книги из ГПНТБ / Беккер Р. Теория теплоты

Любую точку микроканонического ансамбля за исход-1 ную, получаем одно и то же среднее по времени. Поэто­

Дадим еще одно весьма наглядное обоснование вы­ ражению (32.6). Для этого проследим за одной из точек нашей системы вдоль ее фазовой траектории и будем ре­

Здесь сразу же возникает сомнение, так как для строго­ го выполнения условия (32.6) усреднение по времени должно производиться в течение чрезвычайно длитель­ ного промежутка времени т, в то время как во всех практических применениях учения о теплоте (представь­ те процессы в цилиндре двигателя внутреннего сгора­ ния) усреднение выполняется только за доли секунды. Наше уравнение (32.6) было бы, следовательно, практи­ чески бесполезным, если усредненные значения за ко­ роткий промежуток времени, исключая небольшие от­ клонения, существенно отличались бы от рассматрива-

1 Доказательство (32.6) с помощью математически не строгой эргодической гипотезы представляет собой собственно лишь истори­ ческий интерес. Поэтому в большинстве случаев сейчас исходным пунктом статистической механики вместо эргодической гипотезы яв­ ляется условие (32.6). Г. Д. Биркгоф доказал, что (32.6) следует из квазиэргодической гипотезы.

160

емой в (32.6) средней во времени величины. Фактиче­ ски — мы еще будем это ниже неоднократно обсуж­ дать — большие отклонения от среднего поведения так необычайно редки, что при определении средних значе­ ний их в большинстве случаев можно безболезненно игнорировать.

Однако имеется совершенно другое, зачастую пред-

—т

почитаемое правило для расчета /. Каждое конкретное физическое высказывание предполагает, что мы имеем

нии положения фазовой точки, т. е. чисел q\, ...,Pf, можно было бы точно указать /. Но так как известно только то, что фазовая точка лежит на Щ,=Е, мы сможем вообще что-либо сказать о функции / лишь тогда, когда допол­ ним наши скудные сведения некоторыми вероятностны­ ми соображениями. Они сводятся к тому, что мы задаем вероятность попадания системы в какое-либо место фа­

деленную функцию w, то можно сказать, что при очень

должны быть подготовлены к тому, что это высказыва­ ние не совсем точно. Позднее неоднократно будет пока­ зано, что во многих случаях относительное отклонение

(/ — /) 2 // 2 пренебрежимо мало, что риск при подобном ответе не слишком велик и что / «действительно» дает численное значение макроскопической величины f. Со­ гласно методу Гиббса мы имеем следующую точку зрения на выбор «верной» функции w(q, р).

Если система с макроскопической точки зрения на­ ходится в равновесии, то это означает, что все измеряе­ мые макроскопические параметры не изменяются со вре­ менем так что /, следовательно, во времени постоянна.

с уравнениями Гамильтона, точно так же, как это на­

от значения функции Гамильтона Ш(р, я) в рассматри­ ваемом месте. Задание энергии Е и требование о неиз­

большое число систем, которые распределены в фазовом пространстве согласно «микроканоническому ансамб­ лю», задаваемому уравнением (32.8), и образуем среднее для этих многих систем. Это и будет в точности введен-

—т

иое выше / В только что приведенном обосновании (32.8) об

эргодической или квазиэргодической гипотезе речи не велось. Но фактически эта гипотеза в нем содержится, ибо условие (32.8) имеет смысл лишь тогда, когда в соответствии с названными гипотезами каждый содер­ жащийся в слое 8Е элемент фазового пространства дей­ ствительно достигается. Это доказывает, что ансамбль (32.8) идентичен обсужденному вначале множеству со­ стояний одной системы во времени.

162

Большая часть последующих разделов посвящена тому, что с различных отправных позиций проводятся расчеты для микроканонических ансамблей. С этой точки зрения только что полученные понятия будут обсуждены еще раз на весьма специфическом примере.

i

Рис. 57. Число молекул п в части объема как функция / (изображено качественно). Горизонтальная прямая соот­ ветствует п.

В качестве такового выберем флуктуации плотности в идеальном газе, трактовка которых со статистических позиций уже была произведена в § 23- В качестве «систе­ мы» рассмотрим, следовательно, заключенный в сосуд

то при нормальных условиях среднее значение п имеет величину порядка п = 1020.) Будем интересоваться из­ менением п во времени и рассмотрим для этой цели кри­ вую n(t). На рис. 57 сделана попытка схематично изоб­ разить эту кривую.

Несмотря на чрезвычайную неупорядоченность, мы можем сделать некоторые важные количественные вы­ воды. Прежде всего на основании уравнения (23.2) мы можем узнать среднее квадратичное отклонение от сред­ него значения п:

{n--nf ^ 1 ft2 п

Таким образом, «средние относительные отклонения» от средней величины имеют величину порядка 10—10«

11*

Выясним теперь вероятность w{a) того, что откло­ нение от среднего больше чем а, и что, следовательно, n>rc-fa. Такое состояние будем кратко называть «уп­ лотнением а». Согласно (23.4)

Используя в качестве переменной интегрировании

а/-/ 2п

После введения интеграла ошибок Ф(х) —

X

ё~~5 ds получим:

значение. Проведем прямую, параллельную оси t, на

164

Отношение соответствующих объемов в Г-пространстве

продвинуться значительно дальше, а именно при ответе на вопрос: как долго мы в среднем должны_ ожидать, пока n(t) не перейдет впервые через значение п + а ?

Если через то обозначить время, через которое од­ нажды образовавшееся уплотнение а повторится снова, то введенное выше время ta представит собой произведе­ ние то на число спонтанных уплотнений, которые про­ изойдут за время t0. Так мы узнаем средний промежуток времени t>0 между двумя уплотнениями а:

Следовательно, одновременно это будет временем, в течение которого нужно ожидать, чтобы число молекул п перешло через значение а. Естественно, что время то зависит от того, как выделенный объем сообщается с остальным объемом. При полностью свободном сооб­ щении и небольшом трении время ожидания при длине I

При более затруднительном сообщении то легко может увеличиться в 10—100 раз. Интересующие нас в даль­ нейшем следствия качественно не меняются, если мы изменяем то в приведенном здесь ориентировочном диа­ пазоне. Считаем далее, что То=10~5 сек. В нижеследую­

Порядок величины полученных здесь чисел во многих отношениях является основополагающим для всей ста­ тистической механики, если рассматривать величину г| как типичную характеристику относительного отклоне-

165

нпя макроскопического параметра от его среднего зна­ чения. Мы видим, что время ожидания до наступления заданной величины ц, колеблющейся в пределах от 2- 1(Н° до 7-10—1 °, изменяется необычайно сильно: значе-

лили в 3• 109 лет). Но это означает, что подобные откло­ нения в пределах времени, представляющего для нас ин­ терес, никогда не возникнут. Следовательно, в относи­ тельно узком диапазоне 2- Ю - 1 0 — 7 - Ю - 1 0 сек укладывает­ ся целая шкала возможных значений г) от часто повто­ ряющихся до редко, совсем редко и никогда не встре­ чающихся. Границу между этими областями без извест­ ного произвола точно установить невозможно. В конце

при которых флуктуации можно наблюдать, рассматри­ ваются в гл. 4.

Обсудим сразу же некоторые следствия полученных результатов. Выше, при определении средней во времени

166

величины

f=~\jf(T)dx,

о

мы с самого начала подчеркнули, что эта величина рав­

что обсужденный порядок. Но мы уже видели, что зна­ чения / с относительным отклонением от среднего, су­ щественно большим чем 10~10, встречаются настолько редко, что они практически не оказывают влияния на значение /. Таким образом, их можно спокойно отбро­ сить. Это означает, что при подсчете / сразу же следует

скутировался следующий вопрос. Уравнения движения Гамильтона, которые описывают атомарные явления, симметричны относительно времени. Точнее говоря, если

в обратном порядке. В противоположность этому терми­ ческие процессы необратимы (например, выравнивание имеющейся разницы температур и давлений, в приве­ денном выше примере флуктуации плотности — уста­ новление среднего п при, отклоняющемся от него в на­ чальный период значения п). Возникает вопрос, как же можно прийти к необратимым процессам с помощью обратимых основных уравнений? Вышеприведенный при­ мер (число п молекул идеального газа в выделенном объеме) вполне подходит для ответа на этот вопрос. Вначале следует согласиться, что кривая n(t) на рис. 57, которая описывает плотность как функцию времени, яв­ ляется вполне обратимой. Можно изменить знак времени

167

без существенного изменения этой кривой. О том, что плотность имеет тенденцию выравниваться со временем, отсюда узнать нельзя. На этом и основано выдвинутое ранее против статистической механики противоречие об­ ратимости. Оно означает, что имеющееся в определенный

раста вселенной. Практически (не математически!) это равноценно тому, что такой возврат никогда не произой­ дет. Для физика, который считает времена в 10^2 сек и 1010 лет принципиально различными, противоречие воз­ врата не является возражением по отношению к необра­ тимому процессу в пределах небольшого времени.

Несколько большего размышления требует доказа­ тельство того, что эмпирически установленное выравни­

тельное число (рис. 58). Они определяются местами пе­ ресечения горизонтали п = п-\-а с пиками, величина ко­

растающей и убывающей плотностью встречаются оди­ наково часто, в явном противоречии с опытом, согласно которому должны иметь место только точки типа Л, но не В,. В этот вопрос вносит полную ясность табл. 4, если учесть, что в экспериментах речь может идти лишь об относительных отклонениях т], немного больших Ю - 1 0 , т. е. о значениях х, существенно превышающих 10.

Прежде всего очевидно, что с возрастанием х часто­ та отклонений снижается чрезвычайно сильно. Число

168

более высоких значениях х это проявляется еще отчет­

табл. 4, которая утверждает что так старательно обсуж­ даемой вершины на кривой n(t) вообще не существует. (Время ожидания до ее появления в чрезвычайно боль­ шое число раз превышает возраст вселенной.) Отсюда вытекает вынужденный вывод: если наблюдается макро­ скопически заметное отклонение от п, то оно возникло не вследствие движения атомов в изолированном сосу­ де, а вызвано непосредственно внешним воздействием в более ранний период. Состояние, вызванное таким воздействием (например, сжатием), определяемое в на­ шем случае значением п, естественно, находит отраже­ ние на кривой n(t). Более того, из вышеприведенного рассмотрения частоты появления выступов различной высоты мы можем сделать заключение, что это состоя­ ние находится у вершины выступа кривой и что, следо­ вательно, при дальнейшем следовании по кривой п сни­ жается, если в макроскопическом смысле величина п больше п (рис. 59).

Таким образом, мы окончательно приходим к сле­ дующему описанию нашей кривой n(t). Начнем с на­ блюдения в момент времени t — О, т. е. с момента, когда мы взяли изолированный сосуд. Что происходило с ним ранее, мы не знаем. Поэтому п может иметь какое-то

169