книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

F(s) Ü (£/) (s) =

<f( t ),

e-s'>,

s e

Q ,.

имеет

При любом фиксированном

s £

правая

часть

смысл как результат применения / G Ä '

(сг1, ст2) к

e~st

GE

называть2

областью

(или

полосой) сходимости

S /,

Q/ абсциссами

а (Tj

и cf

■—■

сходимости.

Отметим, что термин

F ,

«преобразование Лапласа» будет использоваться как для

операции £ , отображающей / в

так и для самой функ­

ции

F s

Если мы пишем £ /, то это означает, что / —

( ).

ширенная указанным выше способом.

1

­

Qf. В некоторых случаях оказываетсяt

возможным припиt

сать определенное значение выражению ( ) на границе

Например,

пусть функция 1+

( )

равна

1 при > О,

t =

t

1 (t)

'

Ь.

Ѵа при

0 и 0 при

<С 0. Тогда

1

f2- £Е Ж0, ь для всех

аобласти±

sсходимости; определение (

1

) всегда будет рас­

сматриваться

лишь во внутренних точках полосы

^ Re

^

сг2.

Основанием для этого служит следующий факт. Если/—

преобразуемая по Лапласу

обобщенная функция и еслис

ее преобразование имеет полосу сходимости ца < Не s <С

< ц2, то задание / на любом

пространстве і£С)СІ, где о^ <

я d <

(8ц2 (или даже

на

одном ®) однозначно определяет

/ на 5? (сд, сг2) (см. и. 3.2,

свойство I). Поэтому преобразо2

­

вание

/) (s) также

определено всюду в Qf. Это, однако,

не верно на границе £2/. Например, если цх и а конечны,

то /X может принимать ненулевые значения на некоторых

Ф €Е 5?0„ о, и тем не менее быть

нулевым функционалом

на

1(од, ог2) (см. пример 3.2.1).

В этом случае функцио­

нал (

) будет тождественно равен нулю в Й/, и в то же са­

мое время будет определен и не равен нулю тождественно8

на границе й/. Именно для того, чтобы избежать<

таких

осложненийt),

мы и ограничиваем

наше sопределение

/

внутренней частью области {s: сд

Re

or2}.

такая,

Если / (

— локально интегрируемая функция,

что

функция

e~a,f

t

ограничена

на

— оо <

t

< ; со

для

( )

всех

действительных

чисел

а

из

интервала сд <

а

<

ст2,

то ее обычное преобразование Лапласа

(2)

оо

$ f (t) e~s> dt

Re s <

существует по крайней мере при сд <

с 2 и может

са (1). Это непосредственно следует из свойства V п.

3.2.

Следует отметить еще один существенный факт.

При

задании преобразования Лапласа

F

s

( ) обобщенной функ­

ции / необходимо

указывать полосу сходимости й/,

так

как одна и та жеi/sфункция

F

s

может соответствовать

( )

двум совершенно разным обобщенным функциям.

Н а­

пример, функция

является преобразованием Лапласа

функций 1+ (f) и — 1+(—

t).

Однако соответствующие по­

лосы сходимости — полуплоскости

R e « ) > 0 и Re s < О

руем это утверждение более точно. Пусть

/ = Е (s) при

s £=

a a < ; R e s < C f r — любаяh,

s

собственная8 h F (s)подполоса

а

b.

й/. Тогда можно построить такую преобразуемую по Лап­

ласу

обобщенную функцию

что

=

и полоса

сходимости й,,, имеет вид <

Re

<

В качестве иллю­

страции рассмотрим

Sß' (а, Ъ). С другой стороны, элемент Д

не определен на всех <S?ClCi,

если либо

<

а либо Ъ

<

d.

( 6

<

=

и

с

Таким образом,

ЯД

0

=

js:

Следовательпо, äh =

й

+

Д) ==

при

а < Res < b}.

оо

1

а <

<

Res <

b,

но

£/і не

существует при

—

Ro s <

а н

6

<

<

Res <

оо.

В п.

3.5

(теорема 3.5.2)

F

s)

и

мы увидим, что Xзадание'

(

полосы

сходимости

Й/ =

{s: öx < ; R e s < ^

6

однозначно

2}

определяет

тот Fэлемент /

пространства

(сд,

сг2),

для

которого S

/ =

(s) при s ее Й/.

Как и в классическом случае, преобразование Лапласа

обобщенной функции является функцией,

аналитической

верждать,

что справедлива

Ти

е о р е м а

теорема аналитичности). Если

3.3.1 (

функция

F

s)

аналитична в

S

/ =

F

(s)

при s

GE й/,

то

(

(3)

й/

D F (в) =

< / ( * ) , - *e-s‘ >,

в е й / .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

s

Ъ— произвольная

фиксированная

точка

области

й/ =

(s: сд <

Re

s

<

ст2}.

Возьмем такие положительные числа а,

и г, что а,

<

а

<

Ф

<

Re

s

— г <

Re s +

г <

Ъ

<

о2. Пусть

As —1

комплекс­

ное приращение аргумента, причем | As

| < ; г. При As

О

мы можем

воспользоваться

определением

( )

функции

F

(s)

и написать

_

^

(<)і

=

< f

^

(0>i

(4)

^

( s +

A

s ) - ^

где

5

-| г [e~(s+As)( -

e-s']

-

-і-

e~sl.

Фд (£) =

Отметим,

что

8(іЕЕ

Х а>ь,

поэтому (4)

имеет смысл. Мы

покажем,

что

я|д

)

стремится

к

нулю

в

Х а,ь

при

I As| ->-0.

Так

как

/ ЕЕ

Х а.ь,

то

отсюда

следует2

,

ачтоЪ

(/, фдб) —>- 0.

Из равенства (4) и возможности выбора

и

произвольно

близко Ссоответственно

к

и

о

вытекает

справедливостьг

r1формулы (3)

и

F

(s)

в й/.

аналитичностьa, b

Обозначим через

круг радиуса д

с центром в точке

s, где 0 <

<

<

min (Re s —

— Re s). Мы можем

изменить порядок дифференцирования

по s и но

і и на

(— D t)k фдц (£) =

l(s + Аs)k

1

— sfce~si] —

~

s ke~sl

=

_ J ___

e~i6*As)l

ka-U

As

E —s

—

2niks

(-£ -oo

*)a

d£.

1

- ÜL =

£ke~KI

2 л£

t

<

oo

c

( £ - » - Д * ) (£-«)*

Для всех £ e

С и

<

будет | х а, ь (г)

£fce c'| <!

К ,

где

К —

постоянная, не зависящая от £ и

t.

Кроме

того, I £ —

s — Ас

! > Г і

— г >

0

и

|

£ — s I

= \As\KгіСледо­

К

вательно,

L2M

('т — '•) г\

(О 1>!‘фдз (О I <

(п — г) п

Правая

часть

не

л

от (

и

стремится

зависит

к нулю при

3U)

к нулю в Ä Q)b

I А s|->-0. Отсюда вытекает сходимостьт|?д

чтоприЗ IаAs

I —>- 0, что и требовалось доказать.

доказать,

д а ч а 3.3.1.

В

предположениях теоремы 3.3.1

D kF (s) =

</ (0,

( - t ) ke~sl>,

s<=Qf ,

к =

1 , 2 , . .

. , _____ (5)

воспользовавшись при этом методом индукции:

предположить,

что

формула ( ) верна для к —

1

; для к =

0

она справедлива по опре­

делению.

5

как в

теореме 3.3.1.

Далее

провести все рассуждения,

пункте.)

3.3.2.

Пусть

Я/ = F (s)

для

Q/ =

{«:

<

Re s <

З а д а ч а

<

ст2}. Определим

е~°‘ / (£)

как функционал

на

формулой

<e~°‘f,

ф> = </, е 01 Ф>, Ф Е # .

Доказать,

что e~at / £ # '

при ах <

а <

ст2. (Обратное утверждение

также верно: именно, если

ё~аі / G

cS5'

при

<

а <(

ст2,

то

/ ЕЕ

ЕЕ SS'(oi,

о2), так что (Я/) (s) существует по крайней мере при

а, <

<

Re s <

а2;

см.

Земанян

[2]).

З а д а ч а

3.3.3-

Выражение

/ (о =

ОО

е~|(|

(г- ѵ)

2

6

определяется на

как

функ­

любой функции ф (<),

—

оо

<; г <

оо,

ционал, заданный

формулой

СО

</,

ф > =

ѵ =2— оо

<гМ ф (ѵ)>

еслп правая часть

существует. Показать, что

(1

1

-2

(Я/) (*) =

1— е

1

1

(1

преобразование

Лапласа об­

З а д а ч а 3.3.4.

Двустороннее

— < Hes< .

общенных функций,

определенное) — впа“*"1)всех’

элементах 3)', может быть

[1] (пп.

7.6 п

7.8):

(а) Пусть ( p £ Ä H g — такая локальпо интегрируемая

функ­

ция, что

для каждого действительного числа

с функция e~cl g (t)

абсолютно интегрируема

на

— оо

<

t <

со.

Положим

ОО

Ф (*) =

(Яф )(*)=

^

ф (t)e-“

dt,

ОО

G («) =

^ g ( 0

e~Bt dt.

Показать, что для любого действительного значения с

C -j-ioo

G (s) Ф (s) ds =

2лі оо ^

g (t) ф (— t)dt .

(6 )

С— ІОО

— 00

<Я/,

Яф> = 2 яі </, ф>,

-(7)

где ф (<) =

ф (— г). Таким

образом, Я на 3)' представляет

собой

отображенпе, сопряженпое отображению Яф

яіф,

где ф

пробегает

пространство S).

Отметим, что при

f —

2g левая часть

часть

равенства

(

).

(в)

Пусть п —

6

положительное целое число, 3?п — пространство

всех целых функций Ф , таких, что

ип к (Ф) 4

sup I е~пЫ / ф (») I <

оо, в =

Re *,

* = О, 1, 2, ... .

Снабдим’

& п

seSP'

топологией, порожденной мультинормон {un, k}£L0. До­

казать,

что

3?п — полное

счетно-мультпнормпропаппоо простран-

ство

и

что

ф =х Яф

2яіф — изоморфизм

5?п

на 3>к , где К —

отрезок — п <

t

п.

А

оо

(с) Показать, что S? =

U S? может быть определено естествен-

ным образом

как

П =1

строгое

счетное объединение пространств и что

Ф =

Яф1-»-

2

яіф — изоморфизм S?

па 3). Отсюда следует, что если

Я/

указанным

в (а), то / і->- Я/ —

определено на / £ 3)' способом,

изоморфизм 3)'

на

где

— пространство,

сопряженное к S?.

лагаем, что

F s

2

( ) =

£/ при s ЕЕ й/ и что ах, аг обозначают

абсциссы сходимости для й/.

Дифференцирование.

В п. 3.2. (равенство (1))мы видели,

y h

D

что

(— Z)cp) = Т/т (ф)- Поэтому согласно лемме 1.10.1

оператор —

(т. е. дифференцированней умножение на — 1)

задает непрерывное

линейное отображение

Х а, ь

в себя.

D ,

По

теореме

1.10.1

сопряженный оператор

который

2 D k

/

(t)

=

skF

(s),

в е й / ,

к

=

1,

2, 3,

. . .

(1)

Действительно,

если

/ е

У (ой,

су2),

e~sl ЕЕ X

(ой, сг2), то

Ф кІ (<), e~sl >

=

</ (г),

( ~ D tf

e- sl>

=

</ (г),

S*e-sl> =

=

skF (s).

решении

дифференциальных

уравнений с

постоянными

коэффициентамиУмножение на.

функциюМы рассмотримиз ОмОмэтот вопрос

в конце

п.

3.6.

функций,

— это пространство

(t)

Ѳ м

гладких

определенных

следующим

образом:

Ѳ

принадлежит

тогда

и только тогда,

когда

она

является

гладкой

на —

оо

<

і <

оо и для

каждого

не­

отрицательного

целого

числа

к

существует такое целое

число

N k,

чтооофункция.

(1 +

t2)~NkD kQ (t)

ограничена

оо

< ;

t

на —

<

cp

t-> Ѳ Ф

является

непрерывным лппѳйпым

отображением

в

%а,ь-

Чтобы показать это,

напишем

Ка,Ь0*(Ѳф)

Z)'l- v0)( x CidZ ) » ,

и заметим,

что

можно выбрать постоянную

В к

так,к .

что

jI

*a, b D k-v 0

< B k,

° ° < ' : <

lX5i

V =

0 ,

1 , . .

Xc.d

Следовательно,

если10

ф1 б Ж Сіі,

(ф)-

Линей­

Таким

образом,

то Ѳф€ЕІёа ,ь.

ность отображения 1ф>->-

Ѳф

очевидна,

непрерывность его

вытекает из леммы . .

Ом.

0

выборе

w, z

Из всего сказанного6следует, что приXлюбомw

0и для любой функцииѲ

=

соответствие ф>->-

ф определя­

ет непрерывное линейное отображение

(

, z)

в себя (т. е.

— мультипликатор в

X

w

Действительно, для лю­

X

(

, z)).

бой

заданной

последовательности

{фѵ},

сходящейся

в

w

, z), можно найти такие

действительные числа

а,

b

,

с

(

и

â,

что

w

Х<

а

<

с,

d

<

b

< z и

{Xфѵ(w,} сходится

в

Х Су (1.

а>ъ

Наш предыдущий результат показывает теперь, что {Ѳф„}

сходится в

и,

следовательно,

в

z). Поэтому ото­

очевидна.

X ' w0

Мы можем поэтому заключить, что / ■->-

,

/ (см. п. 2.5) —

непрерывное линейное отображение

(

z)

в себя.

Этот

результат и тот факт, что

tk ЕЕ Ом

для

всех

к

= 0, 1,

2,...,

s,

приводит к еще одной формуле преобразования операции.

Для

любого

фиксированного

числа

такого,

что

О! <

Re s <

о2,

справедливо

соотношение

2

« / (

0

.

e~st>

=

</ (

0

.

te-st>,

гдеX

обе

( )

стороны

равенства имеют смысл

как результаты

применения2

элемента из пространства

X '

(ц1, о2) к элементам

(ог1, ст2). На основании

равенства

(3) п.

3.3

можно пере­

писать

( ) в виде

=

— D F

Is),

s E Ö / .

(3)

&t f { t )

имеет в 1смысл.

Действительно, / е

6Ж'

(огх,

въ),

е-Ф+а>' ее

е

X

(d ,

Ста),

e -at )

(0

е

Ä ' (о1! — Г,

въ —

г)

и e- s' е

2

Е Ж

(

— г, <х — г).

Равенство

( )

можно

нереписть

также в

виде- а1 / ( ( г )

—

F

(s + а ) , s

+ а

е £2,.

(7 )

£ е

I-

X

(/)

Т) Аі-тф (/ +

т)

ха, Ь(О А Ф (І +

т) = -—

_рту V-a. b (t +

и

отношение

на, ь (/)/х„)Ь (/ + т)

ограничено

на

—

оо

< ;

і

< ;

оо.

фЕдинственное(t) >-*■ ф (t

обратное отображениеX а, ъиме­

Xета, ъвид

ср (/) и-»-

ср (і — т) Хиа, ьотображает).

все

Х а, ь

в

Х а, ъ.

Следовательно,

+

т) — изоморфизм

на

(т. е. автоморфизм

Поэтому рассматриваемое

отображение

задает также

автоморфизм

X

w

( , z).

(t

Обозначим отображение,

сопряженное ф

(t) >->-

ф

+ т),

через

f (t)

f {t

— т), поскольку оно имеет такой вид для

обычных функций, и напишем

</ (г — т), ф (г)> =

</ (г), ф {t +

т)>.

(8)

S3 / t t - т )

= e ~ ^ F (s),

s ^ Q j .

(9)

З а д а ч а

F (s) при s Е Qf-

.4.1.

Пусть йf =

Показать сна­

чала,

что ср (г) і->- ф (— г) — изоморфизм 31_ь _ а на5?а ь. Затем для

любой

обобщенной функции

/ Е

Sßa ь,

определить

отображение

f (0

/ (— 0

формулой

< /(-< ).

ф (0 > = < / ( 0 .

Ф (-<)>■

Наконец, показать, что й/ (— г) =

Т7 (—s) при —s Е

йу.

З а д а ч а

3.4.2.

Пусть

т — фиксированное

положительное

число,

йf = F

(s) при

s Е

Qy.

Показать,

что ср (г) >-*- ср (г/т)—изо­

морфизм 5?та тЬ на S6a

ь.

Для

/ Е

Sß'a j,

определить

отображение

/ (г) і->- / (т, г) формулой

</ (т, 0. Ф М>

=

</ (0.

'с~1/ С/т)>

Доказать, что

Й/ (тг)

=

т-1/'’ (s/т)

при s/x Е S2/.

З а д а ч а

3.4.3.

Пусть

■ ' іп

\

т

— ), п = О, 1, 2 , . . .

Эти

функции

называются

функциями Лагерра.

Показать, что

=О

’ >п (г)

+

СО

Фп ('•)

(s +— 1/2)”

^

2 1

1

(!) =

e~sl dt ■■

Is

--------- h r ,

Res > — 1/2.

(10)

3.5.

l/2)n+1 ’

^

I

к )

Обращение и единственность

лосу

определения

Re

<

сгX и одинаковое преобра­

зование

Лапласа, совпадают

на F

при

s

(щ, сг2).

Доказательст­

во формулы обращения основывается на двух леммах.

cp EЛÖе мкм'Fа

(t)es,dt.

Тогда

для

любого фикси-

3.5.1.= ^ооПустьф

£ / =

(s)

Re

<С сг2,

—СО

числа

г

справед­

рованного действительного

(«)

0

ливо

соотношение

г,Г

< ; < ;

оо,

Г

—Г

< /(t),e-” >T(.9)dco =

</(T),

—Г

е~^¥

(s)

d a ) ,

5

Uв

5

а < сг2.

где s =

а +

и а — фиксированное число,

(t-l <

(t) ф.

Если ф (/) =

F

s)

Дфо к а з а т е л ь с т в о .

0,

то справед­

ливость

утвержденияs

очевидна. Поэтомуs)

предположим,

что

0. Далее, заметим,

что функция

(

анали­

тична при

Г

<с Re

<

а2,

а

Т"Г

(

— целая

функция.

Следовательно,

оба интеграла

существуют.

Кроме того,

rI

^—Г e~STXF (s) ckoSI^

e~ax—^Г | sklF (s) | da,