книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

множествоТ е о р е м а

(теорема единственности). Пустъ

3.11.3не пусто и F

s

Н

при s

Если

2/ =

F

s) при

s €Е £2/

и Ші — Н

при

s

е= £2/,.

(

( )

(s)

£2/ f) £2Л

(s) =

е= £2/ П

Д) £2h,

то

/ =

h в смысле равенства во всех пространствах

5

а

s

b}

содержится

£ а,Ъі для

которых труба

{ :

^

Re

димости содержала замкнутую трубу

{s:

а

s

Ь},

необходимо и достаточно, чтобы F

(s) была анали­

тична в

и существовал такой

полипом Р , что \F (s)

Ѳв

0 —

^

Re

Р

в общем случае зависит от

(|s|)

Ѳ.

3.11.5.Пустъ Q s

полином( )

Ѳ.

Т е о р е м а

no

компоненЕЕ £2/.­

Возьмем замкнутую подтрубу

Ѳ

трубы

£2/:

Ѳ =

{s:

а

там s,

отличный от пуля

^ Re

s <1 5} d

£2/.

( ) —

Ѳ,

<

всюду в

и такой,

что

Fi*)

К

QM

|П+1 > s £ 0 ,

f{t) =

Q (D ,)

o-j-too

а<Да<^Ъ,

в смысле

равенства

в Х с,й-

Интегрирование

ведется

по

области в с&п, пробегаемой

переменной s

=

а

іа , когда

а

ЕЕ

Я п остается

фиксированным, а

со

изменяется

в

Л

диффе­

п. П ри

этом символ D t обозначает обобщенное

ренцирование в £c,d-

проведенное

в

пн.

3.7

и 3.8,

Исследование свертки,

на п-мерный случай.

Для

этого прежде всего онужно по­

казать, что

при

f е ^ в , ь и ер, е ^

в , і ,

где

., Ъ ^

Л п,

а

Ь,

V =

1, 2,

3,

.

. .,

функции

фѵ

(t)

=

<g

(т), фѵ

(t

-Ь т)>

Х а, ь

и і|)ѵ

0 в

%а, ъ

при ѵ

оо,

также основные изь.

если

ф ,^ - 0

в Ä a,

где а

b, называется функционал на 56а,ь,

определяемый

формулой

СО. ф (* -1- О »,

ф е £ а, ь.

</ *

g ,

Ф>g=

</ (0.

<g

Свертка

/ *

также

принадлежит

Х а, ъ

это утвержде­

;

преобразования

Лапласа устанавливается

следующей

теоремой2g =

.G

s

при

s

Если

множество

и

Пусть

2 f

F

s

при

е е

Т е о р е том а f *3.11.6.g существует

в смысле= ( )сверткиs

в лю£2/­

не

пусто

( )

ée

£2g.

Q/

f]

бом пространстве,

Х Лі

ь,

для

которого

а

^

Ъ

и труба

b}

в

Кроме

того,

{.?:

a < JR e s < ^

содержится

£2/

f~) £2г.

2 ( f * g )

=

F ( s)G ( s),

Qg.

3 а д а ч а 3.11.1.

Доказать

справедливость неравенства (3).

s E ß / f l

З а д а ч а

ЗЛ 1 .2.

(а)

Пусть о,

b ^ .£ R ,n,

а ф Ь ,

ф Е

£2а,а-

Показать,

что

функция

-

е~^Ф (і)

также принадлежит

Sßa,a•

_ at

__ы

(в) Показать,

то это

расширение определяет аддитивный функ­

ционал на 5?а а U SS0i „

U 5?ь, ь-

З а д а ч а

3.11.3.

Доказать

лемму 3.11.2.

З а д а ч а

3.11.4. Доказать,

что расширение / до аддитивного

функционала

на

U

S6a о не зависит от выбора прямолинейного

0eS/

отрезка, использованного при построении расширения. Далее до­

казать,

что существует

лишь один

аддитивный функционал

на

35

0, совпадающий

с / на каждом пространстве

Sßa ,

для

которого

в

Д/З а д а ч а

3.11.5. Доказать утверждение, относящееся к фор­

муле (10).

А?-

З а д а ч а

3.11.6. Если / Е

, то обобщенная

функция /

SSa, ь (а

<

Ь)>

для которых множества

о:

{а

а

<

Ь}

содержатся

в В. Показать, что

Sß

(Е)

прп обычном правиле сложения в общем

случае не является линейным пространством.

3}

(-г)

Введем следующее правило сходимости

в

(Е): последо­

вательность

{ф„}

сходится

в

Sß

(Е)

тогда и только тогда,

когда

она сходится в некотором

пространство

Sßa,b (а <С Ь),

содержащем­

Sß

SÖ

ся в

Sß

(Е).

Показать,

что

тогда

Sß

(S) — пространство с секвен­

циальной сходимостью{фт. Показать1 ,

также,

что

плотно в

Sß

(Е)

в том смысле, что для каждой} „ =функции ср (=

(Е)

существует такая

последовательность

для которой

ср,п е й )

и срт —>ср

в

Sß(S)

при

т со.

Sß'

Sß—»

(S)

обозначает мпожестпо всех

функ­

(г) Пусть,

наконец,

ционалов

па

(S), сужения

которых

на

каждое

пространство

5?а.ь (я <

Ь),

содержащееся в

S3

(S), линейны и непрерывны. Опреде­

лим для

элементов

Sß'

(В) обычным образом равенство, сложение и

умножение на комплексные числа. ВведемSß'

также следующее правило

сходимости

в

Sß'

(В):

последовательность

{д,}

сходится

в

Sß'

(В)

тогда</ѵ, Ф>и

толькоf

тогда,

когдаоо./ѵ £Е

(В)

для всех5 /' (Е)и существует

такой

элементф>

(Е Sß'

(В),

что

для

всех

<р GE

ѵ

(В)

мы

имеем

Sß

яря

Sß'

—► </,

с

V —*

Показать,

что

— линейное,

пространство

секвенциальной

»-сходимостью.

Показать

также,

что

(В)

можно

отождествить с

подпространством

3)'.

что каждой

В силу теоремы 3.11.3 мы можем

сделать вывод,

преобразуемой по

Лапласу

обобщенной

функции / соответствует

единственное

непустое

открытое

выпуклое

множество

3/ С

такое, что

f

(Е Sß'

(В/) и /

ф Sß’

(Ѳ) для любого открытого выпуклого

множества

Ѳ,

не

принадлежащего

целиком В/.

{D l — с 2Z>?) и (х, t) — g (x,t)

(1 )

где

X

ЕЕ Л!1,

t

£Е

(а:,

t)

ЕЕ Л?2;

g (х

,

t) —

заданная

преобразуемая по Лапласу обощеииая функция,

и (х, t

)—

неизвестная

обобщенная

функция и с — действительное

нение

h (х, t)

= б

(х, t),

(2)

( Я Л - с - ’Л?)

X

,

t)

обозначает дельта-функцию, сосредоточенную

где б (

в

начале

х

£)-плоскости. Любое решение

координат на ( ,

h

X

,

t)

уравнения

(2)

называется

элементарным

(или

(

X

решением волнового уравнения, и

фундаментальным)

решение

и

х

мы

увидим ниже,

получается

из

( , £), как

/г (

, г)

преобразованием свертки.

(s, р) е fë2

как

Пусть

s

e f ,

p G

fë1;

рассмотрим

водит

к

равенству

h (х,

e~sx~vty

Н

(s, р) =

<

<),

= [s2

- c-*p*J-1.

(3)

Если

выбрать

трубы

в качестве

сходимости множество

=

((S)

р) : Rep >

I Re

sc | },

то

(3) превращается

в известное преобразование Лапласа,

а именно:

Я (5,р ) =

£ [ - - і - і +( с г - И ) ] >

( s , p ) e = ß h.

(4)

абсолютно интегрируема

на

(х,

і)-плоскости

при

всех (s, р) £Е ßh и

не интегрируема

на

(х,

г)-плоскости

во всех

остальных

случаяхt

. Кроме

того,

при Re

р

I Re

sc I

С

С О

О

— cf

Решение уравнения

(1) дается теперь формулой

(5)

(

,

t) =

h (x, t) * g {x, t).

и X

4.1. Введение

отображает функцию

Обычное преобразование

Меллина

/ (ж), определенную на

0 < х < ; °а и

удовлетворяющую

некоторым дополнительным условиям,

в функцию

F

s

( ),

кости посредством

интеграла

ОО

О

(1)

Это преобразование

двусто­

можно вывести из обычного

роннего

преобразования

Лапласа,

если заменить

t

на

— Ina; и

затем / (— Ina;)

на / (а;) в

формуле (1)

п.

3.1.

обобщенных функций, и

поэтому

преобразование

Мел­

лина

некоторыхX

классов

х

) на

обобщенных функций / (

О <

X <С

°а может быть определено как результат приме­

нения / ( ) к ядру а5-1:

< / (ж), Xs

г>.

(2)

F (s) =

вание

Меллина порождает операционное

исчисление

для дифференциальных уравнений вида

Р

(xD х) и х)

=

(

=

g (х),

где

Р

— полином. В последней части настоящей

Меллина обобщенных функций,

рассмотренное в этой кни­

ге, в теории парных интегральных уравнений.

Отметим, наконец, что преобразование Меллина обоб­

щенных

функций может быть распространено

на

/г-мер-

ный

случай,

где

х

е=

Л п

и

х

Д> 0

(см.

Земанян

[2]).

4.2.

Пространства Л а, ъ и J ( { w ,x )

основных

функций и сопряженные к ним

На протяженииX I этой главы буква / обозначает положитель­

нуюX

полуосьt —(0,

о о ),X

а

действительныеа,

ЪпеременныеМ 1

t

ЕЕ

.

6Е Л?1 и

ЕЕ

будут

всегда

связаны соотношениями

=

е-г

и

— ln

Для

любых

Е

положим

Таким

образом,

х) =

%а,ь (t),

где

%а,ъ (t)

определе­

£0іЬ (Л а,ь

ны в и. 3.2.

х

Обозначим через

пространствок всех гладких

комплекснозначных функций Ѳ ( ) на / таких, что для

любого

неотрицательного целого

числа

h (Ѳ) A

l a , b, , (Ѳ)

A

s u p

I Ca, ь ( X ) x^D«xQИ

| <

ОО.

Пространство

Л а,ь

0 <*<С О

линейным, если

в

нем

становится

обычным образом определить сложение

и умножение

на

комплексное число. Функция

х*~г

принадлежит

Л а, ь

тогда

и только тогда,

когда

а

^

Re

s

b.

Функция (lna;),1':rs“1

является

элементом

*Ма,ъ

при

любом положительном

целом числе

к

в том

и только в том случае,

J если

О < R e s <

b.

fa,

Функционалы

определяют

полунормы

на

ь,

J f a,

причем

является

нормой. Кроме того, мы

считаем,

что пространство

ь

снабжено

топологией, порожден­

d/Ct а принадлежит d lc, d•

wz

обозначает конечное

Далее, пусть, как

и раньше,

действительное число или — оо, а

— конечное действи­

тельное число или +

оо.

Выберем две такие

монотонные

последовательности

{аѵ}^=і

и

что

аѵ —>-

w

+ 0

и

Ъѵ—>- z

— 0. Пусть

d l (w

,

z )

— счетное объединениеоо

всех

пространств

d lavt

ьѵ; это означает, что

d l (w

,

z)

(J

^ а ч

ьѵ’

= ѵ=1

Пусть

d l'

(w

,

z)

— пространство, сопряженное к

d l

(w,

z).

Так как пространства

d fa>b

полны, то полны также

М (w

,

z)

и

d l'

(w

,

z )

(см. п.

1.7

и

теорему

1.9.2),

При

этом

функция

(Іпг'Д а;5-1

принадлежит

d l (w, z)

при лю­

бом

к

=

0, 1,

2, . .

. тогда и только тогда,

когда

w <5

< R e

s

<

z .

Укажем,

наконец,

что

d l a>b

и

d l

w, z)

(

являются

пространствами

основных

функций, а

dt'a, ь

и

d l' (іо, z)

— пространствами обобщенных функций.

Т е о р е м а

4.2.1.

Пустъ х

=

е '(.

Отображение

Ѳ (х)

>-*■ е_(Ѳ (е_і) =

cp

(t)

(1)

дается

формулой

Ѳ (х).

(2)

Ф (<) >->- х~гц>(—In х) =

Д о к а з а т(хе)

л ь JUс та,вь о .

То,

что

отображения

(1) и

(2) линейны и обратны друг другу, очевидно. Допустим

теперь,

что 0

ЕЕ

•

Как петрудно видеть,

выраже­

ние

D\

[e~f0 (e_ ,)J равно

конечной

сумме

членов

вида

архр+1В рѲ (х),

где 0

р

<

к

и

ар —

постоянная. Поэтому

так

«а, ь (0

D f

[е-'Ѳ (в-*)] =

2

аА , ъ (х) xP+1D &

(*),

что

ь,

к (ф) =

Т а ,

ь,

к

[е-'Ѳ

(е-')1 <

2

I

аѵ

I і а ,

ъ, р [Ѳ

(*)]■

Т а ,

Следовательно.

,

V

(1) является также и непрерывным ото­

бражением

Жа,ъ

в

^а,Ь-

Х а, ъ-

t

Проведем доказательство в обратном направлении;

предположим,

что Ф ( )

ЕЕ

Прямое вычисление сно­

ва

показывает,

что

xk+1Dx

Ія_1Ф (—In я)] =

2

bpDfQ

t

( ),

р

к

Ък

V

где

0

Ь,

и

— постоянные. Поэтому

Ь,

(ф)-

,

І а

к

(Ѳ) = І а , Ь,

к

[* " * ф (— І а z ) l <

2V

I

b P

I

Т а ,

V

Итак,

(2)

задает

непрерывное

линейное

отображение

•S?a,b

В

* ^ a ,b *

Так как отображенияХ а,ь м а,ъ(1) и (2) взаимно однозначны,

то мы можем теперь заключить, что они определяют ото­

бражения на

и

соответственно.

Отсюда непо­

средственно

следует

утверждение

относительно

прост­

ранств

М (а,

Ь)

и

X

w

Доказательство закончено.

(

, z).

венно. Этот функционал мы обозначим через / (е_()

и оп­

ределим формулой</ («"'). Ф (0> = </ (х )> Ѳ(*)>•

(3)

/

(х)

н* /

(е~()

изоморфизм

л

а’>ь

на

Х а<ь,

а также

Лзадает'

изоморфизм X '

(w

, z)

на

w

, z).

t

<5?â,

(w

(

элементу

ь

С

другой

стороны,

каждому

g ( ) £=

или g (г) £Е

, г) мы

соотносим функционал g (— Ini)

на

^

а,ь

или

ЛІ (w,

z)

соответственно, согласно

формуле

< g(— Іпж),

Ѳx)(ж))

=

<g

(t),

cp (*)>,

(4)

гдеg обозначение

g (— ln

выбрано

по

причинам,

ука­

занным

выше.

Таким

образом,

отображение

g (t)

н->-

(— ln

х)

обратно отображеншо / (а:) •->

f(e~‘)

и

опре­

деляет изоморфизм

Х а’ ,ья&

так

же

как и

X '

(w,

z)

на

M ' (w

,

z).

мы перефор­

Для облегчения ссылок в дальнейшем

мулируеми

эти

результатыОтображениев видеf (х) ьтеоремы->- f (е~‘),.

определенное

ми Т е о р е м а 4.2.2.

Пустъ

Ѳ

и

ср

связаны соотношения­

формулой

является

изоморфизмом

Л 'аЛ

на

Х а,ъ>

а

также

Л(3),' (w

на

X ' (wформулой

отображение

(1)

(2).

, z).

Обратное

g (t) l-v £ (— ln x), z)задается

(4).

Л а,Ът

Л аДругие,

результаты,

относящиеся к пространствам,

ъ,

Л

(w,

z)

и

Л '

w

, z),

перечислены

ниже.

ХОни

могут быть

(

установлены

непосредственно модификацией

доказательств соответствующих свойств пространств

а, ь,

пространств, таких, как

35,

35(1),

35'

и

35'(I).

I.

35(1)

является подпространством

обоих пространств

Л а,Ъ

и

Л

(w,

z),

а

сходимость в

35 (I)

влечет сходимость

в

Л а ь

и

в

Л

(w,

z).

Поэтому сужение любого

элемента

Л '

/еЕ.^а.ь или / Е=

(w,

z)

на

35(1)

принадлежит

35' (I).

Кроме того,

35(1)

плотно в

Л

(w,

z). Отсюда следует, что

Л '

(w,

z)

— подпространство

35'

(/),

а также

что

значе­

ния, которые / 6Е

Л '

(w, z)

принимает на элементах

35(1),

однозначно

определяют

его

значения на

элементах

Л

(w,

z).

а

d

Л с^

Л а^ъ,

II.

Если

^

с

и

то

CZ

и

топо­

логия

Л Сі(1

сильнее топологии, индуцированной

на

Л

с>d