книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

<it (?•, Ѳ),

Ф

(г)> =

^

F (з

+

іео)

фsin(з

ico)

(+а -

Ѳ) (Xа + to)

d

(7)

где

sin а (о + гео)

ѵ '

г_Рф (г) dr — 9Л [7'-1ф (г 1)], — оо

Re s

оо.

(8)

Ф (s) = ^

ф м =

r"‘“

М '*.

» =

0 ,1 ,2 ,.. .

Поскольку I Гіш I = 1, то

о

Іо r~a+n I Ппф(г) I dr

I

Ф (а +

ico) I О -|— —---т-—Ц

I

V I

— l|...|<s-j-ico — n j j

1

r w i (9)

sin (а — Ѳ) (б 4- ;co)

'

'

sin а (а +

ico)

ограничена

при

— оо

ю

<

оо

и

0 ^

Ѳ

^

а,

когда

ст

фиксировано (ст

Ф

пліа,

п

=

+

1,

+ 2 ,

. . .)а. ,

Из факта

F

медленного

роста

(ст +

іео) при |

со | —> ехэ

вытекает те­

перь, что (7) сходится равномерно на 0 ^

0

и поэтому

lim <u(r, Ѳ), ф(7')) =

т~

СО

F (ст + іео) Ф (с +

ію) dcD.

(И)

\

о ->+о

J

Из (9) и теоремы 4.3.5

—00

F

іео) Ф (ст +

шіео))

следует, что

F(ст +

также удовлетворяет

условиям

теоремы

4.3.6

в любой

замкнутой hподполосе П/,

и поэтому

(ст +

ію) Ф (ст +

является

преобразованием

Меллииа

непрерывной

функции

(г)

на

0 < г < о о .

Сравнение

формулы

(11)

с равенствомF

(3)й п.

4.3 показывает,

что правая часть

(11)

h

совпадает с h{r)(1).=Кроме/ \ /того1г-1,физ(г(8)-1)].и теоремы 4.6.3 вы­

текает, что 3)

(о -f-

о) Ф (ст + іш) является преобразова­

нием функции

то

по

(г)

Далее, так как

г"1 ср(г-1) 6Е

(/),

теореме 4.6.2

формулу lim

<u(r,

Ѳ),

ф(г)>

=

h ( l ) = </(ж), Ф(я)>,

о -*+0

выражения (5). В этом случае

два различных выбора ст,

например, ох и о2, приводят к

решениям,

отличающимся

на сумму вычетов в полюсах,

лежащих

между О! и ст2.

йУ {Г)

и равномерно сходится к нулю на компактных подмноже'

ствах 0

< г < оо при Ѳ

+ 0или

Ѳ ->

— 0 . Отсюда

следует,

что (12) стремится к нулю в

Q f .

при Ѳ

—> + 0 .

Кроме того, эти рассуждения остаются верными и в слу­

чае, когда точки /ся/ане принадлежат

Таким образом,

мы можем добавить к (5) линейную комбинациюкп/а

таких

функций и получить снова

решение нашей задачи вне за­

висимости от того, принадлежат точки

множеству Q/

или нет.

Формулируя этот результат на

языке электро­

6 А . Г. Земанян

161

F(y)

= $ t f = \ f i . x) V * y J v - ( x y ) t e ,

(1)

где О С у < оо,

о

р, — действительное число и /ц. — функ­

Известным

результатом

относительно преобразо­

вания (1)

является следующая

ниже теорема обращения

(Ватсон

[1]). В

дальнейшем L x (0,

оо) обозначает

про­

X

странство функций / ( ) (или, точнее, классов эквивалент­

ности),

интегрируемых

по

Лебегу

на 0

< ж

Т е о р е м а

5.1.1.

Пустъ

х

) ЕЕ А

(х)

/ (

(0, ооформулой), /

имеет ограниченную вариацию в окрестности точки х

=

Тогда

р ;>

—1/2

и функция F (у) определена

= ж0

0,

(1). (х0

+

0) + / (аго — 0)] =

Ѵа [/

ОО

(Яоу) dy.

(2)

=

=

5 F ( у)

Ѵ х 0у

о

как и прямое преобразование Ганкеля

символически

можноство Парсевалянаписать.

фц =

JpJL1.

равен­

Нам понадобится еще один результат, а именно

Т е о р е м а

5.1.2.

Пустъ

/ (ж)

и G (у)

принадлежат

и g(x)

IG

L i (0, оо), р > —]/2,

F (у)

= Фі і [/ (ж)]

=

(г/)]-

Тогда

(3)

\ f ( x ) g (х) dx =

§ F ( y ) G (у) dy.

о

о

g (х

) =

Эта теорема легко доказывается подстановкой

образования Фурье на распределения медленного

роста

(Шварц [1], т. 2, гл. V II). Мы строим на 0

< ° о

про­

странство

Жу.

основных функций, на котором преобразо­

вание Ганкеля

порядка р является автоморфизмом

при

всех р, ^

Ж

Жр,

X

—1/2. Обобщенные функции в пространстве

сопряженном к

ц., действуют как распределения медлен­

ного роста при

—► оо (Зѳманян [1], гл. 4).

Кроме того,

<$;/, Ф >а </) § (іФ>>

(4)

вается, что

совпадает с

когда / — регулярная

обобщенная

функция, совпадающая с основной функ­

ции из

Щ і.

Другими словами, при некоторых условиях

содержит ,*£»(! как частный случай;

поэтому мы будем опу­

преобразования,

и

определяли

преобразование или как

результат

непосредственного

применения

обобщенной

функции к ядру.

Этот последний метод неприменим для

преобразования

Ганкеля, поскольку

ядро

Y xl/Jv-(xy)

не принадлежит

по

х

пространству

Ж ѵ

и, следовательно,

равенство

(Фи/)

(У) =

</ (*).

V x y J

ix

(ХУ)

>

(5)

не имеет смысла для /£Е

Ж\і-

В пп.

5.8 и 5.9 мы приведем два примера использова­

функции, не имеющие ограничений на рост при

х

-*

оо.

Приведем

две формулы

дифференцирования

(Янкѳ,

Эмде и Леш [1]), которые мы

несколько раз используем

в этой главе:

(ху) =

yx^"J jj—! (ху),

(6)

Если

DxX-v-Jp (ху) =

—у х ~ ^ +1 (ху).

(z)

много­

р — не целое

число,

то

функция

значна

и аналитична

во

всей

комплексной

z-плоско­

сти,

исключая точки

ветвления в г =

0 и z =

оо (Янке,

Эмде

и

Леш [1])J.y

Если

ц — целое

число,

то функ­

ция /|л (г) однозначна. Мы будем всегда ограничиваться

главной

ветвью

J

(z),

считая выполненным

условие

I arg z I <

я; все

остальные случаи будут отмечаться осо­

бо. Таким образом,

y

(z) принимает действительные зна­

k (ср) =

sup I х т (ж ' D f [ X

н~ѵ,ср (ж)] I

(1)

существует

(т.

е.

конечно).

Жу

— линейное простран­

ство.

Каждое

выражение

ут,к

является полунормой

на

Жу

I,

а семейство

{у]пк}т,к=о

определяет мультинорму, по­

скольку

ут,

о — норма. Мы{

считаем,

что топология

Жу

порождена

мультииормой

ут,к}т,к=

о- Убедимся теперь,

что

Жу

являетсяФункцияпространством{х) принадлежитосновных

Жуфункцийв том ив

толькосмысле,

вуказанномтом случаев п.если2.4.

она удовлетворяет следующим

Л е м м а

5.2.1

,

ср

трем условиям.

О <

1) cp (ж) —

гладкая

комплекснозначная

функция

на

X

< о о .

2)

Для любого неотрицательного целого числа к

где

(х)

=

ж ^

[а„ +

а2х2

+

...

+ а 2кх2к + R 2h

(ж)],

(2)

ср

постоянные a2h заданы выражениями

^

=

тѣ %

(x^D)kx -ll-'U p(x),

(3)

к\ л

lim

а остаточный

член

удовлетворяет соотношению

-<• + о

3)

{x~*D)k R 2h (х)

=

о

(1),

X

->•

+ 0 .

р

(4)

Для любого

неотрицательного числа к функция D4

(х)

—> оо

kф (х)

быстро убывает при х

(т. е. D

(х)

стремится к

нулю

при X

■

о о

быстрее любой степени

1/ж).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим,

что ср

ф

(х)

= (аТ1/))*

х~ѵ~іь

(х),

(5)

ф

(х)

хф

О (—х) гладкаяX

функция на 0 <

<

о о. Из условия су­

ществования

полунормы у£ дЧ1 вытекает,

что Пф

(х)

=

=

при

—> +

0. Поэтому величина

$ Dpp(t)dt =

ф(ж) — ф(1)

1

х

—> +

0, откуда сле­

стремится к конечному пределу при

дует аналогичное утверждение

для ф (ж). Подставляя (2) в

(5), получаем

к\ 2к

~ Щ ^ №

Выбирая

а2к

ф (ж) =

а2, + (ж

(ж).

согласно (3), мы получаем соотношение (4).

ф (ж) и,

следовательно, жт ф (ж) (т =

0,

1, 2, . . .) ограни­

чены на 0 < ж

^ 1.

В результате прямой выкладки мы приходим к формуле

ф (ж) = (ж

1D y X

г

ф (ж) =

I

ЛкФ\

=

Ь*і- Лф .

(6)

гДе Ьк0,

Ьк1,

. . ., Ькк — постоянные

(Ькк = 1).

Если

х

на 1

х

<< оо для любого поло­

ограниченностьТЛржт о|) ( )

жительного целого числа

т.

Далее индукцией по

к

дока­

зываем,

что

(быстро

убывает при

х

—► оо, так что ус­

ловие 3) выполнено. Обратно, условия 1) и 3) влекут огра­

ниченность

х)

на 0 <

х

< сю при любом

т;

это ут­

верждениеЖ\х-

и первое предложение предыдущего абзаца по­

казывают, что из условий 1), 2) и 3)

следует включение

Ф £Е

Лемма доказана.

фиксированном

у ЕЕ. I

Y

Отметим,

что при

любом

2)

ХУ J y -

Іх у)

как функция

X ,

удовлетворяет условиям 1) и

леммы 5.2.1.

Однако

эта

функция

не

удовлетворяет

условию 3),

поскольку

—

,

a:->oo,

Y

x y J у.{ху)

^ üos {ху —

^

(см. Янке,

Эмде и Леш [1]). Следовательно,

Y ХУ J y ( xy)

не принадлежит

Ж^.

Л е м м а

5.2.2.

Жу. полно и поэтому

является

про­

Пусть

{фД^Д

— последо­

странством Фреше.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

вательность Коши в

Жц..

На основании соотношения (6)

и определения

полунорм

индукцией по

к

можно до­

Кроме

того,

поскольку

к

(mjk,фД(Д — последователь­

ность Коши, то для любых

т,

Nи заданного е существует

такое действительное

число

что для любых ѵ,

11 > -^ т ,)і

7т,к

(фѵ

—

фД

< 8 .

Переходя

к пределу

при

ц —> оо, мы получаем для всех ѵ Д>

N mik

неравенство

7т,к (Фѵ — Ф) <

8,

(7)

которое показывает,

что Д Д

(фѵ

—

ф)

0 при ѵ —>оо.

Наконец, существует такая не зависящая от ѵ постоян­

ная

С тЛ,

что 7т,/.-

(фѵ) < C m,h-

Поэтому из (7) и равен­

ства (1) п. 1.5

получаем

соотношение

Т&,

к

(Ф)<

Ст, к

+

е.

Мы показали, таким образом,

что

ф

ЕЕ

Жу.,

и что

{фД

сходится в

Ж?,

к

ф.

Лемма доказана.

/ £г Ж\і на

33 (Г)

33'

I ).

33

принадлежит Ж у..(

Однако

(І) не

плотно

в

Действительно, если

ф ЕЕ

Жц.,

и постоянная

а0

не равна нулю, то у£0 (ф — ф) >

>

а0

для всех ф е

33 (Г),

и

шар

(Ѳ: Ѳ е=

Жр,

уо.о (ф —

— Ѳ)

а0І2}

не содержит ни одного элемента

33 (I).

q

Ж р .+ „От­

сюда и следует наше утверждение.

CZ

II. Если

— четное

положительное число, то

С

Жу.,

и топология

Жул-q

сильнее топологии, индуцирован­

ной

на

Ж^+ч

пространством

Жу,-

Чтобы убедиться в этом,

заметим,

что ут.о (ф)

=

2,0

(ф) Для любого

т\

с другой

тТт+

стороны,

для

любого

[А

и_ІІлюбого

положительного

к

(ar1D)*x~ ^ hф = (x^Df

" “'2ф] =

2

р +

+

(x-'D)

х-!Д-5,!ф =

. . . =

к { x ^ D f ^ x ^ 1

2

(x-1D)kx

ф +

поэтому

+

ж2

*~ tlt<p,

т£. Я- (ф) <

2 к ^ н - г

(Ф) +

ТГДІ , (ф).