

142

Это выражение будет в точности совпадать с ранее найденной в (13.4) формой уравнений Ван-дер-Ваальса для случая такого сильного разрежения, когда высшие вириальные коэффициенты не играют никакой роли.

Б . Н Е К О Т О Р Ы Е О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я М Е Х А Н И К И

30. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ		ГАМИЛЬТОНА
а) Вариационное	исчисление, уравнения		движения
в форме Лагранжа	и	Гамильтона

Естественный подход к теории Гамильтона обеспечива ется вариационным исчислением. Здесь нам потребует ся лишь один простой закон, а именно относящиеся к проблемам вариационного исчисления уравнения Эйле ра. Сформулируем эту чисто математическую теорему вначале для одной координаты x(t).

Пусть будет задана известная под названием «функ ции Лагранжа» функция X (х, х) координаты х и ско рости х. Как х, так и х представляют собой функции времени t. Рассмотрим интеграл от t\ до t2:

							(30.1)
Будем искать такую функцию x(t),					для которой при
заданных «краевых		значениях»		x(t\)	и x(t2)	интеграл J
имеет экстремальные значения.
Заменим кривую x(t)			проварьированной				кривой
x(t) + at)(t)	со значениями		r\(ti)	=r\(t2)	=0.	При этом а
пусть будет неким числом. Для такой кривой /							становит
ся функцией а:
Наше	условие	экстремума		означает		теперь, что

для любого г] (г) при ц (ti) =т) (t2) равно 0. Выполнение дифференцирования дает:

143

Очевидно, что

дх dt \дх dt ^дх

Интегрирование первого		слагаемого		даст нуль, так
как г) при краевых значениях равно 0.				Таким	образом,
остается	_ f (dj£
dJ_\		dA	/ a w n	r\dt
da a=o	Jt, I dx	dt	\d x ,

Для того чтобы этот интеграл			для	любой	функции
т](г) был равен нулю, выражение			в фигурных		скобках

должно всегда быть равным нулю, но это, однако, озна

чает, что искомая функция x(t)			должна удовлетворять
уравнению Эйлера:
			(30.2)
dt \дх	'	дх
Определим относящийся	к х		импульс рх с помощью
выражения
Рх =		^	(30.3)
		ох

и представим себе, что данное уравнение решено отно сительно х таким образом, что х оказывается функцией х и рх. Введем далее функцию Гамильтона

Ж(х,рх) = рхх-2(х,х),

(30.4)

где в правой части вместо х следует подставить только что упомянутую функцию переменных х и рх. Для част ных производных функции Ж справедливы равенства

EEL_-Xj__		дх	д&	дх
дрх		* дрх	дх	дрх
или
дШ	д'х	дХ	д&дх
— = рх				.
дх	дх	дх	д х	дх

Уравнение (30.3), определяющее рх, позволяет ис ключить в правой части все члены с частными производ ными от х. С учетом выражения (30.2) получим оконча тельно уравнения Гамильтона:

• д&е •	д&е	с ч
х = — ;рх	= — — .	(30.5)
дРх	дх

.144

Отсюда для производной		по времени ф у н к ц и и ^	(х,
рх) следует:
-тт=Тх		+ т Р * = ° -	( 3 0 - 6 )
at	ах	дрх
Численное значение	Ш не зависит от t.

Переход от одной переменной x(t) к нескольким, например f, переменным q\ (<)>•••, 9/(0 представляет собой чисто механическуюработу по вышеприведенной схеме, если задана функция Лагранжа

			•••		hi, . . . . ?/)•						(30.7)
Будем	искать	такую	функцию		qr(t),		r=l,...,f,			для которой ин
теграл
	J	= j X	Kqx,	... ,qf;		qit ...		, qf)	dt		(30.7a)
		U
имеет экстремум при заданных значениях qr{t)								для		и t2.	Заменим
ее проварьированной функцией
		Яг (0 +	<хг	Чг«);	r=i			/
и потребуем, чтобы dJ/dar)			= 0	a j=o	для г=1,			2,	f	и для всех ста
новящихся	равным	нулю	на границах			ti	и t2	временного			интервала
функций	T\r(t).
Как и ранее, получаем			уравнения			Эйлера:
	d	I дХ\		дХ
	Л	\<Э<7/-/		dqr

Используя импульсы

			вх						(30.9)
		Рг — Т 7 -			>				(30.9)
определяем	как функцию Гамильтона
	Щях	я/> Pi.						f
	Щях	я/> Pi.	• •	•	. pf)		=	2 р 9	—
							/-=1
			9 /	q v ...			,	q'f),	(ЗО.Ю)
где все следует понимать как функции q,							и pj.
Запишем уравнения		Гамильтона:
	Ш	.	дЖ	;	r =		l , . . . , f .		(30.11)
	qr=—	и р , = -	—	;	r =		l , . . . , f .		(30.11)
	дрг		dqr
Отсюда	снова следует закон		сохранения:
	dm	f	.	Ш		. )
	dm	\Л [Ж	.	Ш		. )
	*dt - £1j \ dqr		ЧГ ^ дрг			•			( 3 0 Л 2 )

1 0 — 4 80

Д45

Параметры	qr, pT(r=\,	/ ) , производные по	времени	от	кото
рых заданы с	помощью условий (30.11), называют		также	«канони
чески сопряженными переменными».
Изменение	во времени	какой-либо физической	величины,		кото

рая задана как функция координат, импульсов и времени, со ставляет:

	dA (р,	q,t)	V I (дА		.	, дА	. )	, дА
	dt		LJ	(dqr	-•+—Рг\+—			dt	•
	dt		LJ	(dqr		dp/')		dt
После	подстановки		уравнений		Гамильтона			получаем:
		f
	dA__	у	Ш	д]%_djK		дА_\| +		а Л		( 3 0 12 а )
	dt		\dqr	dpr	dqr dpr)			dt
Сумма	в правой		части	уравнения			сокращенно обозначается
[А, ЗР] и	называется		«скобками Пуассона». Она играет							большую
роль в современной		теоретической физике.

Изложенная таким образом математическая схема приобретает физическое содержание, если для данной интересующей нас системы функция Лагранжа ££ выбра на так, что дифференциальные уравнения (30.8) или (30.11) отображают действительные уравнения движе ния. В простейшем случае система состоит из матери альных точек, которые подвержены воздействию сил, имеющих потенциал. Если для материальной точки с массой rtii ввести координаты Х{, у и z\, то для случая не релятивистской механики уравнения движения относи тельно координаты Хг будут иметь вид:

m.x,	=	dU (х,,		... ,	ги)	1,... ,Л/). (30.13)
m.x,	=		L L		т • (i =	1,... ,Л/). (30.13)
			ОХ{
Соответствующие уравнения					справедливы и для у\ и Zi.
Уравнения Ньютона			(30.13)		фактически		представляют
собой уравнения Эйлера для вариационной							задачи:
							(30.14)
и	с
Следовательно, в этом				случае
функция	Лагранжа =			кинетическая энергия — потен
циальная энергия.							(30.15)

ЗМ уравнений (30.13) эквивалентны следующему требованию: движение происходит так, что величина /

146

имеет экстремальное значение, когда конфигурация Ё начале (ко времени t{) и в конце (ко времени h) имеет определенные заданные значения. Но это требование со

вершенно независимо от		системы	координат.		Отсюда
следует: если вместо f=3N		координат хи		zN выбрать
какие-либо другие параметры qu			О/, которые		взаим
но-однозначным образом являются			функциями /		пара
метров Х\,	zN, и выразить кинетическую энергию К и
потенциальную энергию U через qj и qj, то				образованные
в виде
	2=K(q,q)-U(q)			(30.16)

уравнения Эйлера также являются правильными уравне ниями движения. Знак q в аргументе здесь и ниже озна чает сокращенное обозначение qu —, qj- То же самое справедливо и для q и р.

Так как кинетическая энергия одновременно квадра

тична в переменных

то такова же она и при перемен

ных q^ Относящиеся к qj импульсы

dqi

поэтому линейно однородны в переменных q,. Далее справедливо

i>,»,-£»,-f-«-

Отсюда полученная в выражении (30.10) функция Гамильтона

&t=Yqf— -% = K + U (30.17)

равна сумме кинетической и потенциальной энергии. Та ким образом, уравнение (30.12) представляет собой за кон сохранения энергии.

При изменении формы уравнений движения (30.8) на каноническую форму (30.11) переходят от / дифферен циальных уравнений второго порядка для / функций от времени qi{t), qf{t) к 2f дифференциальных уравне ний первого порядка для 2/ функций от времени q\(t), ...

qf(t);Pl(t),...,pf(t).

10*

147

6) Канонические

преобразования

Канонические

уравнения

можно

также

вывести

непосредственно

из

вариационного

п р и н ц и п а Е с л и

подставить

££,

из

(30.10)

в (30-7а), то получим

вариационную задачу (с / ' =

— / ) :

dt =

экстремум

(30.18)

J ' = \

Ш£{ц, р ) -

Pr'qr

г=\

с функцией

Лагранжа

Л (q,

р; q,

р) =55? (q,

р) — Е

pr'qr.

(30,19)

r = l

которой

и pj

мы

рассматриваем

как

независимые

переменные.

•У

должно

быть экстремумом

относительно всех вариаций

функций

(t) и pj(t),

для которых

установлены начальные

и конечные зна

чения. Тогда действительны

уравнения

Эйлера

d_ 1_дА_х _ аЛ_

. _ дЖ

[dqj

) ~

д Ч ]

И Л И

~ P i ~ d g j

i дА\

дА

(30.19а)

—

—-— = —

или 0 = — •

\ dpf

]

dpj

др^

точности

дают канонические

уравнения

(30.11). Здесь

введен «мо

дифицированный принцип Гамильтона» (30.18), поскольку он удобен для обсуждения той части теории канонических преобразований, ко

торые понадобятся			ниже.
Из элементарной механики известно, что решение многих задач
облегчается, если уравнения движения записать								не	в	декартовых
координатах,		а преобразовать			в другую	систему		координат. Имея
в виду, что переменные Pj и q,					выступают	в уравнении				(30.18), экви
валентным	образом		рассмотрим		теперь более		общие		преобразования:
Q /	=	Q / ( ? i	ч;>	Pv	••• •pf)					}
						/	= 1, . . .			(30.20)
Pi	=	Pi(q1,...	.я/.	pt	pf)					J

Назовем каноническим такое преобразование, когда существует функция $%(Q\, Qf; Pi Pf), для которой уравнения движения в новых переменных Qj> Pj снова имеют каноническую форму:

	Q,=		— ;	Р, = — — ;		/ = 1 , . . . , / .			(30.21)
	'		dPj	'	dQ.		>•••./•
Благодаря		(30.21)		в новых	переменных		также	должен	выпол
няться	модифицированный принцип Гамильтона:
	h	I		f
		(	ЩЯ,	Р) — S	Pj Qj\	dt =	экстремум.		(30.22)
		(		/=1	/
1 Courant u. Hilbert. Methoden der						mathematischen		Physik,	Bd I I .
Berlin,	1937, S. 96.

148

Функция 36 должна выбираться так, чтобы при подстановке экстремалей (30.18) в (30.20) получались экстремали (30.22). Из этого еще не следует, что подынтегральные функции обоих вариаци онных принципов после выражения новых переменных через старые с помощью соотношений (30.20) должны совпадать. Напротив, они еще могут отличаться на производную по времени любой функции

W всех переменных qj,	PJ, Qj,	Pj,	ведь
t2	_
rdW		—	_

при вариации не дает никакого вклада, так как начальные и конеч

ные значения qj, Pj,	Qj, Pj твердо устанавливаются. Выберем
W = W(gi	qr.PL...	,Pf)-lPrQr.
		г
Хотя вследствие	(30.20) среди 4/ параметров qu р,, Qj, Pj толь

ко 2f независимы, это не является каким-либо ограничением. Для

того чтобы экстремали обоих		вариационных			принципов		совпадали,
должно теперь выполняться	условие					/
/		_				/
S РгЧг +		dW	—			\ 1
S РгЧг +		— =s^(Q,P)-			2 m i P r Q r		( 3 0 - 2 3 )
или			/			f
dW —			/			f
dW —			V I	.	V I	•
— = 5 5 ? (Q, Р) -96	(q, р) +		2j	Pr Яг +		^PrQr.
			r = l		r=l

С другой стороны, дифференцирование W по времени дает:

dW(q,P)	/		f
dW(q,P)	v ^ a i r .	'	y i a w Pr
dt	^-idqr'	'	£JdPr
	r=l		r = l

Оба этих уравнения выполняются, когда

р , = Ш	,	(30.24,
dqr		дРг
M(Q,	P)=&e(q, р).	(30.25)

Первые уравнения означают, что преобразование (30.20) канони ческое, коль скоро его можно вывести из преобразующей функции W согласно (30.24). Второе уравнение указывает, что новую функ цию Гамильтона получают, разрешая уравнения преобразования от носительно Pj, qj и подставляя значения в старую функцию' Гамиль тона.

Детерминант функционала, произведенного с помощью преобра зования (30.20), равен единице:

д =	'Hi	Pi	• Pi) = !	(jo 26)
d(Qi	Qf,	Pi, ...	, Pf)

149

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 5115 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202313.69 Mб28Бек М. Химия равновесий реакций комплексообразования.pdf
#
22.10.202316.22 Mб15Бекенский, Б. В. Практические расчеты мореходных качеств судна.pdf
#
29.10.20232.08 Mб7Бекерман Р.Е. Машинист трактора на строительстве.pdf
#
29.10.20235.26 Mб11Бекерман Р.Е. Монтажник строительных конструкций.pdf
#
19.10.20236.92 Mб17Бекин, Н. Г. Станки для сборки автомобильных покрышек конструкция и расчет.pdf
#
25.10.202315.46 Mб15Беккер Р. Теория теплоты.pdf
#
19.10.20236.47 Mб7Беккер, И. Г. Зарубежные машины для транспортирования древесины обзор.pdf
#
25.10.202314.39 Mб49Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf
#
24.10.202311.66 Mб1Бектемиров А.И. Структурные условия формирования карбонатно-киноварных рудных тел (Южная Фергана).pdf
#
23.10.20236.7 Mб13Беление, окрашивание и ситцепечатание..pdf
#
23.10.202335.59 Mб10Беленький, Е. Ф. Химия и технология пигментов учебное пособие.pdf